2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题六概率与统计第3讲统计与成对数据的分析

第一篇专题六第3讲一、单项选择题1.(2023·石家庄二模)为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3∶1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是(A)A．16 B．24C．32 D．40【解析】设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以3x－x＝8，即x＝4，所以参加调研的总人数为x＋3x＝16.故选A.2.(2023·广西模拟)已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是(A)A．150,15 B．150,20C．200,15 D．200,20【解析】由图1得样本容量为(350＋200＋450)×15%＝1000×15%＝150，抽取贫困户的户数为200×15%＝30户，则抽取C村贫困户的户数为30×0.5＝15户．故选A.3.(2023·佛山模拟)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(A)A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【解析】由散点图可知图1与图3是正相关，故r1＞0，r3＞0，图2与图4是负相关，故r2＜0，r4＜0，且图1与图2的样本点集中在一条直线附近，因此r2＜r4＜0＜r3＜r1.故选A.4.某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据x/℃1520253035y/百元12245已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程是(B)A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2 B．eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2C.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2 D．eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋2.2【解析】经验回归直线必过样本中心点，由题意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(15＋20＋25＋30＋35,5)＝25，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋2＋4＋5,5)＝2.8，结合选项可知，2.8＝0.2×25－2.2，即y与x的经验回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x－2.2.故选B.5.(2023·青岛模拟)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好402060不爱好203050合计6050110已知χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥10.828)＝0.001，根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，以下结论正确的为(C)A．爱好跳绳与性别有关B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C．爱好跳绳与性别无关D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001【解析】a＋b＝40＋20＝60，c＋d＝20＋30＝50，a＋c＝40＋20＝60，b＋d＝20＋30＝50，ad－bc＝40×30－20×20＝800，n＝110，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(110×8002,60×50×60×50)≈7.822<10.828，故爱好跳绳与性别无关，但不能推出这个结论犯错误的概率不超过0.001，故选C.6.(2023·和平区一模)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40,100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是(D)A．第三组的频数为15人B．估计样本的众数为75分C．估计样本的中位数75分D．估计样本的平均数为75分【解析】分数在[60,70)内的频率为1－10×(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.15，所以第三组[60,70)的频数为100×0.15＝15(人)，故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；因为(0.005＋0.015＋0.015)×10＝0.35＜0.5，(0.005＋0.015＋0.015＋0.03)×10＝0.65＞0.5，所以中位数位于[70,80)，设中位数为x，则0.35＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝75，即中位数的估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为：45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.03)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.01)＝73.5(分)，故D错误．故选D.7.(2023·市中区校级一模)在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲40705乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为(C)A．6.5 B．13C．30.8 D．31.8【解析】两个班级总的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(40×70＋60×80,40＋60)＝76，则两个班所有学生的数学成绩的方差为eq\f(40×[5＋76－702]＋60×[8＋76－802],40＋60)＝30.8.故选C.8.(2023·九江二模)已知变量的关系可以用模型y＝kemx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据如下．由表可得线性回归方程z＝3x＋a，则k＝(B)x12345z2451014A.e－3 B．e－2C．e2 D．e3【解析】由表格数据知eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(z,\s\up6(－))＝7.即样本中心点为(3,7)，由z＝3x＋a，得a＝7－3×3＝－2，即z＝3x－2，所以z＝lny＝lnk＋mx＝3x－2，即lnk＝－2，可得k＝e－2，故选B.二、多项选择题9.(2023·辽宁一模)给定数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2，则这组数据的(AB)A．中位数为3 B．方差为eq\f(8,5)C．众数为3 D．85%分位数为4.5【解析】将数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2，按小到大的顺序排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,5，则这组数据的中位数为eq\f(3＋3,2)＝3，故A正确；数据中2,3，出现的次数最多，所以众数为2和3，故C错误；平均数为：eq\f(1＋2×3＋3×3＋4＋5×2,10)＝3，则方差为eq\f(1,10)[(1－3)2＋(2－3)2×3＋(3－3)2×3＋(4－3)2＋(5－3)2×2]＝eq\f(8,5)，故B正确；第85%分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，因此，从小到大第9个数字为5，故D错误，故选AB.10.(2023·香坊区校级模拟)在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是(AD)A．甲组中位数为2，极差为5B．乙组平均数为2，众数为2C．丙组平均数为1，方差大于0D．丁组平均数为2，方差为3【解析】因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于eq\f(1,10)×(8－2)2＝3.6＞3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．故选AD.11.(2023·思明区校级二模)下列命题中，正确的命题(BD)A．回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，且至少过一个样本点B．将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好D．若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.84，则P(3＜ξ＜6)＝0.34【解析】回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))恒过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，不一定过样本点，故A错误；将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，数据的波动性不变，故方差不变，故B正确；用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；因为随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＜6)＝0.84，所以P(3＜ξ＜6)＝P(ξ＜6)－0.5＝0.84－0.5＝0.34，故D正确．故选BD.12.(2023·万州区校级模拟)2022世界乒乓球团体锦标赛在成都举办，中国女队、男队分别于10月8日和10月9日夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮．为了解性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计．得到如图所示的列联表．性别观看乒乓球比赛喜欢不喜欢男6040女2080则下列说法正确的是(AD)参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.100.050.010.0050.001x02.7063.8416.6357.87910.828A.喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为eq\f(1,4)B．男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为eq\f(2,3)C．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无关D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关【解析】由表中数据知，喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为P＝eq\f(20,60＋20)＝eq\f(1,4)，选项A正确；男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为P′＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5)，选项B错误；由题意进行数据分析，得到2×2列联表如下：性别观看乒乓球比赛喜欢不喜欢男6040女2080合计80120计算X2＝eq\f(200×60×80－20×402,100×100×80×120)＝eq\f(100,3)≈33.333＞10.828，所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，选项C错误；所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，选项D正确．故选AD.三、填空题13.(2023·兴义市校级一模)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为_12__.【解析】∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，∴数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为：22×3＝12.14.(2023·毕节市模拟)某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检．已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5∶1，且被抽到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是_96__.【解析】设参加体检的人数为n，则eq\f(5n,6)－eq\f(n,6)＝64，解得n＝96，所以参加体检的人数是96人．15.(2023·黄浦区校级三模)从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102,110,117,120,122,122,122,126,134,145(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是_124__.【解析】因为10×70%＝7，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是eq\f(122＋126,2)＝124.16.(2023·涪城区校级模拟)针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生追星的人数占男生人数的eq\f(1,6)，女生追星的人数占女生人数的eq\f(2,3)，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有_12__人．参考数据及公式如下：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋db＋d)P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【解析】设男生人数为x，依题意可得列联表如下：喜欢追星不喜欢追星总计男生eq\f(x,6)eq\f(5x,6)x女生eq\f(x,3)eq\f(x,6)eq\f(x,2)总计eq\f(x,2)xeq\f(3x,2)若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则K2＞3.841，由K2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)－\f(5x2,18)))2,\f(x,2)·x·x·\f(x,2))＝eq\f(3,8)x＞3.841，解得x＞10.24，因为eq\f(x,2)，eq\f(x,6)为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．四、解答题17.(2023·柳南区二模)今年神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成对接，为了普及航天航空科技知识，某校组织全体学生进行了航天航空科技知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数1112221规定60分以下为不及格：60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．(1)请估计此次比赛中该校学生成绩的优秀率；(2)从全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行航天航空科技知识演讲，求抽取的两人中良好和优秀各有1人的概率．【解析】(1)∵80分及以上为优秀，∴eq\f(2＋1,10)＝0.3，故此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3.(2)∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为2∶(2＋1)＝2∶3，∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b，在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E.从a，b，C，D，E中随机抽取2人的所有基本事件为：(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种，其中良好和优秀各1人的有：(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6种．根据古典概型概率公式可知，良好和优秀各1人的概率为eq\f(6,10)＝0.6.18.(2023·毕节市模拟)某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位：百万元)与其月销售量y(单位：千辆)的数据进行统计，得到如下统计表和散点图．x12345y0.691.611.792.082.20(1)通过分析散点图的特征后，计划用y＝ln(bx＋a)作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程；(2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销．根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量ξ的分布列为：ξ345Peq\f(3,2)p2pp＋eq\f(1,6)结合回归方程和ξ的分布列，试问公司的决策是否合理．参考公式及参考数据：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，ln7≈1.95.y0.691.611.792.082.20ey(保留整数)25689【解析】(1)因为y＝ln(bx＋a)，令z＝bx＋a，所以z＝ey.由题可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋5＋6＋8＋9)＝6，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)izi－5\o(x,\s\up6(－))·\o(z,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(107－5×3×6,55－5×9)＝eq\f(17,10)＝1.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝6－1.7×3＝0.9，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝1.7x＋0.9，所以回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝ln(1.7x＋0.9)．(2)当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝ln(1.7×11＋0.9)＝ln19.6＝lneq\f(2×49,5)＝ln2＋2ln7－ln5＝2.98.因为eq\f(3,2)p2＋p＋p＋eq\f(1,6)＝1且0＜p＜1，所以p＝eq\f(1,3)，所以E(ξ)＝3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,2)＝eq\f(13,3)＞2.98，所以公司的决策合理．19.为落实“十三五”规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时合计A型B型合计根据上面的列联表，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？(2)用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100×(0.0