2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市平房区东安英才学校八年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列计算中，结果正确的是(

)A.(−pq)3=p3q3 B.3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是(

)A.1.5 B.12 C.4.下列式子中是分式的是(

)A.x−23 B.a−bπ C.1a5.下列运算正确的是(

)A.8−2=2 B.6.下列等式从左到右变形，属于因式分解的是(

)A.(a+b)(a−b)=a2−b2 B.x27.若分式x3x−y中的x，y都扩大2倍，则该分式的值(

)A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小为原来的18.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长(

)

A.8cm B.12cm C.15cm D.16cm9.若(x−2)(3x+m)计算的结果中不含关于字母x的一次项，则m的值为(

)A.4 B.5 C.6 D.710.下列说法：

①在三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半；

②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

③等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；

④有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；

⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形．

其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.将数0.000092用科学记数法表示为______．12.若分式xx−1有意义，则x的取值范围是______．13.把多项式ab2−a14.计算：12−315.3−216.分式方程2x=317.已知am=2，an=3，则a18.已知点C、点D在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=100°，∠ADB=50°，则∠CAD的度数为______．19.已知1x−1y=220.如图，在△ABC中，点D在BC上，AC=BD，DE⊥AB于点E，∠BAC=2∠BDE，AE=2，CD=3，则BC的值为______．三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题12分)

计算：

(1)a(2a−3b)−(a−b)2；

(2)(−a2b)3⋅22.(本小题6分)

先化简，再求代数式3x2−4÷(1−23.(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应)；

(2)连接C24.(本小题6分)

将完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．

解：因为a+b=3，所以(a+b)2=9，即a2+2ab+b2=9．

又因为ab=1，所以a2+b2=7．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x+y=8，x25.(本小题10分)

某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了200元，乙种雪糕花费了240元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了20个，乙种雪糕的单价是甲种雪糕单价的1.5倍．

(1)求购进的甲、乙两种雪糕的单价；

(2)若甲雪糕每个售价是3.5元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于230元，那么乙种雪糕每个售价至少是多少元？26.(本小题10分)

在△ABC中，BH⊥AC于点H，BM平分∠ABH，点N在BH上，2∠NMH+∠ABH=90°．

(1)如图1，求证：∠BMN=45°；

(2)如图2，若AB=AC，求证：BN=MC；

(3)如图3，在(2)的条件下，作ME⊥BM，交BC的延长线于点E，连接AE，交BM的延长线于点F，若∠BAC=30°，EF=4，求MN的长．

27.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(a,0)，点B(0,b)，其中a，b满足a−4+(3a−b)2=0；

(1)求a，b的值；

(2)点C从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，连接BC，设点C的运动时间为t秒，△ABC的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，点D在OB上，点C在OA延长线上，∠OBA+∠OCD=45°，当S=72时，求点D的坐标．答案和解析1.【答案】D

解：A，B，C选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：D．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D

解：A、(−pq)3=−p3q3，故此选项不符合题意；

B、x4+x4=2x4，故此选项不符合题意；

C、(a−b3.【答案】C

解：A、1.5=32=62，，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

B、12=22，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；

C、4.【答案】C

解：x−23，a−b3，x2不是分式，1a是分式，

故选：C．

形如AB(A,B是整式，5.【答案】A

解：A、8−2=22−2=2，符合题意；

B、419=379=6.【答案】B

解：A.(a+b)(a−b)=a2−b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B.x2−2x+1=(x−1)2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；

C.2a−1=a(2−1a)，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；

7.【答案】A

解：根据题意得：2x3×2x−2y=2x2(3x−y)=x3x−y，

即若分式x3x−y中的x，y都扩大2倍，则该分式的值不变．

故选：8.【答案】B

解：∵AB=AC，∠C=30°，

∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，

∵AB⊥AD，

∴∠BAD=90°，

∵AD=4cm，

∴BD=2AD=8cm，

∵∠DAC=120°−90°=30°，

∴∠DAC=∠C，

∴AD=DC=4cm，

∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，

故选B．

根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC=∠C，求出AD=DC=4cm，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．

本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．9.【答案】C

解：原式=3x2+(m−6)x−2m，

由结果不含x的一次项，得到m−6=0，

解得：m=6．

故选：C．

原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，确定出m10.【答案】C

解：①在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边(最长边)的一半，故说法①不正确；

②与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故说法②正确；

③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高线三线合一，故说法③不正确；

④有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，故说法④正确；

⑤三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法⑤正确，理由如下：

∵三角形的三个外角都相等，

∴该三角形的三个内角也相等，

∴该三角形是等边三角形．

故说法⑤正确．

综上所述：正确的说法有②④⑤，共3个．

故选：C．

根据直角三角形的性质可对说法①进行判断；根据线段垂直平分线的性质可对说法②进行判断；根据等腰三角形的性质可对说法③进行判断；根据等边三角形的判定可对说法④进行判断；由三角形三角形的三个外角都相等可得出三角形的三个内角也相等，进而根据等边三角形的判定可对说法⑤进行判断

此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键．11.【答案】9.2×10解：0.000092=9.2×10−5，

故答案为：9.2×10−5．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×1012.【答案】x≠1

解：∵分式的分母不等于0时，分式有意义，

∴x−1≠0，

∴x≠1．

故答案为：x≠1．

利用分式的分母不等于0，列出不等式，解不等式即可得出结论．

本题主要考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不等于0时分式有意义列出不等式是解题的关键．13.【答案】a(b+1)(b−1)

解：原式=a(b2−1)

=a(b+1)(b−1)．

故答案为：a(b+1)(b−1)．

先用提公因式法，再用平方差公式进行分解即可．

14.【答案】3【解析】【分析】

直接化简二次根式，进而合并得出答案．

此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

【解答】

解：原式=23−3

=15.【答案】19解：原式=132=19．

故答案为：16.【答案】x=−2

解：去分母得：2(2x+1)=3x，

去括号得：4x+2=3x，

移项合并得：x=−2，

故答案为：x=−2

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17.【答案】427解：∵am=2，an=3，

∴a2m−3n=a2m÷a3n，

=(am18.【答案】105°或25°

解：当点C、点D在线段AB同侧时，

∵点C、点D在线段AB的垂直平分线上，

∴CA=CB，DA=DB，DC⊥AB，

∴∠ACO=12∠ACB=50°，∠ADO=12∠ADB=25°，

∴∠CAD=∠ACO−∠ADO=50°−25°=25°，

当点C、点D′在线段AB两侧时，∠CAD′=180°−∠ACO−∠AD′O=105°，

综上所述：∠CAD的度数为105°或25°，

故答案为：105°或25°．

分点C、点D在线段AB同侧、点C、点19.【答案】8

解：∵1x−1y=2，

∴y−x=2xy，

∴x−y=−2xy，

∴3x−2xy−3yx+xy−y

=3(x−y)−2xy(x−y)+xy

=−6xy−2xy−2xy+y

=−8xy−xy

20.【答案】10

解：∵DE⊥AB，

∴∠B+∠BDE=90°，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=2∠BDE，

∴2∠BDE+∠B+∠C=180°，

∴∠C+∠BDE=90°，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC=BD，

如图，过点A作AH⊥BC于H，

设AB=AC=BD=x，则BE=x−2，BC=x+3，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=12BC=12(x+3)，

在△ABH和△DBE中，

∠B=∠B∠AHB=∠DEB=90°AB=DB，

∴△ABH≌△DBE(AAS)，

∴BE=BH，

∴x−2=12(x+3)，

∴x=7，

∴BD=7，

∴BC=BD+CD=7+3=10．

故答案为：10．

根据题意，证明AC=AB，过点A作AH⊥BC于H，设AB=AC=BD=x，则BE=x−2，BC=x+3，根据等腰三角形的性质得BH=121.【答案】解：(1)原式=2a2−3ab−(a2−2ab+b2)

=2a2−3ab−a2+2ab−b2

=2a2−a2−3ab+2ab−b2

=a2−ab−b2；

(2)原式=−a6b【解析】(1)根据乘法分配律和完全平方公式去掉括号，再合并同类项即可；

(2)先根据积的乘方和幂的乘方法则计算乘方，再按照单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可；

(3)利用平方差公式进行计算即可；

(4)先根据去括号法则去掉括号，再把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．

本题主要考查了二次根式混合运算和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握乘法公式、积的乘方、幂的乘方法则、单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则等．22.【答案】解：原式=3(x+2)(x−2)÷(x+2x+2−x−1x+2)

=3(x+2)(x−2)÷3x+2

=3(x+2)(x−2)⋅x+23【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)如图，等腰直角△PCC1即为所求．【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．

(2)根据等腰直角三角形的判定与性质画图，即可得出答案．

本题考查作图−轴对称变换、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答本题的关键．24.【答案】15

20

解：(1)∵x+y=8，

∴(x+y)2=x2+2xy+y2=64，

∵x2+y2=34，

∴xy=15，

故答案为：15；

(2)∵x−y=7，

∴(x−y)2=x2−2xy+y2=49，

∵xy=18，

∴x2+y2=85；

(3)设正方形ABCD、CEFG的边长分别为x和y，

根据题意，得x+y=10，x2+y2=60．

∵S△ABD25.【答案】解：(1)设甲的单价为x元，乙的单价为1.5x元，

200x=2401.5x+20，

x=2，

∴1.5x=3，

答：甲的单价为2元，乙的单价为3元．

(2)设乙售价至少为a元，

(3.5−2)×100+(a−3)×80≥230，

解得a≥4，【解析】(1)若设甲种雪糕的单价为x元，则乙种雪糕的单价为1.5x元，根据关键描述语“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”，得到等量关系：购买甲种雪糕的根数−购买乙种雪糕的根数=20，据此列长方程，求解即可．

(2)根据题意列出不等式，解答即可．

考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26.【答案】证：(1)∵BH⊥AC，

∴∠BAH=∠ABH=90°，

∵2∠NMH+∠ABH=90°，

∴∠BAH=2∠NMH，

∵BM平分∠ABH，

∴∠ABM=∠HBM，

设∠BAH=2∠NMH=2x，∠ABM=∠HBM=y，

∵∠BAH+∠ABH=90°，

∴2x+2y=90°，得x+y=45°，

在△ABM中，∵∠BMH是外角，

∴∠BMH=∠ABM+∠BAH=2x+y，

∴∠BMN=∠BMH−∠NMH=2x+y−x=x+y=45°；

证：(2)延长MN，交BC于点G，

设∠CBH=a，

∵∠ABM=∠HBM=y，

∴∠ABC=2y+a，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=2y+a，

∵BH⊥AC，

∴∠CBH+∠C=90°，

∴a+2y+a=90°，即a+y=45°，

∴∠MBG=∠HBM+∠CBH=a+y=45°，

∵∠BMN=45°，

∴△MBG是等腰直角三角形，

∴∠BGN=∠MGC=90°，BG=MG，

∵∠GBN+∠C=90°，∠GMC+∠C=90°，

∴∠GBN=∠GMC，

∵∠BGN=∠MGC，BG=MG，

∴△BGN≌△MGC(ASA)，

∴BN=MC；

解：(3)作EF的中点I，连接MI，过点I作IJ⊥ME，交ME于点J，过点E作EK⊥AC，交AC于点J，

∵∠BAC=30°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

∵∠MBE=45°，ME⊥BM，

∴∠MEC=45°，

∵∠ACB=∠MEC+∠EMK，

∴∠EMK=30°，

∵EK⊥AC，

∴EK=12ME，∠MEK=60°，

∴∠CEK=∠MEK−∠MEC=15°，

∵∠BAC=30°，BH⊥AC，

∴∠ABH=60°，

∵BM平分∠ABH，

∴∠ABM=∠MBH=∠BAC=30°，

∴AM=BM=EM，∠AMB=120°，

∵∠BME=90°，

∴∠AME=360°−∠AMB−∠BME=150°，

∵AM=EM，

∴∠MAE=∠IEJ=∠CEK=15°，

∵I是EF中点，∠EMF=90°，

∴MI=FI=EI=2，

∵IJ⊥ME，

∴MJ=EJ=12ME，

∵EK=12ME，

∴EK=EJ，

∵∠CEK=∠IEJ，∠CKE=∠IJE，

∴△CEK≌△IEJ(ASA)，

∴CE=IE=2，

∵∠MBN+∠NBC=∠EMC+∠NMH=45°，且∠NBC=∠NMH，

∴∠MBN=∠EMC，

∵BM=EM，∠BMN=∠MEC=45°，

∴△BMN【解析】(1)证明∠BAH=2∠NMH，设∠BAH=2∠NMH=2x，∠ABM=∠HBM=y，列关系式求