拉格朗日中值定理与高考数学

拉格朗日中值定理与高考数学拉格朗日中值定理：假设函数满足如下条件：〔i〕在闭区间上连续；〔ii〕在开区间内可导；那么在内至少存在一点，使得.1、证明或成立〔其中〕例：〔2007年高考全国卷I第20题〕设函数.〔Ⅰ〕证明：的导数；〔Ⅱ〕证明：假设对所有，都有，那么的取值范围是.〔Ⅰ〕略.〔Ⅱ〕证明：〔i〕当时，对任意的，都有(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点〔从而〕，使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令，再分和两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.二、证明成立例：〔2004年四川卷第22题〕函数.〔Ⅰ〕求函数的最大值；〔Ⅱ〕设，证明：.〔Ⅰ〕略；〔Ⅱ〕证明：依题意，有由拉格朗日中值定理得，存在，使得评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理.三、证明成立例：(2OO6年四川卷理第22题)函数的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：〔１〕当时，〔２〕当时，.证明：〔１〕不妨设，即证．由拉格朗日中值定理知，存在，那么且，又，.当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证．〔２〕由得，，令那么由拉格朗日中值定理得：下面只要证明：当时，任意,都有，那么有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由于，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.表达了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.四、证明或成立例：〔2008年全国卷Ⅱ22题〕设函数.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕如果对任何，都有，求的取值范围.〔Ⅰ〕略；〔Ⅱ〕证明：当时，显然对任何，都有；当时，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由〔Ⅰ〕知，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.从而函数在上的最大值是.由知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次表达了高观点解题的优越性.五、证明成立，〔其中〕例：〔2007年安徽卷18题〕设.〔Ⅰ〕令，讨论在内的单调性并求极值；〔Ⅱ〕求证：当时，恒有.〔Ⅰ〕略；〔Ⅱ〕证明：即证，由于，那么.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.由〔Ⅰ〕的解题过程知，所以.令得，.令得，.故在上最小值.所以.从而.又，那么成立，从而当时，成立.评注：这道题的参考答案是用〔Ⅰ〕中在内的极小值得到.又，所以.从而在上单调递增,故的最小值，所以.但是如果没有〔Ⅰ〕，很难想到利用来判断的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.六、证明或〔其中〕例：〔2009年辽宁卷理21题〕函数〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕证明：假设，那么对任意，，有.〔Ⅰ〕略；〔Ⅱ〕.由〔Ⅰ〕得，.所以要证成立，即证.下面即证之.令，那么.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.那么，即，也即.评注：这道题〔Ⅱ〕小题存在两个难点：首先有两个变量；其次的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数.为什么考虑函数？很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分表达了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析〔上册〕[M].北京：高等教育出版社，2007[2]陈素贞.一道高考题的别