2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形（10

题）

一.解答题（共10小题）

1.（2021•宁夏）如图，8。是必的对角线，NBA。的平分线交8。于点E,NBCO的

平分线交BD于点F.求证：AE〃C尸.

2.（2021•西宁）如图，四边形A8CQ是菱形，对角线AC,8。相交于点O,△BOC也ZXCEB.

（1）求证：四边形OBEC是矩形；

(2)若NABC=120°,A8=6,求矩形OBEC的周长.

3.（2021•滨州）如图，矩形ABC。的对角线AC、BO相交于点O,BE//AC,AE//BD.

（1）求证：四边形AOBE是菱形；

（2）若/AOB=60°,AC=4,求菱形AO8E的面积.

4.（2021•盘龙区二模）如图，已知点E是cABCQ中BC边的中点，连接AE并延长交DC

的延长线于点F,连接AC,BF,AF=BC.

（1）求证：四边形ABFC为矩形；

（2）若△AFO是等边三角形，且边长为4,求四边形ABFC的面积.

A

D

5.(2021•白银一模)如图，在矩形48CD中，40=6,CO=8,菱形EFG”的三个顶点E,

G,H分别在矩形A8CZ)的边AB,CD,DA±,AH=2,连接CF.

(1)当OG=2时，求证：四边形EFGH是正方形；

(2)当aFCG的面积为2时，求OG的值.

6.(2021•开江县模拟)如图，在四边形ABCD中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交

于点。，AC平分NBA。，过点C作CELAB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若4B=3,BD=4,求OE的长.

7.(2021•甘肃模拟)如图，在矩形ABC3中，E是边4力上点.连接BE,过点C向BE作

垂线，交BE于点F,交ZM的延长线于点G.且满足AG=£>E.

(1)求证：BF=EF；

(2)若4£=」C£>=2,求CG的长.

2

BC

8.(2021•广州)如图，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动

点，延长到点F,使AF=AE,且CF、OE相交于点G.

备用图

(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形ZJFEC是平行四边形；

(2)当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点8时，求点G运动路径的长度.

9.(2021•五峰县模拟)已知正方形A8CD与正方形BEFG,正方形BEFG绕点8顺时针旋

转a度，其中0°<a<360°.

(2)如图2,当点F在边。C上时，/BCE的值是否会改变，若不变，请求出NBCE的

度数，若改变，请说明理由.

(3)若正方形ABC。的面积是正方形BEFG面积的5倍，直线AG与直线C8、CE分别

相交于点P、H,在旋转的过程中，当点”与点F重合时.

①求PG：尸F的值.

②当AB=旄时，求。G的值.

10.(2021•兰州)己知正方形ABC。,E,尸为平面内两点.

图1图2

【探究建模】

(1)如图1,当点E在边4B上时，DELDF,且B,C,尸三点共线.求证：AE=CF；

【类比应用】

(2)如图2,当点E在正方形A8CQ外部时，DEVDF,AEVEF,且E,C,F三点共

线.猜想并证明线段AE,CE,DE之间的数量关系：

【拓展迁移】

(3)如图3,当点E在正方形ABCO外部时，AE1EC,AEVAF,DE±BE,且。，F,

E三点共线，与A8交于G点.若£>F=3,AE=E求CE的长.

2022年中考数学复习之小题狂练450题（解答题）：四边形（10

题）

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.（2021•宁夏）如图，8。是QABCO的对角线，NBA。的平分线交8。于点E,/8C。的

平分线交8。于点凡求证：AE//CF.

【考点】角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】由在nABCZ）中，可证得AO=BC,AD//BC,NBAD=NBCD,又由/BAD和

N2CD的平分线AE、CF分别与对角线8。相交于点E,F,可证得继

而可证得（AS4）,由全等三角形的性质可得N4EO=NCF8,进而可得

AE//CF.

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,NBAD=NBCD.

:.NADB=NCBD.

'：ABAD.NBC。的平分线分别交对角线80于点E、F,

;./EAD=L/BAD,NFCB=LNBCD,

22

：.ZEAD=ZFCB.

在△AE£）和△CF8中，

'/ADE=/CBF

'AD=CB，

ZEAD=ZFCB

：.AAED迫/XCFB（ASA）,

:./AED=4CFB,

J.AE//CF.

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得△AED

丝△CF8是证题的关键.

2.(2021•西宁)如图，四边形ABCQ是菱形，对角线AC,8。相交于点O,△BOC丝△CE8.

(1)求证：四边形OBEC是矩形；

(2)若/ABC=120°,AB=6,求矩形OBEC的周长.

【考点】全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性

质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正

方形；运算能力；推理能力.

【分析】(1)由全等三角形的性质得OB=EC,OC=EB,则四边形OBEC是平行四边形,

再由菱形的性质得/BOC=90°,即可得出结论；

(2)由菱形的性质得ACLBD,BC=AB=6,/£>BC=2NABC=60°,则/OCB=30°,

2

再由含30°角的直角三角形的性质得O8=」BC=3,然后由勾股定理求出OC的长，即

2

可求解.

【解答】(1)证明：,:丛BOC坦丛CEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四边形OBEC是平行四边形，

•.•四边形A8C。是菱形，

.,.ACLBD,

：.ZBOC=90°,

平行四边形OBEC是矩形；

(2)解：：四边形ABCC是菱形，AB=6,/4BC=120°,

J.ACLBD,BC=AB=6,NQBC=4NABC=60°,

2

AZBOC=90°,

：.ZOCB=30°,

0B=JLBC=3,

2

℃=橄2_082=必2_32=3遥,

矩形OBEC的周长=2(3代+3)=6«+6.

【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等

三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识：熟练掌握菱形的性质,

证明四边形OBEC为矩形是解题的关键.

3.(2021•滨州)如图，矩形ABC。的对角线AC、相交于点。，BE//AC,AE//BD.

(1)求证：四边形AOBE是菱形；

(2)若/AO8=60°,AC=4,求菱形408E的面积.

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力；应用意识.

【分析】(1)根据8E〃/IC,AE//BD,可以得到四边形40BE是平行四边形，然后根据

矩形的性质，可以得到0A=08,由菱形的定义可以得到结论成立；

(2)根据乙4。8=60°,AC=4,可以求得菱形AOBE边0A上的高，然后根据菱形的

面积=底乂高，代入数据计算即可.

【解答】(1)证明：•:BE//AC,AE//BD,

...四边形AOBE是平行四边形，

•.•四边形A8C。是矩形，

：.AC=BD,OA=OC=LC,OB=OD=LBD,

22

：.OA=OB,

四边形AO8E是菱形；

(2)解：作BFLOA于点凡

•..四边形A8CC是矩形，AC=4,

.\AC=BD=4,OA=OC=2AC,OB=OD=』BD,

22

：.OA=OB=2,

VZAOB=60°,

.,.BF=0B・sinNA0B=2X返=道，

2

菱形408E的面积是：0A，BF=2乂如=2如.

【点评】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，

知道菱形的面积=底乂高或者是对角线乘积的一半.

4.(2021•盘龙区二模)如图，已知点E是。A8C。中8C边的中点，连接AE并延长交。C

的延长线于点凡连接4C,BF,AF=BC.

(1)求证：四边形ABFC为矩形；

(2)若△AFD是等边三角形，且边长为4,求四边形A8FC的面积.

【考点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正

方形；运算能力；推理能力.

【分析】(1)证△ABE丝△尸CE(AAS),得A8=FC,再由A8〃FC,证四边形ABFC是

平行四边形，然后由AF=BC即可得出结论；

(2)由矩形的性质得N4C尸=90°,再由等边三角形的性质得尸=4,CF=XDF

2

=2,然后由勾股定理求出AC=2近，即可求解.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

J.AB^CD,AB//CD,

；.NBAE=NCFE,

;点E是。A8C£＞中BC边的中点,

:.BE=CE,

在△ABE和△人;£中，

<ZBAE=ZCFE

-ZAEB=ZFEC>

BE=CE

.,.△ABE2"CE(AAS),

：.AB=FC,

'：AB//FC,

，四边形4BFC是平行四边形，

又：AF=8C,

，平行四边形A8FC为矩形；

(2)解：由(1)得：四边形ABFC为矩形,

AZACF=9Q°,

：△AFC是等边三角形，

：.AF=DF^4,CF=ADF=2,

C==V42-22=2«，

/.四边形ABFC的面积=ACXCF=2相X2=4相.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定

与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三

角形全等是解题的关键.

5.(2021•白银一模)如图，在矩形A8C£)中，40=6,CD=8,菱形EFGH的三个顶点E,

G,H分别在矩形A3CC的边A3,CD,DA±,AH=2,连接CF.

(1)当。G=2时，求证：四边形EFG”是正方形；

(2)当△FCG的面积为2时，求。G的值.

DGC

【考点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形：推理能力.

【分析】(1)由于四边形ABC。为矩形，四边形"EFG为菱形，那么/Z)=NA=90°,

HG=HE,而AH=OG=2,易证△AHE之△Z)GH,从而有NDHG=NHEA,等量代换可

得NAHE+NDHG=90°,易证四边形HEFG为正方形；

(2)过产作FQ_LOC于根据AB〃CD,可得NAEG=NQGE,同理有/”EG=N

FGE,利用等式性质有NAEH=NQGF,再结合NA=NM=90°,HE=FG,可证△AaE

生丛QFG,利用三角形面积解答即可.

【解答】(1)证明：在矩形A5CD中，有NA=N£>=90°,

：.ZDGH+ZDHG=90a,

在菱形EFG4中，EH=GH,

'：AH=2,DG=2,

：.AH=DG,

：.RtAAE/Z^RtADWG(HL),

：.NAHE=NDGH,

：.ZAHE+ZDHG=90°,

；.NEHG=90°,

四边形是正方形；

(2)过F作FQ_L£>C于Q,连接EG,如图所示，则/FQG=90°,

.,./A=/FQG=90°,连接EG,

由矩形和菱形性质，Afi//DC,HE//GF,

：.NAEG=NQGE,ZHEG=ZFGE,

：.NAEH=NQGF,

；EH=GF,

.•.△AE%Z\QGF(A4S),

：.FQ=AH=2,

：S"CG=aCG・PQ弓XCGX2=2,

：.CG=2,

：.DG=DC-CG^6.

【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的

关键是作辅助线：过F作/MLDC,交0c延长线于M,连接GE,构造全等三角形和内

错角.

6.（2021•开江县模拟）如图，在四边形A8C。中，AB//DC,AB^AD,对角线AC,BD交

于点O,AC平分NBA。，过点C作CEJ_AB交AB的延长线于点E,连接0E.

（1）求证：四边形ABC7）是菱形；

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；菱形

的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算

能力；推理能力.

【分析】（1）先证CO=AO=AB,则四边形4BC£＞是平行四边形，再由即可

得出结论；

（2）由菱形的性质得0A=0C,0B=0D,BD±AC,再由直角三角形斜边上的中线性

质得0E=0A=0C,然后由勾股定理得。4=遥，即可求解.

【解答】（1）证明：

：.Z0AB=ZDCA,

为ND48的平分线，

：.ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA^ZDAC,

：.CD=AD=AB,

'.,AB//CD,

...四边形A8C。是平行四边形，

\'AD=AB,

四边形A8CD是菱形；

(2)解：•.•四边形ABCD是菱形，

：.OA=OC,BDrAC,

'JCELAB,

：.OE=^AC=OA^OC,

2

；B£>=4,

0B=、BD=2,

2

在Rt/XAOB中，AB=3,0B=2,

•••OA=VAB2-0B2=V32-22^^

.'.OE=OA=\[^.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定

与性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱

形的判定与性质是解题的关键.

7.(2021•甘肃模拟)如图，在矩形4BCD中，E是边AD上点.连接BE,过点C向8后作

垂线，交BE于点F,交D4的延长线于点G.且满足AG=£>E.

(1)求证：BF=EF；

(2)若AE=」CD=2,求CG的长.

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力.

【分析】(1)根据矩形的性质证明△GEF四△CBF,进而可以解决问题；

(2)根据勾股定理可得BE的长，然后证明可得丝=旦1,得AG=3,

BEAE

进而可以解决问题.

【解答】(1)证明：在矩形A8CC中，AB=DC,AD=BC,AD//BC,

:.NG=/FCB,

\'AG=DE,

：.AG+AE=DE+AE,

：.GE=AD,

：.GE=BC,

在△GEF和△CBF中，

2G=NFCB

<NGFE=NCFB，

GE=CB

:.XGEF沿XCBF(AAS),

:.EF=BF；

(2)解：'：AE=1CD=2,

2

.•・A8=CO=4,

B£=VAB2+AE2=V42+22=2^

:.EF=BF=Afi£=5/5,

'：GFLBE,

：.ZGFE=ZBAD=90°,

AZG+ZGEF^ZABE+ZBEA=90a,

NG=NABE,

:.△GFES/\BAE,

•GE=EF

"BEAE'

-AG+2;娓

••跖v,

；.AG=3,

DG^AG+AE+DE^2AG+AE=6+2=8,

CG=VDG2-K：D2=VS2+42=4^-

••.CG的长为4遥.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

解决本题的关键是得到△GEFs^BEA.

8.(2021•广州)如图，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动

点，延长BA到点F,使AF=AE,且CF、OE相交于点G.

备用图

(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.

【考点】四边形综合题.

【专题】综合题；几何直观.

【分析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，

(3)利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解.

【解答】解：(1)证明：连接OF,CE,如图所示：

为A8中点，

:.AE=AF=1AB,

2

：.EF=AB=CD,

•.•四边形ABC。是菱形,

：.EF//AB//CD,

...四边形。汽EC是平行四边形.

(2)作设AE=/^=%,如图所示,

•.•四边形ABC。是菱形，

J.CD//EF,

.♦.△COGs"EG,

•CDEF

CGFG

FG~2m,

在RtZXCB”中，NCBH=60°,BC=2,

sin6O°=里CH=M，

BC

cos60°=里BH=1,

BC

在Rtz^CFH中，CF=2+2，〃，CH=«,FH=3+m,

CP^Cff+FH2,

2

即(2+2/T?)2=(73)+(3+〃?)2,

整理得：3m2+2m-8=0,

解得：，m=匹，mi--2(舍去)，

3

.4

.♦杷宣

(3)G点轨迹为线段AG,

证明：如图，

EMB（此图仅作为证明AG轨

迹用）,

延长线段AG交CD于4,作于M,作DNLAB于N,

•••四边形ABC。是菱形，

J.BF//CD,

:.△DHGS^EGA,△HGCS^AGF,

.AE_AGAF_AG

,•丽而而言

•••A--E二---A-F,

DHCH

'：AE=AF,

:*DH=CH=l,

在RtZ\A£)N中，AD=2,ZDAB=60°.

.•.sin60°=迦，DN=ECOS60°=迎，AN=l,

ADAD

在RtZXAHM中，HM=DN=M，AM=AN+NM=AN+DH=2,

tanZHAM=^-,

2

G点轨迹为线段AG.

.•・G点轨迹是线段4G.

如图所示，作GH_LA8,

:四边形ABC。为菱形，ND4B=60°,AB=2,

J.CD//BF,BD=2,

:.△CDGSXFBG,

ACE^^DG,BpBG=2DG,

BFBG

BG+DG=BD=2,

.-.BG=A,

3

在RtZ\GHB中，BG=_1,ZDBA=60°,

3

sin60°=里G”=?叵

BG3

cos60°=典，BH=Z,

BG3

在RtZVlHG中，AH=2-Z=_1,GH=^^,

333

AG2=（A）2+（2立）2=殁，

339

；.AG=」".

3_

...G点路径长度为2互.

3

解法二：如图，连接AG,延长AG交C。于点W.

,JCD//BF,

•FA=AG(AG=AE；

,,CWWGV而‘

•FA=AE(

'*cw而，

"：AF=AE,

：.DW=CW,

.•.点G在AW上运动.

下面的解法同上.

【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和

勾股定理求解.

9.(2021•五峰县模拟)已知正方形ABCQ与正方形8EFG,正方形BEFG绕点B顺时针旋

转a度，其中0°<a<360°.

(2)如图2,当点尸在边DC上时，NBCE的值是否会改变，若不变，请求出N8CE的

度数，若改变，请说明理由.

(3)若正方形ABCD的面积是正方形BEFG面积的5倍，直线AG与直线CB、CE分别

相交于点P、H,在旋转的过程中，当点”与点尸重合时.

①求PG：PF的值.

②当48=注时，求OG的值.

【考点】四边形综合题.

【专题】矩形菱形正方形；应用意识.

【分析】(1)延长AG交直线CE于点M,根据SAS证△ABG四△C8E,得出AG=CE,

再根据角的关系，得出NCMG=NABC=90°即可；

(2)根据/£>CB=NF£B=90°,得点尸、B、E、C四点共圆，即可得出NBCE=NBFE

=45。；

(3)①根据旋转角度分情况求出PG：尸尸的值；

②根据旋转角度分情况求出DG的值即可.

【解答】(1)证明：延长AG交直线CE于点M,

,/正方形ABCD与正方形BEFG,

图1

：.AB=BC,BG=BE,ZABC=ZGBE=90°,

/ABG=NCBE=a,

：.AABG^ACBE(SAS),

：.AG=CE,/BAG=/BCE,

又・・・N1=N2,

・・・NCMG=NA3C=90°,

：.AG.LCEf

即AG=CE,AGA.CE；

(2)N8CE的值不变，NBCE=45°,

理由如下：・・,正方形ABC。与正方形3EFG,

:・NDCB=NFEB=90°，

：.ZBCE=ZBFE=45°；

(3)设正方形A5CD与正方形BEFG的边长分别为mb,

•・•正方形ABC。的面积是正方形8E/G面积的5倍，

，〃2：b2=5：1,

***a=\Z'^b，

如图，当0°<a<90°,

①在△AGB中，/AGB=90°,48=遥卜BG=b,

：.AG=2b,

.".tanZGAB=—,

2

•••BP1,

AB2

又；AB=V^b,

：.BP=^-b'CP=CB-BP=与b

又,：BG//CE,

:.△GBPs^FCP,

：.PG：PF=PB：PC=1；

②二过点D作DT±AP于点T,

A.B

图3

在△A£>7与△BAG中，

\'AB=AD,ND7A=NAGB=9O°,ZDAB=9QQ,

/D4T+/A£>r=90°,/D4T+NG4B=90°,

NADT=NGAB,

：.^ADT^/\BAG(A4S),

：.DT^AG=2b,AT=BG=b,

：.GT=b,

AB=\[^,

:♦a=b=I,

在RtZ\GOT中，

DG=VDT2+TG2=V5;

当90°<a<360°时，如图,

①此时gP=2^b，PC=PB+BC=^&b，

同理可得PG：PF=PB：PC=A；

3

®DT=AG=2b,AT=BG^b,

：.GT=3b,

,:AB=/

••a=*^5，b=1,

在RtZ\G。7中，

=22

DGVDT+TG=V13,

综上，当0°<a<90°时，PG：PF=\,OG=泥，当90°<a<360°时，PG：PF=X,

3

DG=A.

【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角

形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

10.（2021•兰州）已知正方形ABCD,E,F为平面内两点.

图1图2图3

【探究建模】

(1)如图1,当点E在边A8上时，DELDF,且8,C,尸三点共线.求证：AE=CF；

【类比应用】

(2)如图2,当点E在正方形A8CD外部时，DE1DF,AELEF,且E,C,F三点共

线.猜想并证明线段AE,CE,OE之间的数量关系；

【拓展迁移】

(3)如图3,当点E在正方形ABCC外部时，AE±EC,AE±AF,DELBE,且。，F,

E三点共线，OE与AB交于G点.若。F=3,AE=&,求CE的长.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；推理能力.

【分析】(1)证明△〃£；畛△QCF(ASA),可得结论.

(2)猜想：EA+EC=MDE.如图2中，证明0△CCF,推出。E=£»EAE=CF,

即可证明.

(3)如图3中，连接AC,取AC的中点。，连接OE,0D.证明NAEQ=N£>EC=45°,

利用(2)中结论求解即可.

【解答】(1)证明：如图1中，

图1

•.•四边形A8CO是正方形，

：.DA=DC,/A=NAOC=NDCB=NZ)CF=90°,

,：DE1.DF,

：.ZEDF=ZADC=90°,

ZADE=ZCDF,

在△加£：和△£>'中,

fZADE=ZCDF

<DA=DC，

ZA=ZDCF

：./\DAE^^DCF(ASA),

：.AE=CF.

(2)解：猜想：EA+EC=MDE.

理由：如图2中，

图2

;四边形A5CZ)是正方形，

：.DA=DC,ZADC=90Q,

DEIDF,AE.LEF,

：.ZAEF=ZEDF=90°,

：./ADC=/EDF,

：.ZADE=ZCDFf

VZADC+ZA£C=180°,

：.ZDAE+ZDCE=\S0°,

VZDCF+ZDCE=180°,

：.ZDAE=ZDCFf

：./\DAE^/^DCF(A4S),

:・AE=CF,DE=DF,

：・EF=MDE,

•:AE+EC=EC+CF=EF,

：.EA+EC=yp2PE.

（3）解：如图3中，连接AC,取AC的中点。，连接OE,0D.

图3

•••四边形ABC。是正方形，AEVEC,

：.ZAEC=ZADC=90°,

"：OA=OC,

：.OD=OA=OC=OE,

：.A,E,C,。四点共圆，

...NAEC=NAC£>=45°,

AZAED=ZDEC^45Q,

由（2）可知，AE+EC=yf2DE,

'.'AEA.AF,

：.ZEAF^90°,

AZAEF=ZAFE=45°,

：.AE=AF=y/2,

:.EF={^E=2,

"：DF=3,

：.DE=5,

.•.扬£C=5&,

，EC=4&.

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四

点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决

问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

（2）性质：若。C是乙40B的平分线

则/AOC=ZBOC^^ZAOB或/AOB=2/AOC=2/BOC.

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.

2.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即义=工义底义高.

2

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

3.全等三角形的性质

（1）性质1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

（2）关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角

形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边

的对角.

4.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

5.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相

等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分

线的性质语言：如图，在/A02的平分线上，CDLOA,CE10B：.CD=CE

6.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相

等、角相等的重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、

底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”