第2讲 概率及其运算性质 2016

高等院校非数学类本科数学课程

大学数学(四)

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概率论与数理统计

脚本编写：孟益民教案制作：孟益民

本章学习要求：理解事件频率的概念，理解概率的古典定义.

理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算.

掌握概率的基本性质及概率加法定理.

理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理.

了解事件的独立性概念.

掌握贝努利概型和二项概率的计算方法.第一章随机事件及其概率第二节概率及其运算性质一、古典概型二、统计概率三、概率的公理化定义四、概率的性质

随机事件在每次试验中可能出现也可能不出现，具有随机性，但在大量重复试验中，可以发现它具有一定的规律性，不同的事件，有的出现的可能性大，有的出现的可能性小。随机事件的概率就是表示事件出现可能性大小的数值，它是概率论中最基本的概念之一.一、古典概型

首先讨论一类最简单又最直观的随机试验,它们具有两个特点:

（1）试验的基本事件为有限个；（2）试验的每个基本事件发生的可能性相同.我们把这类随机试验称为古典型试验简称古典概型.

设古典概型的样本空间包含n个基本事件，事件A包含k个基本事件，则比值称为事件A的概率，即

定义对于古典概型，事件A的概率定义如下：

例如，上节例1中的抛硬币试验是个古典概型，出现正面和出现反面的概率均为.

古典概型中，概率具有如下的性质：

(1)非负性对于任意事件A，有；

(2)规范性必然事件的概率等于1，即P（）=1，不可能事件的概率等于0，即P（）=0；

(3)可加性如果事件A和B互不相容（AB

=），则P（AB）=P（A）+P（B）.

定理1上述性质（3）可推广至有限个事件的情形.例1例2例3解将n只球放入N个盒子,每种放法是一基本事件,共有N

N...N=Nn种不同放法,而每个盒子中至多放一只球共有N(N-1)...[N-(n-1)]种不同放法,因而所求概率为例4将n只球随机地放入N(N

n)个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).生日问题许多问题和本例有相同的数学模型.例如,假设每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,则随机选取n(365)个人,他们的生日各不相同的概率为因而,n个人中至少有两人生日相同的概率为醉汉开门问题

醉汉手中有一串外观相似的钥匙(共八只)，但其中只有一只是开大门的，他只好随机地试，问他试到第三把时门试开的概率是几？解：⒈试过还会再试：⒉试过就不再试。摸彩要争先恐后吗

注意在醉汉开门问题的后一种情况中，他第一次就试开了的概率到第八次才试开的概率都是1/8=0.125。这说明摸彩没有必要争先恐后，除了心理上的差别外，第一与最后摸的机会是均等的。二、统计概率

定义1

设事件A在n次重复试验中发生nA次，比值

称为事件A在这n次试验中发生的频率，nA称为A发生的频数可以验证，事件A发生的频率f(A)有如下性质：（1）（2）（3）若事件A1，A2，…Am互不相容，则有

试验者nna蒲丰404020480.5080皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005

从上表可看出，试验次数逐渐增多时，出现正面次数与试验次数的比值稳定于常数0.5.

三、概率的公理化定义

前面我们讨论了古典概型以及事件的频率,古典概型要求具有某种“等可能性”,所以它们适用范围有限,而用频率去确定概率,虽然比较实用,但试验次数n究竟要大到什麽程度,频率的稳定性从理论上看,还没有给予确切的说明,因此它们都有缺陷,而作为数学的一个分支的概率论中有必要提出一组关于随机事件概率的公理.使以后有关的推理有所依据.

设函数P(A)的定义域为所有随机事件组成的集合,且满足公理1、2、3,则称函数P(A)为事件A的概率.公理1公理2公理3定义

可以直接验证,按古典定义及几何概率规定的概率都符合这定义中的要求,因此它们都是这个一般定义范围内的特殊情形.

性质1(有限可加性)

若A1,A2,...,An是两两互不相容的事件,

即则有四、概率的性质

性质2

设是A

的对立事件，则

P（A）=1P（）.

对于任意两个事件A与B，由对偶律,有一般地有

性质3

设A,B是两事件,且，则且P（B

A）=P（B）P（A）

证

AB注意：

性质4

（加法公式）设A，B为两个事件，则

P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）.

证

AB重要推广:

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的数即不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解设A为事件"取到的数能被6整除",B为事件"取到的数能被8整除",则所求概率为例5又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24整除,因此,由经常有一些概率论的较难的题,直接计算某事件的概率困难,因此考虑先求此事件的逆事件的概率

解:假设A={至少一次正面},则

A={全是反面},只包含一个基本事件.基本事件总数为23=8,因此例6则掷3次硬币,求至少一次正面朝上的概率.

产品有一,二等品及废品3种,若一,二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率.解令事件A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相容,并且A=A1+A2,则

P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) =0.63+0.35=0.98

P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此题并非古典概型题.例7

一个袋内装有大小相同的7个球,4个是白球,3个为黑球.从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.解设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3),显然A2与A3互不相容,且例850个产品中有46个合格品与4个废品,从中一次抽取3个,求其中有废品的概率.解设事件A表示取到的3个中有废品,则事件A的逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些,因此有例9(A)0.4(B)0.6(C)0.7(D)0.8(E)0.9例10解：根据狄.摩根定理例11解由已知得:例121、设随机事件A,B及其和事件的概率分别是0.4,0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么事件的概率。2、设A,B为随机事件，则。

3、A,B是E中二个事件，已知求

4、设事件A,B满足且知求

练习5、在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订