2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆训练（五）

九年级数学下册第三章圆压轴题

过关强化专题训练(五)

1.如图，在△48C中，AB=AC,以四为直径的。。交为于点〃，过点。作&LMC于点£,

交48延长线于点F.

(1)判断直线)与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若。。半径为5,CX6,求然的长；

(3)求证：Bd=4CE,AB.

2.如图，在回中，AB=AC,以48为直径的。。交8c于点，连接4?,过点。作以小

AC,垂足为M,AB.他的延长线交于点M

(1)求证：例是。。的切线;

(2)求证：Dfi=BN・(8M4C)；

Q

(3)若BC=6,cosC=—,求ZW的长.

B

3.如图1,。/与直线a相离，过圆心/作直线a的垂线，垂足为“，且交。/于P、。两点

（。在/、，之间）.我们把点户称为。/关于直线a的“远点“，把摩自，的值称为O/

关于直线a的“特征数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系x勿中，点石的坐标为（0,4）.半径为1的。0与两

坐标轴交于点力、8、C、D.

①过点E画垂直于y轴的直线外则。。关于直线0的“远点”是点（填“4'、

“夕、或、盟’）,。。关于直线〃的“特征数”为;

②若直线〃的函数表达式为y=®4.求。。关于直线〃的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系x0y中，直线/经过点"（1,4）,点尸是坐标平面内一点，以

尸为圆心，加为半径作。尸.若O尸与直线/相离，点〃（-1,0）是。尸关于直线/的

“远点”.且。尸关于直线/的“特征数”是4代，求直线/的函数表达式.

4.如图，在中，以4C为直径的。。交结于点。，连接且NDAE=NACE,连接

必并延长交的延长线于点儿阳与。。相切于点反

（1）求证：4户是。。的切线;

（2）连接48交。于点尸，求证：XFAD^XDAE、

5.如图，力8是。。的直径，勿是。0的一条弦，BC=BD，CO的延长线交。。于点E交

做的延长线于点尸，连接)，且恰好分〃缈，连接BE交CD干点、P,延长宏交融于点

G,连接历

(1)求证：7是。。的切线；

(2)求证：点G是用的中点；

(3)当00的半径为6时，求tanN收的值.

6.如图，是。。的直径，/A=4CBD.

(1)求证：8c是。。的切线.

(2)若NX35°,AB=6,求部勺长(结果保留n).

7.在平面直角坐标系x0y中，。。的半径为1,A,8为。。外两点，AB=\.

给出如下定义：平移线段48,得到。。的弦4夕(4,B,分别为点48的对应点)，

线段总'长度的最小值称为线段四到。。的“平移距离”.

(1)如图，平移线段48得到。。的长度为1的弦。也和鸟〃，则这两条弦的位置关系

是;在点A,P?,P3,〃中，连接点4与点的线段的长度等于线段48到

。。的“平移距离”；

(2)若点48都在直线尸信2，上，记线段48到。。的“平移距离”为4,求4

的最小值；

(3)若点4的坐标为(2,1),记线段48到。。的“平移距离”为&,直接写出&的

取值范围.

8.如图，在。。中，N4BC=45：然是。。的切线，比的延长线交。。于点D,交切线定

于点£以与切的延长线交于点£

(1)求证：OF//EC.

(2)若DF=6,tanNE8C=^,求力打的值.

9.如图，四边形内接于。0,勿为。。的直径，AC与BD交千点、E,户为笫延长线上

一点，连接外，目乙PAB=4ADB.

(1)求证：4户是。。的切线;

10.如图，为。。的直径，C、〃为。。上不同于A8的两点，NABD=2NBAC,过点C

作CE1DB交加的延长线于点E,直线48与CE交于点F.

(1)求证：次为。。的切线;

(2)填空:

①若48=4,当08=8尸时，BE=

②当N0I8的度数为时，四边形4C叨是菱形.

D

参4^考-+z合案

1.解：(1)才与。。相切，理由如下：

连接力。0D,如图所示：

.・飞8为。。的直径，

:・/ADB=9G.

.\AD±BC.

\'AB=AC,

CD=BD=——BC.

2

■/0A=OB,

・,・勿是△力比的中位线，

：.0D//AG.

'：EFl.AC.

：,EF.LOD.

・•・)与。。相切.

(2)解：由(1)知N4?6*=90°,AC=AB=W,

22=

在RtZ\4?C中，由勾股定理得：AD=7AC-CDV102-62=8,

SACD=CD=券AC・DE,

X8X6=—X10XPF.

22

24

：.DE=—,

5

(3)证明：由(1)得：CD=^BC,AD1BC、

：,Z.ADC=9QQ,

'：EFA-AC,

：.ZDEC=90°=4ADC、

,:乙o=乙c,

:・XCDEsACAD、

.CD=CE

…而一丽’

:.Clf=CE*AB,

•：AB=AC,

：.^Bd=CE'AB,

:.Bd=ACE・AB.

是直径，

：.ZADB=90°,

5L'-AB=AC,

BD=CD、NBAD—NCAD,

,:AO=BO,BD=CD,

：.0D//AC.

a：DMA.AC,

，0D1MN,

又.勿是半径，

•••施是。。的切线;

(2)-：AB=AC,

/ABC=NACB,

ZABC+ZBAD=90°,N4朋NCZW=90°,

:・/BAD=/CDM、

■:/BDN=/CDM,

：.4BAD=/BDN,

又•・•/"=/4

:.RBDNS/\DAN,

.BN_DN

"DN=AN,

.\Dtt=BN-AN=BN-(人物=BN,(8/k4C)；

(3)•:BC=b,80=CD,

BD=CD=3,

••AC=5,

•■•>IZ?=VAB2-BD2=V25-9=4,

'：^BDN^^DAN,

.BN_DN_BD_3

•而"HF而F

33

：.BN=—DN,DN=—AN,

44

2Qq

：.BN=—(斗加=—AN,

4416

\'Bf^AB=AN,

Q

：.—AN^5=AN

16

世，

7

：.DN=—AN=—.

47

3.解：(1)①由题意，点。是。。关于直线m的“远点”，。。关于直线〃的特征数

•冰=2X5=10,

故答案为：D,10.

②如图1中，过点。作勿人直线〃于，，交。0于。，P.

/。'市'

图1

设直线尸后4交”轴于尸(-&应，(

)),交V轴于E(0,4),

・g四唱

哼

.\ZFEO=30°,

：.0H=^0E=2,

：.PH^0H^-0P=3,

，。0关于直线〃的“特征数”=P»PH=2X3=6.

(2)如图2中，设直线/的解析式为y=k/b.

\

[\\

当火＞0时，过点尸作方红直线/于“，交。F于E,N.

由题意，EN=2尬,EN.N44后

：・NH=K，

■,■/V(-1,0),M(1,4),

''-MN=，22+42=2

22==

■1-HM=7MN-NHV20-10A/W.

△砂是等腰直角三角形，

••■加的中点K(0,2),

:.KN=HK=KM=E

(-2,3),

「k+b=4

把〃(一2,3),M(1,4)代入尸依“，则有1,

l-2k+b=3

g

K3

解得R,

..•直线/的解析式为与，

OO

当4V0时，同法可知直线/'经过〃’(2,1),可得直线/'的解析式为y=-3/7.

综上所述，满足条件的直线/的解析式为得或y=-3/7.

Oo

4.解：(1)4＞。为直径,

：.AADC=9Q°,

:・/ACK/DAC=9G,

•:/DAE=NACE、

AZDAC+ZDAE=90°,

即NOJE=90°,

.UP是。。的切线；

(2)连接。8,如图1,

.・•川和多都是切线，

:.PA=PB,ZOPA=ZOPB.POLAB.

,:PD=PD、

:.2DPA义4DPB(SAS),

•\AD=BD^

/ABD=/BAD,

NACD=NABD,

又/DAE=/ACE、

/./DAF=/DAE、

FC是直径，

：.NADE=NADC=9Q°,

:.』ADE=NAFg9Q°,

：./\FAD^/\DAE-,

图1

(3),：NAFO=£OAP=qO°,/AOF=/POA、

:•XAOFsXPOA、

.OF_AF

"OA"PA'

.OAOF1

..正宝-an/OAF为

.\PA=2AO=AC,

■:乙AFD=NCAE=9G0,4DAF=4ABD=Z.ACE,

:、XAFMl\CAE、

.FD^AF

"AE"CA1

.FD二四兴

"AF"CA"AP,

OF1

tanZOAF=~^rf，

AF2

不妨设OF=x,则AF=2x,

*0-OD=OA=A/5x,

AFD=0D-0F=(V5-l)x,

.FD二(后l)x二遍T

"AF=~~2x2'

-

■.•-A-E-=-V--5---l.

AP2

5.(1)证明：是。。的直径，3是。。的一条弦，BC=BD，

・・・A8上CD,

又・・・〃〃S

：.FA.LAB,

'：0A过0,

:・FA是的切线；

(2)证明：连接力£

•・.丝是。。的直径,

•••AELBG、

又•.・RU48,

：・NGEA=/BAG,

又,：/BGA=/EGA、

JAGABs丛GEA,

.GA=GB

"EG-GA5

：.G#=GBXEG,

FA//CD.

.\ZC=ZEFG,

又,：4g/FBE,

：2EFG=/FBE,

又Y』FGE=/BGF,

JAFEGs丛BFG,

.GF=GE

''GB-GF'

Gf^=GBXGE,

：.GF=GA,

，G为力尸的中点；

(3)ft?：-：FA//CD,

.DP_BP_PH

,,府一前一京

又,：GF=GA,

：.DP^HP,

又•.■绥是。。的直径，。在圆上，

CDS.DE,

又•..>48_L3于点，，EO=OC,

...点，是3的中点，AB//DE,

又；,DP=HP,

:.DE=BH,

又,••点。是如中点，点〃是3的中点，

：.OH^—DE=—BH,

22

又「。。的半径为6,

-'-0H=2,CH=7OC2-OH2=V62-22=4V2.

•+—_0H_2_V2

..tanZFBE=tanC==--F=-=--.

CH4V24

6.(1)证明：・28是。。的直径，

・・・N4Z?8=90°,

Z/4+Z^P=90°,

•：ZA=NCBD、

J/CBK/ABDaG,即N/18S=90°,

.\BC-LAB,

・・,8C是。。的切线.

(2)解：连接如图所示：

・「N脑=90°,

JN/N4=90°,

又/"NABD=90°,

/.ZABD=ZC=35°,

AOD=2/ABD=1N,

・.・直径48=6,

"=3,

7.解：(1)如图，平移线段得到。。的长度为1的弦HE和4E,则这两条弦的位置关

系是巴巴〃8«;在点H,p2,34中，连接点力与点々的线段的长度等于线段48到。0

的“平移距离”.

故答案为：P岛〃P3P4、P3.

(2)如图1中，作等边△0M点£在*轴上，OE=EF=OF=1、

设直线x轴于“，交y轴于儿贝0),N(0,2«),

过点日乍EH'MN于",

，：0M=2,0N=2^

:.tan乙NMO=不工

.•・N/W0=60。,

/.£^=£^sin600=出，

2_

观察图象可知，线段到。。的“平移距离”为a的最小值为返.

以），为邻边构造平行四边形4劭0,以切为边构造等边△勿夕，等边△如'A',

贝1]48〃4B',44的长即为线段到。。的“平移距离”，

当点"与"重合时，加'的值最小，最小值=加0g三-1=多

当点8与〃重合时，AAf的长最大，如图3中，过点看作4〃，勿于

22

8.解：(1)・・・N48C=45°,

:./A0C=2/ABC=qN,

・・・N0"""=90°,

.・•龙是。。的切线，

：.ZOCE=90°,

：・40CA/DCE=9G,

・•・/F=4DCE、

・•・OF//GE\

(2)U：OC=OD,

/.NOCD=ZODC,

•••8。是。。的直径，

：・/BCD=9G,

：,/EBC+/ODC=9G,

-：ZF+ZOCD=90°,

：,ZF=/EBC、

•+/u℃.-CD1

..tanZ/<=-----=tac/EBC=------=——

OFBC2

设gx,则a=2x,

*'•BD=\

：.OC=OB=^BD夸x,

OF—20C=

在就/\叱中，OG+OF^=C户、

，(孚x)?+(述x)2=(x+6)2>

解得x=4或x=-(舍去)，

/.627=4,

0F=4yf^,0A=2\/^,

：,AF=OF-0A=2后

9.(1)证明：连接以，

\'OA=OB,

：.NOAB=NOBA,

.・・8C为。。的直径，

：.ZCAB=90°,

：./AC讣NABC=90°,

4ADB=4ACB=4PAB、

，4PAa/0AB=9G,

：.ZOAP=90°,

・•・在为。。的切线；

(2)解：'：/ADB=/ACB、

ARQ

AtanZADB=tanNACB=—=4-,

AC4

\'AB=6.