第1讲-数学物理方程的导出和定解条件

数理方程主讲教师：杨晗联系方法：66368172公地点：犀浦校区2506（A）第一讲一、引言问题一、什么是数学物理方程？

数学物理方程通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。用来描述物理规律（研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律，物理量：声压、质点位移、温度、电势、电场强度等）。

第一讲问题二、为什么要研究数学物理方程？描述复杂物理现象、揭示其内在的物理规律。如：声波在一定环境下的传播规律。在工程应用中，对物理规律进行预报：声传播损失的预报和传递函数的预报。工程设计需要:比如超声换能器设计，声纳设计预报。第一讲前后课程联系：基础课程：高等数学（一元和多元微积分，幂级数和Fourier级数、微分方程、场论、线性代数）普通物理（力、热、电、机械波（声））复变函数（解析函数、解析延拓、留数定理、积分变换（Fourier和Laplace变换））

第一讲参考教材：数学物理方程陈才生，东南大学出版社数学物理方程陈恕行等，复旦大学出版社数学物理方程戴嘉尊，东南大学出版社数学物理方程王明新，清华大学出版社

第一讲考核方式试卷成绩*70%+平时成绩*30%第一讲数学物理方法研究问题的步骤：1、写出定解问题：包括泛定方程和定解条件，把物理的问题转化为数学语言（数学语言翻译物理规律）。2、求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法、数值解法等。以上解法我们将在以后一一阐述。3、分析解答：解出答案，需分析其意义及适定性。适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。

4、对物理规律进行解释。

第一讲第一讲：数学物理方程的导出和定解条件§1.1数学物理方程的导出导出步骤确定物理量:速度、位移、…研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾）短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理→数学物理方程

第一讲1、均匀弦的横振动方程有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的横振动方程。u(x,t)第一讲1、均匀弦的横振动方程几点假设：弦是柔软的：弦是柔软的，弦内相邻点之间只存在张力，张力沿着弦的切线方向，一个小段的振动必定带动它的邻段，而邻段又带动它自己的邻段，这样，一个小段的振动必然传播到整个弦。这种振动传播的现象叫作波。忽略弦所受重力的影响弦没有纵向振动。弦的横向振幅很小。第一讲均匀弦的横振动方程推导1、确定物理量：位移量—2、研究邻近点的相互作用：

受力分析3、短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响：物理定律：F=ma

4、数学语言描述，并简化整理→数学物理方程第一讲建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：进行受力分析：（1）（2）所取小段的纵向和横向运动方程分别为：——弦的横向加速度方程推导续：因为是小量，利用泰勒展开，可有以下近似：

（1）（2）两式可化为：（3）（4）弦中各点的张力T相等；张力既跟空间量无关，由于时间无关，记为常数T。进而：（5）第一讲因为dx很小，所以：（5）（6）（7）（8）—弦自由振动方程

——a为弦横振动的传播速度。第一讲受迫振动方程：当弦在振动过程中还受到外加的横向的作用力时，设每单位长度弦所受的横向力为F(x,t),则（2）式应修改为：

（2）（9）第一讲受迫振动方程续：（10）——受迫振动方程

（8）其中：为力密度，表示单位质量所受的外力。

第一讲2.均匀杆的纵振动方程第一讲利用牛顿运动定律建立方程：位移变量应变应力

胡克定律：应力和应变成正比Y：杨氏模量，即物体单位应变所产生的应力应力：单位面积上所受到的力2.均匀杆的纵振动方程第一讲2.均匀杆的纵振动方程第一讲——纵振动在杆中的传播速度—杆的纵振动方程每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F—杆的受迫振动方程3．热传导方程物理定律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律热传导的Fourier定律：若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比。

q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率

三维空间第一讲热传导方程续：图1.5热传导方程选取的体元时间内沿x方向流入体元的热量：

建模：选取以长方体为体元则：（11）第一讲时间内沿y方向流入体元的热量：

时间内沿z方向流入体元的热量：

（12）（13）能量守恒定律：净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。

第一讲（14）这里是介质的密度，c是比热容记：Laplace算子（16）（15）扩散率，或温度传导率

第一讲介质内存在热源时如果在介质内有热量产生（例如，有化学反应发生，或者通有电流，…），单位时间内单位体积介质产生的热量为F(x,y,z,t)（14）F(x,y,z,t)（17）（18）第一讲3、稳态问题稳定温度分布：在一定条件下，物体的温度达到稳定，即不随时间变化时，则温度分布满足Poisson（泊松）方程：

没有热源或者汇

，即f=0Poisson方程Laplace方程（20）（19）第一讲4、小结:物理上：反映波动过程的波动方程反映扩散过程的热传导方程反映稳定状态的Poisson方程和Laplace方程数学上：波动方程，在数学上属于双曲型方程热传导方程，在数学上属于抛物型方程Poisson方程和Laplace方程，在数学上属于椭圆型方程第一讲§1.2

定解条件引入定解条件的必要性：从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的运动需要附加条件。从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定，这些附加的条件就是初始条件和边界条件，统称为定解条件。包含初始条件和边界条件第一讲初始条件

定义：我们在求解含有时间变量t的数理方程时，往往必须追溯到某个所谓“初始时刻”的状况，我们称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件应该完全描写初始时刻（t=0

时）介质内部及边界上任意一点的状况。

弦的振动方程：给出两个初始条件，即初始时刻的位移和速度

热传导方程：初始时刻的温度

初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数第一讲初始条件续：xuhx＝0x＝lx＝l/2无初始条件的情况：

系统在周期性“外力”驱动下，只关心其稳态响应。如：水声中,单频稳态激励的辐射声场

稳定场问题：如静电场、稳定的浓度分布和温度分布等。第一讲F边界条件

定义：我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理过程边界状况的数学表达式为边界条件。

如：弦的横振动过程，弦的“两端固定”，边界条件就是：两端自由：

一端自由，一端固定？

两端受外力的情况？

第一讲三类边界条件第一类边界条件（Dirichlet条件（狄利克莱）,给出边界上各点的函数值

第二类边界条件（Neuman条件（纽曼））,给出边界上各点函数法向微商值

第三类边界条件（混合边界条件）：给出边界上各点函数值与法向微商值之间的线性关系第一讲边界条件续：当f＝0

时的边界条件称为齐次的。前面的三类边界条件分别为第一、第二、第三类齐次边界条件。边界条件的个数：与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。边界条件的关键点：只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统无边界条件半无界：研究靠近一端边界的有限时间内的场。完全无界：研究远离边界的有限时间内的场例：弦，海洋中有限时间内脉冲声源近场第一讲其他边界条件：1、衔接条件

背景：系统中出现跳跃点。研究方法：具体问题具体分析，在跳跃点处寻找连续条件。2、自然边界条件

边界值为有限的：周期边界条件：第一讲2、自然边界条件：边界值为有限的：周期边界条件：

欧拉方程：自然边界条件三类定解问题：初值问题：如无界弦自由振动边值问题：狄氏问题混合问题：两端固定弦的振动

第一讲基本概念2：初始条件：所研究的物理量在初始时刻的物理状态例：不同初始速度加速运动的物体定解条件：边界条件＋初始条件泛定方程：不带定解条件的数学物理方