第2讲函数的图像与性质-参考答案

第2讲1．【答案】．【解析】设，则． 所以为奇函数，的图像关于原点对称． 所以的图像关于点对称．2．【答案】．【解析】（用排除法）令，则得． 若，则，与矛盾； 若，则，与“在区间上单调递增”矛盾； 若，则，也与“在区间上单调递增”矛盾．3．【答案】．【解析】画出图像．当时，显然在区间上不可能有两个解． 当时，若，即时，只需要在区间内有且只有一个根，即，故，此时得到； 当时两个根相等且都是1，不合题意；当时，在区间内无解，则要求在区间内有两个不等实根，但此时不合题意．4．【答案】．【解析1】由题设条件知因此有，故．【解析2】令，则，，即，，故，得是周期为2的周期函数，所以．5．【答案】．【解析】若为有理数，且．设，由知，，． 当时，不存在； 当时，存在唯一的，此时，； 当时，设，其中，且，此时． 因为，所以若为有理数，则当时，取最大值． 又为无理数，且当时，． 综上所述，在区间上的最大值为6．【答案】．【解析】若，即或，则由恒成立，得，，由解得，从而或．若，则符合题意． 若，即，则由恒成立，得，由，解得或，从而．综上所述，的取值范围是．7．【答案】．【解析】函数的定义为． 当时，有，，所以； 当时，有，，所以． 所以，原函数的定义域为．8．【答案】．【解析】由题设知则．因此，原不等式等价于． 因为在上是增函数，所以，即．又，所以当时，取得最大值．因此，，解得．故的取值范围是．9．【解析】运用单调性的定义．（1）当时，，当且仅当时不等式成立，所以；又时，，故的值域为．（2）任取，，，由于在定义域内为增函数，故，，从而有，所以，该不等式对恒成立，故．10．【解析】构造函数令，则，所以是上以1为周期的周期函数；又由条件当时有可得，当时，，所以周期函数在上有，据此知，在上，．11．【解析】由题意，函数图像为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭区间的端点处取得，故有，从而且． 若有实根，则，在区间上有，即，消去，解出，即，这时，且． 若无实根，则，将代入，解得． 综上所述，，所以，在区间上，关于的二次函数单调递减，故．12．【解析】（1），显然，当时，（与无关），故定点为．（2）的顶点的坐标为消去，得，这就是的顶点所在的那条抛物线方程，即．（3）解法设，即的两个整数根为和，且，则消去，得，，，所以（41是素数），从而或或．以上仅是必要条件，下面来逐一检验：当时，方程为，即，解方程，得，合乎题目要求．当时，方程为，即，解方程，得，合乎题目要求． 综上所述，所求的整数或23．解法2：（利用判别式）设，即的两个整数根为和，且，则，而，于是是非负整数． 所以（41是素数），从而或或．检验如下：当时，或，合乎题目要求．当时，或，合乎题目要求． 综上所述，所求的整数或23．13．【解析】，令，可知是奇函数，且严格单调，所以，当时，，所以，以，即图像和轴交点的坐标为．14．【解析】先作出的图像（答图中实线部分，然后将图像上所有点的纵坐标扩大2倍而横坐标不变，再将所得图像向下平移1单位，并保留轴上方的部分，将轴下方的部分对称地翻折到轴上方，便得的图像，如答图所示． 同样的方法，可作函数的图像，如答图所示，它与直线在上有8个交点．因此，原方程有8个实数解．15．【解析】（1）若函数有奇偶性，则无论奇偶，由有，又，令，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故函数无奇偶性． 又，故在闭区间和上均有两个解，从而可知函数在闭区间上有402个解，在闭区间上有400个解，所以函数在闭区间上共有802个解．16．【解析】解法的定义域为，当时，；，当时，，从而当时有最大值．解法2：的定义域为，令，，， 因为，所以，即．① 因为，所以，代入式①，得，易知，即②所以，． 当时，式①、式②同时取等号，故有最大值．解法3：的定义域为，，因为后在上都是减函数，所以当时有最大值．