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朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页中科院数学与系统科学研究所2001年高等代数试题解答设和为满秩方阵，试求的逆矩阵（用表示即可）。解：由知，可逆。令，表示与同阶的单位矩阵，则由得，其中为与同阶的单位矩阵，其中为与同阶的单位矩阵。于是得由此解出所以.设为个实数，方阵试求的所有特征值。解：的特征多项式为由此可知，的个特征值为（为重特征根）。设为正实数,求出满意与之的最小值.解:平面区域的图形如下图中阴影部分:由此知满意与之的最小值即直线与交点的纵坐标,不难求得其值为.设为方阵,且为满秩阵,为实数,试证实:存在正数,使得在时,满秩.证实:考虑矩阵,其中为单位阵.因为关于的方程仅有有限个根(它们为方阵的所有特征根).从而数集为有限集.若,则令为数集中的最小数;若,则可取为任何正数.于是,当时,必有.所以,当时,为满秩阵,从而为满秩阵.设为维欧氏空间中的个向量.又设其中.试证实:为线性无关的,当且仅当为满秩.证实:由已知条件,为维欧氏空间中的个向量.令为以为列向量的矩阵,则为实矩阵,且(表示的转置矩阵).又设为阶方阵,则秩秩,且为阶方阵,从而秩秩.以下证实秩秩.为此考虑齐次线性方程组(1)与(2)令分离表示(1)与(2)的解向量空间,则显然有.另一方面,注重到对随意维实(列)向量,我们有.所以又有.从而,维维.由线性方程组理论可知,秩维=,秩维=,于是得秩秩.综上研究,我们有秩秩秩秩.由此知,线性无关,当且仅当秩,当且仅当秩,当且仅当为满秩.设为对称方阵,试证实,其中“”表示方阵的追迹(即对角元素之和).证实:设为阶

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