2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试题及答案解析

2022年上海市松江区仓桥学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列代数式中，归类于分式的是（）

A.B.-C.嚼D.等

3xV3Vx

2.下列方程中，有实数根的是（）

A.V1+%=-1B.V%—1=—XC.x3+3=0D.%4+4=0

3.函数y=kx—k—l（常数々>0）的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.某餐饮公司为一所学校提供午餐，有10元、12元、15元三种价格的盒饭供师生选择，每

人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占50%、30%、20%,那么这一天

该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（）

A.12元、12元B.12元、11元C.11.6元、12元D.11.6元、11元

5.如果。ABCD的对角线相交于点0,那么在下列条件中，能判断。力BCD为菱形的是（）

A.乙OAB=^OBAB.乙OAB=4OBC

C./-OAB=乙OCDD.WAB=LOAD

6.如图，已知中，4C=90。，4C=3,BC=4,如果以点C为圆心的圆与斜边4B有

公共点，那么OC的半径r的取值范围是（）

A.0<r<y

B.y<r<3

C.y<r<4

D.3<r<4

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.分解因式：x2—xy—12y2=.

8.方程4刀2-1=—1的解是

9.函数y=目的定义域是

10.如果反比例函数y=g（k>0）的图象经过点4（2,月）与8（3,及），那么丫1%•（填

“>”、或“=

11.在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个

球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是.

12.某工厂对一个小组生产的零件进行调查.在10天中，这个小组出次品的情况如表所示:

每天出次品的个数0234

天数3241

那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是

13.李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟.如

果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校

的路程是2900米，设他推车步行的时间为％分钟，那么可列出的方程是.

14.如图，己知点。是正六边形48coEF的中心，记而=沅，OF=n9那么而=（

用向量而、记表示）.

15.如图，已知点D、E分别在△ABC边48、4C上，DE//BC,BD=2AD,那么S^OEB：

S>EBC=------

16.如图，已知力B是0。的直径，弦CD交4B于点E,ACEA=30°,OF1CD,垂足为点F,

DE=5,OF=1,那么CD=.

17.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平

面图形的一条面积等分线.已知△4BC中，4B=4C=10,BC=12,点。在边BC上，且BD=4,

过点D的面积等分线交44BC的边于点E,那么线段4E的长等于.

18.如图，已知在AABC中，AB=AC,tanzS=p将△力BC翻折，使点C与点4重合，折

痕。E交边BC于点D,交边4C于点E,那么压的值为.

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

-12

19.计算：V8+^-1_2—（1）V3+（1—V2）.

A

BC

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.（本小题10.0分）

（15—9xW10—4x

解不等式组：x-ix+rx）.将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数

—rh2

解.

21.（本小题10.0分）

如图，已知反比例函数y=：（k>0）的图象经过4（1,6）、B两点,直线4B与x轴交于点C.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)若啜=；,求点C点坐标.

ADL

22.(本小题10.0分)

如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡比为i=l：

卷，且AB=26米.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质人

员勘测，当坡角不超过53。时，可确保山体不滑坡.

(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长.

(2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？(结

果精确到1米)

(参考数据：sin53°»0.8,cos53°®0.6,tan53°®1.33).

□

□

□

□

23.(本小题12.0分)

如图，在AABC中，AB=4C,点。在BC上，以40、4E为腰做等腰△AOE,S.AADE=/.ABC,

连接CE,过E作EF〃BC交。1延长线于F,连接BF.

(1)求证：/.ECA=4aBC；

(2)如果4F=4B,求证：四边形FBDE是矩形.

24.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点4、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tanz.OAB=3,

抛物线y=+mx+3经过4、B两点，顶点为D.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将AOAB绕点4顺时针旋转90。后，点8落到点C的位置，求四边形力BCC的面积；

(3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C,若点P在平移后的抛物线上，且满足

AACP=AABO,求点P的坐标.

25.(本小题14.0分)

如图1,点C是半圆4B上一点(不与4、B重合)，。0J.BC交弧BC于点D,交弦BC于点E,连接

4。交BC于点F.

(1)如图1,如果4D=BC,求乙4BC的大小；

(2)如图2,如果4F：DF=3：2,求乙4BC的正弦值；

(3)连接OF,。。的直径为4,如果ADF。是等腰三角形，求4。的长.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、不是分式，故本选项错误；

B、是分式，故本选项正确；

C、不是分式，故本选项错误；

。、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；

故选:B.

一般地，如果4,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子4B叫做分式，结合选项进行判断

即可.

本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆.

2.【答案】C

【解析】解：4、Vl+7>0-因而方程一定无解；

B、x-1>0,解得：x>1,则一刀<0,故原式一定不成立，方程无解；

C、x3+3=0.则％=—%，故选项正确；

D、X4+4>4,故原式一定不成立，故方程无解.

故选：C.

根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断.

本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数.

3.【答案】B

【解析】解：•.•k>0

**•—kV0,

A—fc—1<0

・•・y=k%-/c-1（常数々>0）的图象经过一、三、四象限，

故选：B.

根据k的取值范围确定-/c-1的符号，从而确定一次函数不经过的象限.

本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响.

4.【答案】D

【解析】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：10x50%+12x30%+15x20%=

11.6（元）；

中位数是10和12的平均数，则（10+12）+2=11（元）；

故选O.

根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可;

根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可.

此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数

与原数据的单位相同，不要漏单位.

5.【答案】D

【解析】解：•.•四边形ABCD是平行四边形,

AB//CD,

:.Z-OAB=Z-ACD,

vZ-OAB=Z.OAD,

・•・Z-DAC=Z-DCAJ

・•・AD=CD,

••・四边形4BCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）

故选：D.

①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱

形.据此判断即可.

本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

6.【答案】C

【解析】解：过点C作CD，AB于点

vAC=3,BC=4.如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边只有一个公共点,

当直线与圆相切时，d=r,圆与斜边4B只有一个公共点，圆与斜边4B只有一个公共点,

••・CDxAB=ACxBC

当直线与圆如图所示也可以有交点，

12,

二T4r44.

故选：C.

根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可

得出答案.

此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较

容易漏解.

7.【答案】(x—4y)(x+3y)

【解析】解：x2-xy—12y2=(x—4y)(x+3y).

故答案是:(x-4y)(x+3y).

因为—4yx3y=—12y2,—4y+3y=-y,所以利用十字相乘法分解因式即可.

本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质

是二项式乘法的逆过程.

8.【答案】x=1

【解析】解：Vx2—1=Vx-1>

两边平方得：X2-1=X-1,

X2—x=0,

x(x—1)=0,

解得：与=0,尤2=1，

检验：当石=0时，左边=H，方程无意义，

当芯2=1时，左边=右边=0,

则原方程的解是％=1;

故答案为：x=1.

先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案.

此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验.

9.【答案】X20且X72

【解析】解：根据题意得：『？?一c，

5-2H0

解得：x>0且xH2.

故答案是：x>0且％*2.

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出支的范围.

函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

10.【答案】>

【解析】解：•••反比例函数y=>0）的图象经过点4（2,乃）与8（3,%），

可知点4B在第一象限，

根据k>0时，反比例函数在每个象限内，y随着x增大而减小，

可得yI>yi,

故答案为：>.

根据题意可得点4B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键.

11.【答案】|

【解析】解；列表如下:

红红白白

红一（红，红）（白，红）（白，红）

红（红，红）—（白，红）（白，红）

白（红，白）（红，白）一（白，白）

白（红，白）（红，白）（白,白）-一

所有等可能结果数为12种，其中两个球颜色不同的情况数有8种,

则概率P=A=|.

故答案为：|

列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

12.【答案】V2

【解析】解：这组数据的平均数是：（2x2+3X4+4X1）+10=2,

这组数据的方差是：*[3（0-2）2+2（2-27+4（3-2>+（4-2沟=2,

则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是迎；

故答案为：V2.

根据所给出的数据线求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标

准差的定义解答即可.

此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：

(1)计算数据的平均数X；

(2)计算偏差，即每个数据与平均数的差；

(3)计算偏差的平方和：

(4)偏差的平方和除以数据个数.

标准差即方差的算术平方根.

13.【答案】250(15-x)+80x=2900

【解析】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：(15-x)分钟，根据题意得出：

250(15-x)+80x=2900.

故答案为:250(15-%)+80%=2900.

根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80

米/分钟.他家离学校的距离是2900米”可得方程.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是

2900米”列出方程.

14.【答案】一记一元

【解析】解：连接OE,

•••六边形4BCDEF是正六边形，

FE=OD,

■•FE—OD，

OE=OF+FE=m+n>

OB=—OE=—m—n-

故答案为：-记-亢.

由正六边形的性质可得成=0万，求出赤，再由而是荏的相反向量，可得出答案.

本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则.

15.【答案埒

【解析】解：・・・BD=2AD,

:.AD：AB=1：3,

•・・DE//BC,

・•・△ADE^^ABC,

tAD_D£

''AB~~BC9

••・DE：BC=1：3.

•・•△。3£和4£3。的高相同，设这个高为九，

cC-奶E仇_DE_1

••%OBE：%£BC=p^_^一］，

故答案为:g.

根据8D=24D,求出AD：4B的值，再根据相似三角形的性质求得DE：BC,最后再根据面积之

比即可求解.

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键.

16.【答案】10-2V3

【解析】解：•••4B是。。的直径，OFLCD,

根据垂径定理可知：CF=DF,

•••/.CEA=30°,

乙OEF=30°,

•••OE=2,EF=遮，

•••DF=DE-EF=5-也,

CD=2DF=10-2V3.

故答案为：10-2班.

根据48是。。的直径，OFICO,由垂径定理可得CF=OF,再根据30度角所对直角边等于斜边

一半，和勾股定理即可求出E尸的长，进而可得C。的长.

本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理.

17.【答案】|

【解析】解：过点4作AGLBC于G,过点E作EF1BC于F,

・・・^AGB=乙AGC=Z-EFC=90°,

・•・EF//AG.

vAB=AC=10,

BG=CG=^BC=6.

在RtAABG中，由勾股定理，得4G=7AB2-BG?=8.

vDC=BC-BD,

Dc1248

=--

11

-

22-

11

XX8=2XX8EF

2-122-

•••EF//AG,

*'•△CEFsACAG,

EE

=

A-C-

6cF

-=--

81o

即EC=冷,

••MF=10-y=|.

故答案为：|.

过点4作4GJ.BC于G,过点E作EF1BC于尸，根据三角形的面积列出方程可得•4G=2x

』DCEF,就可以求出EF的值，证明△CEF-ACAG,由相似三角形的性质得出整=彩求出CE

的值从而得出结论.

本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形

的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEFs^CAG是解题的关

键.

18.【答案】y

【解析】解：过点A作AF1BC于点F,连接4D.

由翻折可知，AE=CE,DEA.AC,

•:AB=ACf

:.乙B=z.C>BF=CF.

设AF=久，

在RtMBF中，tanNB="=\

BF2

・•・BF=CF=2%,

•••AB=AC=ylAF2+BF2=信，

在R£△CDE中，tanzC=tanzB=777：=-,

CE2

•••CE=\AC=与，

•••DE=孚，

4

•••CD=yjDE2+CE2=暴，

4

B

则。=BC-CD=2BF-CD=4

BD11_11

'而=三=T

4

故答案为：弓■.

过点、A作AFLBC于点F,连接4D由翻折可知，AE=CE,DELAC,设4尸=x,在RtZk/B尸中,

tanzB=^=I，可求得8F="=2x,再利用勾股定理求出48=4C=VAF?+BF?=小x，

DrL

在RtACDE中，tan/C=tan/B=空=鼻即可求得DE=场，结合勾股定理可得CD=

CE24

y/DE2+CE2=7%,则BD=BC-CD=2BF-CD=?x,进而可得出答案.

44

本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关

键.

19.【答案】解：原式=2&-(b+2)-3*苧+1-2a+2

=2V2-V3-2-V3+3-2V2

=-2V3+1.

【解析】根据负整数指数塞与分母有理化得到原式=2或一(遮+2)-3X苧+1—2a+2,然

后去括号和进行乘法运算后合并即可.

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运

算，然后合并同类二次根式.也考查了负整数指数累.

20.【答案】解：由第一个不等式，得5x25,

解得XN1,

由第二个不等式，得2(x-l)-Q+2)>3x-12,

整理，得2x<8,

解得x<4,

•••不等式的解集为1<%<4,

数轴图表示解集：

------------1■■Q■>

-2-1012345^

所以整数解为1,2,3.

【解析】分别解每个不等式，再根据不等式组的解集求出整数解即可.

本题考查一元一次不等式组解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键.

21.【答案】解：(I)、•反比例函数y=[(/£>0)的图象经过4(1,6)；

,k

・•・6=Q,

：,k=6,

・••反比例函数的解析式为：y=-;

(2)作轴，垂足为点D,作BELAD,垂足为点E,

yi

BE//CD,

.DE_BC_1式

AEAB2：\\

又「AD=6,

：•AE=4,ED=2,

将y=2代入y=p得B点坐标为(3,2),

・•・BE=2,

XvBE//CD,•••△48E〜△AC。

BEAE2

CDAD3,

CD=3

•••C点坐标为(4,0).

【解析】(1)用待定系数法即可求得；

(2)作4。轴，垂足为点。，作BE1AD,垂足为点E,根据平行线分线段成比例定理得出B点的

坐标，进一步利用线段成比例得出CO,即可确定C点的坐标.

本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得线段的长度是

解题的关键.

22.【答案】解:

⑴•.•斜坡的坡比为i=1：卷，

BE：EA=12：5,

设BE=12尤，贝ijEA=5x,

由勾股定理得，BE2+EA2AB2,即(12x)2+(5x>=

262,

解得，x-2(负值舍去),

则BE=12%=24,AE=5x=10,

答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米;

(2)作FH1力。于”,

则tan“力"招

24

・•・4〃=急a18,

BF=18-10=8,

答：8F至少是8米.

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度i的比是解题的关键.

(1)根据坡度的概念得到BE：EA=12：5,根据勾股定理计算列式即可；

(2)作尸”14。于H,根据正切的概念求出结合图形计算即可.

23.【答案】证明：(1)・.・48=4C,

・•・乙ABC=乙ACB,

・・・Z.BAC=180。-2Z/18C,

同理皿IE=180°-2乙4DE,

•・•乙ABC=Z.ADE,

・•・乙BAC=Z-DAE,

・•・/.BAD=Z-CAE,

又•・.AB=ACfAD=AEf

•••△ABDwzMCE(SAS),

:.Z-ECA=匕ABC；

(2)・・・^ECA=乙ABC,乙ABC=乙ACB,

・••Z-ECF=Z.ACB,

•・・EF//BC.

:.乙EFC=乙ACB,

:.乙EFC=乙ECF,

・・・EF=EC,

•・,△ABDEAACE,

・•・BD=EC,

:.BD=EF,

・•・四边形FBOE是平行四边形，

vAF=AB=AC,

・•・乙AFB=乙ABF,乙ABC=乙ACB,

•・・乙AFB+/.ABF+/.ABC+Z-ACB=180°,

・・・/.ABF+Z.ABC=90°,

即“BF=90°,

，平行四边形F8DE是矩形.

【解析】(1)证明△48D三△ACE(SZS),即可得出结论；

(2)先证四边形F8DE是平行四边形，再证NC8F=90。，然后由矩形的判定即可得出结论.

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判

定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

24.【答案】解：(1)・.・抛物线、=%2+6％+3经过点儿

・•・8(0,3),

・•・OB=3,

v空=tanZ.OAB=3,

OA

:.OA=1,

・・・4(1,0),

将4(1,0)代入抛物线y=/+mx+3,得1+m+3=0,

解得：m=-4,'，

・,・抛物线的表达式为y=/—4%+3.\/

(2)•••将AOAB绕点4顺时针旋转90。后，得到△O'AC,/

Z.AO'C=/.AOB=Z.OAO'=Z.BOC=90°,O'A=OA=1,O'C=

OB=3,-O\^/x

C(4,l),

vy=x2—4x+3=(x—2>—1,一

Z)(2,-1),

AD=V(2-l)2+(-l-0)2=V2,CD=J(4-2尸+(1+1)2=2^2,AC=

J(4-I》+(i-o)2=VTo,

VAD2+CD2=10,AC2=10,

•••AD2+CD2=AC2,

:.^ADC=90°,

又4B=AC=VTO-且NBZC=90°,

S四边形ABCD=SAB4c+SAADC=,AC+-AD-CD=5+2=7,

即四边形ABCD的面积为7.

(3)当％=4时，y=x2—4x+3=42—4x4+3=3,

可知抛物线y=%2-4%+3经过点(4,3),

•••将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点C(4,l),

2

二平移后得抛物线解析式为：y=x-4x+l;

①若点P在x轴上方时，作CP〃x轴，交抛物线于P点，易证乙4cp=

Z.ABO,

二点P与点C关于抛物线y=x2-4x+1的对称轴直线x=2对称，

•••P(O,1);

②若点P在x轴下方时，如图2,作AC的中垂线，与式轴交与E点，联

结CE并延长，交抛物线y=--4x+1于P点,

根据线段的垂直平分线的性质可得4E=CE,

••Z-CAE=乙4cP,

•・・O'C〃％轴，

・・・Z.CAE=乙ACO'=乙49。，

:.Z.ACP=Z.ABO,

作轴，垂足为H,贝UCH=1,AH=OH-0A=3,

设AE=JC,则CE=x,EH=3-x,

在RtACEH中,CH2+EH2=CE2,

1+(3-%)2=x2,解得％=I，

•••AE=

co

.-.OF=071+/IF=14-1=1，

设直线CE的解析式为y=kx+b,

(4k+6=1

则M+b=o，

解得：［V,

lb=-2

・,・直线CE的解析式为y=|x-2,

o3

...X2_4x+1=_x_2,

解得：%i=4(舍去)，x2=3

当％=，时,y=%2-4%+1=(1)2-4x|+1=

•,小第，

综上所述，满足条件得P点坐标为(0,1)或亭-韵.

【解析】(1)根据tan/tMB=3,求得点4的坐标，代入y=x2+mx+3即可求得抛物线解析式;

(2)由旋转可得出C(4,l),再求出抛物线顶点。(2,-1),利用勾股定理及其逆定理可得乙4DC