高考数学一轮复习 第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式演练知能检测

第二节直线的交点坐标与距离公式[全盘巩固]1．(2014·北京模拟)已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝eq\r(3)，则直线AB的方程为()A．y＝eq\r(3)x＋eq\r(3)或y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)或y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),3)C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝eq\r(2)x＋eq\r(2)或y＝－eq\r(2)x－eq\r(2)解析：选B因为|AB|＝eq\r(cosα＋12＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(3).所以cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝±eq\f(\r(3),2)，kAB＝eq\f(±\f(\r(3),2),\f(1,2)＋1)＝±eq\f(\r(3),3).即直线AB的方程为y＝±eq\f(\r(3),3)(x＋1)．2．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2解析：选A因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，即直线l2的斜率k为eq\f(1,2).3．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为()A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：选D依题意知，直线l的斜率存在，故设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2)).所以k＝2或k＝－eq\f(2,3).即所求直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.4．(2014·南昌模拟)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：选C设P(x,5－3x)，则d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．5．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到l的距离为eq\r(10)，则l的方程是()A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0解析：选C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋5y－24＝0，,x－y＝0，))得交点(2,2)，当l的斜率不存在时，不合题意，所以设l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，依题意有eq\f(|5k－1＋2－2k|,\r(k2＋1))＝eq\r(10)，解得k＝3.所以l的方程为3x－y－4＝0.6．曲线eq\f(|x|,2)－eq\f(|y|,3)＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是()A．m>4或m<－4B．－4<m<4C．m>3或m<－3D．－3<m<3解析：选A曲线eq\f(|x|,2)－eq\f(|y|,3)＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点，令y＝0，则x＝－eq\f(m,2)，所以－eq\f(m,2)<－2或－eq\f(m,2)>2，所以m>4或m<－4.7．(2014·金华模拟)直线l1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．解析：直线l1的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，由l2⊥l1得直线l2的斜率为－eq\r(3)，直线l2的方程是y＝－eq\r(3)(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x＋2，,y＝－\r(3)x－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，))因此直线l1与l2的交点坐标是(1，eq\r(3))．答案：(1，eq\r(3))8．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则c的值是________．解析：依题意知，eq\f(6,3)＝eq\f(a,－2)≠eq\f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，因此c＝2或－6.答案：2或－69．已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(4－k＋4)＋eq\f(1,2)×2k2×4＝4k2－k＋8＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,8)))2＋eq\f(127,16)，故面积最小时，k＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)10．(2014·孝感模拟)已知a为实数，两直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上．证明：若a＝1，则l1∥l2，不符合题意，所以a≠1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋y＋1＝0，,x＋y－a＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋1,1－a)，,y＝－\f(a2＋1,1－a)，))所以两条直线的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,1－a)，－\f(a2＋1,1－a)))，显然，－eq\f(a2＋1,1－a)≠0，故交点不可能在x轴上．当a>1时，eq\f(a＋1,1－a)<0，－eq\f(a2＋1,1－a)＝eq\f(a2＋1,a－1)>0，此时交点在第二象限；当－1<a<1时，eq\f(a＋1,1－a)>0，－eq\f(a2＋1,1－a)＝eq\f(a2＋1,a－1)<0，此时交点在第四象限；当a＝－1时，eq\f(a＋1,1－a)＝0，－eq\f(a2＋1,1－a)＝－1，此时交点在y轴上；当a<－1时，eq\f(a＋1,1－a)<0，－eq\f(a2＋1,1－a)＝eq\f(a2＋1,a－1)<0，此时交点在第三象限．综上所述，交点不可能在第一象限及x轴上．11．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq\f(1,2).∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).12．m为何值时，直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．①若m≠0，则k1＝－4，k2＝－m，k3＝eq\f(2,3m)，当m＝4时，k1＝k2；当m＝－eq\f(1,6)时，k1＝k3；而k2与k3不可能相等．②若m＝0，则l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：x－2＝0，此时三条直线能围成三角形．则当m＝4或m＝－eq\f(1,6)时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－eq\f(1,6).将y＝－mx代入4x＋y－4＝0，得x＝eq\f(4,4－m)，即l1与l2交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，－\f(4m,4－m)))，将点P坐标代入l3的方程得eq\f(8,4－m)＋eq\f(12m2,4－m)－4＝0，解得m＝－1或m＝eq\f(2,3).∴当m＝－1或m＝eq\f(2,3)时，l1，l2，l3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m为－1或－eq\f(1,6)或eq\f(2,3)或4时，三条直线不能围成三角形．[冲击名校]1．若直线l：y＝kx－eq\r(3)与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析：选B因为直线l：y＝kx－eq\r(3)过定点(0，－eq\r(3))，直线2x＋3y－6＝0与坐标轴的交点为A(3,0)，B(0,2)，若l与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k>eq\f(0＋\r(3),3－0)＝eq\f(\r(3),3)，因此，直线的倾斜角的取值范围为eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).2．若动点A、B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3eq\r(2)B．2eq\r(2)C．3eq\r(3)D．4eq\r(2)解析：选A依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).[高频滚动]1．(2013·辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0解析：选C若△OAB为直角三角形，则∠A＝90°或∠B＝90°.当∠A＝90°时，有b＝a3；当∠B＝90°时，有eq\f(b－a3,0－a)·eq\f(a3－0,a－0)＝－1，得b＝a3＋eq\f(1,a).故(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0.2．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是___