知识资料数学空间解析几何(五)微分学(一)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页7 （四）例题【例1-1-11】方程z2-x2-y2＝0所表示的曲面是（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）旋转双曲面（D）圆锥面【解】在顶点位于原点、旋转轴为z轴的圆锥面方程中，令a=1，即为所给方程，故选（D）。【例1-1-12】将双曲线C绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程是【解】曲线C绕x轴旋转，只需将C的方程中的y换成,故应选（B)。五、空间曲线空间曲线可以看作是两下曲面的交线。若空间曲线C是曲面的交线，则C的方程可用下述方程组表示此方程组称为空间曲线C的普通方程。若将空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：这方程组称为空间曲线C的参数方程。例如，参数方程表示的空间曲线是螺旋线。微分学一、极限（一）函数的几种特性一、函数与极限（一）函数的概念与特性1函数的概念设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，倘若对于每个数xD，变量y按照一定法则总有决定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f（x），数集D叫做这个函数的定义域，W={yy=f(x),xD｝为函数的值域，C={(x，y)y=f(x),xD｝称为函数y=f（x）的图形.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数。把直接函数y=f（x）中的因变量y看作自变量，而把自变量x看作因变量，按照函数概念，就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f（x）的反函数，记作x=(y).倘若把直接函数y=f(x)和反函数y=(x)的图形画在同一坐标面上，则这两个图形关于直线y=x是对称的。若函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=(x)在D2上有定义，而W2={uu=(x),xD2}D1,则y=f[(x)]就称为函数y=f(u)和u=(x)的复合函数。2.初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数3函数的几个特性(1）函数的有界性：设函数f（x）的定义域为D，数集XD，若存在正数M，使≤M，xX,则称f（x）在X上是有界的，倘若对于任何正数M，总存在x1X,使＞M，则称函数f(x)在X上无界。（2）函数的单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间ID,倘若对于区间I上随意两点xl和x2,，当xl＜x2时，恒有f(xl)<f（x2)，则称函数f(x）在区间I上是单调增强的，倘若对于区间I上随意两点x1和x2，当x1＜x2时，恒有f（xl)>f(x2)，则称函数f（x）在区间上是单调减少的。(3）函数的奇偶性：设函数f（x）的定义域D关于原点对称，倘若对于任一xD，恒有f（-x)=f(x），则称f(x)为偶函数。倘若对于任一xD，恒有f（-x)=-f(x），则称f(x)为奇函数。（4）函数的周期性：设函数f（x）的定义域为D，倘若存在一个不为零的数l,使得对于任一xD，有x士lD且恒有f（x士l）=f(x)，则称f(x）是以l为周期的周期函数，这里通常取最小正周期.下列函数f（x）和g(x）是否相同，为什么？【解】（l）不相同故f（x）与g(x)的定义域不同。(2）不相同，故它们的对应逻辑不同。(3）不相同，故f（对与g（x）的定义域不同。(4）相同，故它们具有相同的定义域与对应关系.求函数，y=的定义域.（二）函数的极限1.函数极限的概念无穷小与无穷大函数的极限按自变量的变化趋向、。可分成以下两种。当时，f(x）无限趋近于常数A,称作f(x）当时的极限为A;记成或；当时，f(x）无限趋近于常数A,称作f(x）当时的极限为A;记成或；它们的郑重数学定义需用“”或“”来描述，可参阅教材。异常地，若当（或）时的极限A=0，则称f(x）为当（或）时的无穷小。若当（或）时，f(x）的绝对值|f(x）|无限增大，则称f(x）为当（或）时的无穷大，记成（或）。注重：按函数极限的定义，f(x）为无穷大是极限不存在的一种异常情形，但习惯上也称“函数的极限为无穷大”。2．左、右极限在函数极限的概念中，自变量的变化趋向，x可以从x0的左、右两侧趋向于x0但偶尔只需考虑x仅从x0的左侧趋向于x0（记成），或x仅从x0的右侧趋向于x0（记成）若当时，f（x）无限