必修教案诱导公式

1.3.1三角函数的诱导公式(1)一、教学目标：1、知识目标：使学生理解并掌握三角函数的诱导公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关诸如求角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单三角函数式的求值与化简等问题。2、能力目标：借助单位圆中的对称关系，通过对公式推导方法的探索与发现以及公式的初步应用，让学生了解未知到已知、简单到复杂的转化过程，体会数形结合思想和化归思想在解决数学问题中的作用，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括、运算等逻辑思维能力和逆向思维的能力，从而提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。3、德育目标：使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯。通过诱导公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归原理，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观．4、情感目标：让学生在提出问题、解决问题和解决问题的探索过程中获得成功，体验成功的喜悦，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。二、教学重点：诱导公式的发现、证明及运用，即借助单位圆推导诱导公式，特别是在点的对称性与角终边对称性中，发现问题，提出研究方法，对学生进行科学方法论教育。三、教学难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数的联系，引导学生寻找解决问题的突破口。诱导公式的灵活运用。四、教学用具：三角板、圆规五、教学过程1．复习导入，发现问题复习前面所学内容，以便在本节学习中应用，并引发出问题。（1）利用单位圆表示任意角的三角函数（2）诱导公式一：sin（k·360°＋α）＝sinα，cos（k·360°＋α）＝cosα，（角α为任意角）tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）（角α为任意角，但要使等式两边同时有意义，即两角的终边均不落在Y轴上）作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，方法：先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果。诱导公式一可以统一概括为的形式，其特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正。运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不可混用，如写成，cos（k·360°＋1）＝cos1都是不对的．引例：求sin2010°思路：1、化为0º―360º之间角；2、利用单位圆求三角函数。繁？烦？如何优化，公式化？问题1：由公式一把任意角α化为[0°，360°）内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？我们对[0°，90°）范围内角的三角函数值较熟悉，[90°，360°）内的角能否与锐角α相联系？对于任何一个[90°，360°）内的角，以下三种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：（1）当β∈[90°，180°）时，β=180°-α，如150°=180°-30°；（2）当β∈[180°，270°）时，β=180°+α，如210°=180°+30°；（3）当β∈[270°，360°）时，β=360°-α，如330°=360°-30°。180°-α，180°+α，360°-α与角α的β与α通过分析β与α的联系，得出解决问题1一种思路：若能把[90°，360°）内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决。这一思想方法就是数学的化归思想方法。提示课题并板书1.3.1三角函数的诱导公式(1)化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法,所谓"化归",从字面上可以理解为转化和归结之意.数学的化归思想方法是指在研究和解决有关数学问题的过程中,不是对问题进行直接攻击,而是把那些待解决或难解决的问题,通过某种手段将问题进行变换使之转化、归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而求得原问题解答的一种思想方法。2．共同探究，解决问题，突出以问题为中心，让学生积极参与探究活动。问题2：锐角α的终边与180°+α的终边位置关系如何？任意角α与180°+α呢？它们的三角函数之间有什么关系？学生动手画图，探究角的关系，由学生展示探究结果：无论α是锐角还是任意角，角α的终边与180°+α的终边关于原点对称，这一结论对任意角都成立。角180°+α与α的三角函数之间的关系。给学生留出思考的时间和空间，让学生说思路想法。回归定义，寻找角的终边与单位圆交点的坐标之间的关系是探求三角函数之间关系的关键。学生在直角坐标系中，画出角α和180°+α与单位圆的交点，分析出交点坐标之间的关系，关于原点对称，它们的坐标互为相反数这一关键。从而利用三角函数的定义，表示出α和180°+α的三角函数，探究出结论。（1）由图可得：任意角与角的终边都是关于原点中心对称的。xxyoP(x,y)设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y)由三角函数的定义知：，；tanα=，，tan（180°+α）=诱导公式二：；（角α为任意角）tan（180°+α）=（角α为任意角，但要使等式两边同时有意义，即两角的终边均不落在Y轴上）例1：解答引例sin2010°课堂练习1：求cos225°说明：公式二中的指任意角；公式特点：函数名不变；作锐角时，符号看象限。问题3：360°-α的终边与-α的终边位置关系如何？它们的三角函数之间有什么关系？360°-α=360°+（-α）的终边与-α的终边相同，根据诱导公式一得到（360°-α）的与-α要研究（360°-α）的只需研究-α问题4：锐角α的终边与-α的终边位置关系如何？任意角α与-α呢？它们的三角函数之间有什么关系？课堂练习2：学生仿照问题2的探求思路，解决问题4α的终边与-α的终边关于Ｘ轴对称。在单位圆中画与角-的终边，同样可得诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα（角α为任意角）tan（－α）＝－tanα（角α为任意角，但要使等式两边同时有意义，即两角的终边均不落在Y轴上）例2：求sin11问题5：锐角α的终边与180°-α的终边位置关系如何？任意角α与180°-α呢？它们的三角函数之间有什么关系？课后作业1：学生仿照问题2的探求思路，解决问题5换思路！问题6：能用公式二、三推导任意角α与180°-α的三角函数之间的关系？（以正弦值为例，其他由学生做练习）（1）sin（180°－α）＝课堂练习3：（2）cos（180°－α）（3）tan（180°－α）诱导公式四：sin（180°－α）＝sinα，cos（180°－α）＝－cosα，tan（180°－α）＝－tanα（角α为任意角，但要使等式两边同时有意义，即两角的终边均不落在Y轴上）由此可知，公式二、三、四之间是可以互相推导的。课后作业2：（1）用公式二、四推导公式三；（2）用公式三、四推导公式二。３．深入研究，系统归纳课堂练习4：、请同学们观察角度之间的关系，运用公式完成下列表格：（口答）角函数名角的形式角的终边落在哪个象限适用哪个诱导公式问题7：请同学们观察表格的每一行，看看什么变了，什么没有变？绝对值相等，符号不相同。问题8：符号由什么确定？视情况复习‘一全正，二正弦，三正切，四余弦’的含义。由角的终边所在象限确定问题9：若我们将诱导公式中角视为锐角，我们可以发现什么规律？函数名不变，符号看象限。问题10：规律是否适用诱导公式一、二、三、四？你能用简洁的语言概括一下公式一～四吗？学生观察特点，讨论、交流，教师引导启发，补充说明，提炼、概括出：“函数名不变；把α看成锐角，符号看象限”。即α+k·２π（k∈Z），-α，π±α的三角函数值，等于角α的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α暂时视为锐角情况下的原角原函数的符号。口诀：函数名不变；暂作锐角，符号看象限４．例题教学，强化应用例3：利用公式求下列三角函数值：（1）sin(-2010°)(2)tan(-420°)（3）sin(-16π板演过程（标明各步所用的诱导公式名）并得出解此类题的一般方法：负角正角大角小角最终变锐角（两个同时板书）把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：1、任意负角的三角函数用公式三或一化为任意正角的三角函数（负化正）2、任意正角的三角函数用公式一化为0～2π角的三角函数（大化小）3、0～2π角的三角函数用公式二或四化为锐角三角函数（化到锐角）

以上步骤可概括为：“负化正，大化小，最终变锐角”（有时也直接化到锐角求值，但大多数情况下通过查表求值）。这一解题步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。运用这一步骤，我们可以完成有关三角函数的求值、化简、证明等相关问题。问题11：为什么把这个公式称为诱导公式？把求任意角的三角函数值问题一直诱导到变为求锐角的三角函数值问题。备选例题：P25例2．化简:cos课堂练习4：P27练习2（1）（2）、3二题请同学板演，展示学生的学习成果，暴露学生出现的问题及时总结、改正。5．课堂小结：A、简述数学的化归思想；B、三个诱导公式的探究推导过程中，主要运用：数形结合，由特殊到一般，化未知为已知等思想方法，这些思想方法也是我们研究科学问题的常用方法；C、三个诱导公式的记忆：函数名不变；暂作