第5章 计算机控制系统的数学描述

第5章计算机控制系统的描述5.1线性离散系统的数学描述5.2脉冲响应函数5.3脉冲传递函数5.4开环和闭环传递函数的求法5.5计算机控制系统的响应5.6计算机控制系统相邻采样瞬时之间的响应5.7计算机控制系统的性能指标5.8离散状态空间数学描述的实现5.1线性离散系统的数学描述

单输入－单输出线性连续系统的输入r(t)和输出y(t)之间用常微分方程描述，即古典分析法，拉氏变换分析法和状态空间分析法

线性离散系统的输入与输出之间用线性常系数差分方程描述，即古典分析法，z变换分析法和离散状态空间法

线性离散系统：表征离散系统特性的差分方程满足叠加原理。即若a1，a2为任意常数

线性时不变系统：输入和输出之间的关系是不随时间而变化的。5.2脉冲响应函数

在连续系统中，是通过传递函数来研究系统的动态特性的，而在采样系统中，是通过脉冲传递函数来研究系统的动态特性的。

脉冲响应函数是脉冲传递函数的基础。

研究当脉冲采样信号（脉冲序列）激励连续系统时的响应，如图5.1所示G(s)x(t)

x*(t)y(t)y*(t)

脉冲采样信号x*(t)是传递函数G(s)的连续系统的输入信号。设该系统的输出是连续信号y(t)。如果输出另有一个与输入采样器相位同步，而且采样周期相同的采样器，那么其输出是一脉冲序列。y(t)的z变换为

一个连续系统的输出y(t)与其输入x(t)的关系是卷积分，即式中，g(t)是连续系统的脉冲响应函数。

对于离散系统，其输出与输入关系则是卷积和。推导过程如下：系统对输入x*(t)的响应y(t)，是各个脉冲响应的总和。注意：一个物理系统的响应不可能超前于它的输入。5.2脉冲传递函数由y(kT)的z变换令 上式确立了系统的脉冲输出Y(z)与脉冲输入X(z)的关系。离散系统的脉冲传递函数单位脉冲传递函数输入例：求下列离散系统的加权序列解：5.4开环和闭环脉冲传递函数的求法1.带星号的拉氏变换如图5.3脉冲采样系统，采样器后接连续环节，线性连续环节的传递函数G(s)，G(s)x(t)

x*(t)y(t)Y(s)X(s)X*(s)由注意，z是复变量，T是采样周期。符号X(z)不是简单地用z取代s，而是表示2.离散拉氏变换X*(s)的两个重要性质性质1若，则离散函数的拉氏变换具有周期性。证明：前面介绍采样定理时有性质2若离散拉氏变换与拉氏变换的乘积再离散化，则离散拉氏变换可以从离散符号中提取出来，即证明3.求脉冲传递函数的一般步骤系统在输入端有脉冲采样器，其脉冲传递函数为没有输入脉冲采样器，其脉冲传递函数不是求脉冲传递函数的三种方法： 第一种方法是查表法。首先，求控制系统的传递函数G(s)。然后，将G(s)展开成每一项都是能从z变换表中查到的部分分式。再将各分项z变换求和，就得系统的脉冲传递函数G(z)。 第二种方法是应用脉冲响应函数。首先，求系统的传递函数G(s)。然后，求脉冲响应g(t)，最后，计算 第三种方法是留数计算法。见P53，公式(4.11）。4.脉冲传递函数与差分方程典型线性离散系统的差分方程为系统的脉冲传递函数例：设线性离散系统的差分方程为例：设线性离散系统脉冲传递函数为 在系统的初始条件为零的条件下，线性差分方程跟脉冲传递函数之间能够相互转换。差分方程为：5.含有保持器环节的脉冲传递函数（1）含有零阶保持器（2）含有一阶保持器6.开环脉冲传递函数的求法（1）中间不带采样开关的两个连续环节的串联第一个环节：第二个环节：（2）中间带采样开关的两个连续环节的串联第一个环节：第二个环节：7.闭环脉冲传递函数（1）采样开关在误差通道如图5.7所示，采样开关设置在比较器的后面，误差以脉冲序列的形式出现，其拉氏变换为系统中的两个连续环节的传递函数分别为、基本方程：误差节点反馈通道输出通道两边离散化输出通道两边离散化令（2）采样开关在反馈通道如图5.8所示，基本方程为：误差节点反馈通道令输出通道（3）在前向通道上装有同步采样开关如图5.9所示，基本方程为：基本方程为：误差节点反馈通道输出通道令 采样系统的闭环传递函数推导比较繁琐，有时很难求出，但实际上还是有一定的规律，只要按一定的法则，闭环系统输出的z变换可以很方便地写出来，其方法如下:（1）将R(s)也当作一个环节画在方框图上；（2）把凡是没有实际采样开关分割的所有s传递函数先乘积后作为一个独立环节。则闭环系统的输出z变换为 对于常用的几种典型结构的采样系统的输出z变换可以查表5.1。P85.5.5计算机控制系统的响应1.开环采样系统的响应开环采样系统由零阶保持器、执行机构、被控对象、测量元件串联组成，如图5.11所示。 为了获得系统对特定输入信号x(t)的开环响应，对x(t)作z变换，得到X(z)，然后与G(z)相结合，得到Y(z)。求Y(z)的z反变换，就得到不同采样时刻的开环响应。例：确定图5.11所示开环采样系统对单位阶跃输入x(t)=1(t)的响应。假设T=1s，开环传递函数为解：x(t)=1(t)5.6计算机控制系统相邻采样瞬时之间的响应

z变换分析法不能给出相邻采样瞬时之间的响应的信息。但在某些情况下，可能需要知道相邻采样瞬时之间的响应。拉普拉斯变换法改进z变换法状态空间法9.3节介绍

如图5.7所示系统。已知输出C(s)为1.拉普拉斯变换法因此上式将给出连续时间响应c(t)。所以相邻采样瞬时之间任一时刻的响应都能由上式计算出来。例，对于图5.15所示系统，设输入r(t)=1(t)，采样周期T=1s，试求连续时间输出c(t)及两个相邻采样瞬时之间的响应。解定义这里采样周期T=1s，利用2.改进z变换法

如图所示的系统，在该系统的输出插入假想的(1-m)Ts延迟，其中,T是采样周期。通过0和1之间改变m，可以求得输出y(t)在t=kT-(1-m)T瞬时的值(k=1,2,3,…)，已知定义改进脉冲传递函数G(z,m)为符号Zm表示改进z变换。注意对于上式，既可以在左半平面，也可以在右半平面进行卷积分，这里采样在右半平面沿无限大半圆周积分，于是因为是两个时间函数乘积的拉氏变换，因此可见，改进z变换G(z,m)与z变换G(z)有如下关系：如同z变换的情况，改进z变换Y(z,m)可展开成z-1的无穷级数：两边乘以z，则有式中表示在t=kT与t=(k+1)T(k=0,1,2,…)瞬时之间y(t)的值。注意，如果y(k)是连续的，那么例5.9试求的改进z变换。5.7计算机控制系统的性能指标1.动态指标

与连续控制系统类似，计算机控制系统也具有动态指标。动态指标能够比较直观地反映控制系统的过渡过程特性。动态指标包括延迟时间td，上升时间tr，峰值时间tp，超调量

p等。在古典控制理论中常用动态指标和稳态指标来衡量系统性能的好坏。

(1)延迟时间td 系统响应第一次达到终值一半时所需要的时间。(2)上升时间tr 系统响应从10％上升到90％，或从5％上升到95％，或从0上升到100％终值所需要的时间。

不同性质的系统选用不同的定义。欠阻尼二阶系统常采用从0上升到终值100％作为上升时间。过阻尼系统和传输滞后系统常采用从终值10％上升到终值的90％作为上升时间。(3)峰值时间tp 系统响应达到超调的第一个峰值所需要的时间。(4)超调量

p 表示了系统过冲的程度，其定义为超调量通常以百分数表示，超调量的数值直接表示系统的相对稳定性。图5.19过渡过程特性(5)调节时间ts若在t≥ts后则ts定义为调节时间，式中，c(∞)时输出量c(t)的稳态值，通常去0.02c(∞)或0.05c(∞)。调节时间与控制系统的最大时间常数有关。 在利用频率特性进行计算机控制系统设计时，经常用到频域指标。 在用开环对数频率特性设计控制系统时，常用静态速度误差系数Kv，相角裕量

，幅值裕量，穿越频率

c。 在用闭环频率特性设计控制系统时，常用静态速度误差系数Kv，谐振峰值Mr，谐振频率

r及系统的带宽

b

。 各指标含义如图5.20所示，其中A(0)是闭环频率特性的零频率值；图5.20闭环系统的频域指标2.稳态指标

稳态指标是衡量控制系统精度的指标，用稳态误差来表征。稳态误差定义为

ess表示了控制精度，因此希望ess越小越好。稳态误差ess与控制本身的特性有关，也与输入信号r(t)的型式有关。系统的输入信号系统的输出信号3.综合性指标

在现代控制理论中，如最优控制系统的设计时，经常使用综合性能指标来衡量一个控制系统。综合性通常有如下三种类型：(1)积分型指标

1）误差平方的积分

这种性能指标着重权衡大的误差，而较少顾及小的误差。数学上容易处理，可以得到解析解，经常使用。

2）时间乘误差平方的积分

这种指标较少考虑大的起始误差，着重权衡过渡特性后期出现的误差，有较好的选择性、该指标反映了控制系统的快速性和精确性。

3）时间平方乘误差平方的积分这种指标有较好的选择性，计算复杂，不实用。

4）误差绝对值的各种积分对于计算机控制系统，以下积分指标比较合适。5）加权二次型性能指标对于多变量控制系统，应当采用误差平方的积分指标若引入加权矩阵Q，则若系统中考虑输入量的约束，则 对于离散系统，二次型性能指标的典型形式为：式中，x为n维状态向量；u为m维控制向量；Q为n×n维半正定对称矩阵；R为m×m维正定对称矩阵。（2）末值型指标（3）复合型指标5.8离散状态空间数学描述的实现

讨论数字滤波器与数字控制器的脉冲传递函数的实现方法。

在数字信号处理领域里，数字滤波器是按某种指定的方式改变信号的特性，将输入数字序列变换成输出序列的计算算法。数字滤波器处理信号的方式，是允许数字输入信号中那些需要的频率分量通过，而抑制那些不希望的频率分量。

计算机控制系统中的数字控制器就是某种形式的数字滤波器。

下面讨论用于滤波和控制目的的数字滤波器，其输出Y(z)和输入X(z)之间脉冲传递函数一般形式为：

数字滤波器实现形式：直接实现形式，规范实现形式。式中，系数ai和bi是实数（某些项的系数可能是零）。（1）直接实现形式 直接实现形式是分别各用一组延迟器来实现脉冲传递函数的分子与分母。分子用m个，分母另用n个。直接实现形式共用m+n个延迟器。 可以减少直接实现形式中延迟器的数目。实际上，可从n+m个减至n个。占用延迟器数目最少的实现方式叫做直接实现规范形式。（2）直接实现的规范形式其中（3）避免灵敏度过高的实现方法 当脉冲传递函数的阶数增加时，脉冲传递函数中系数ai和bi的量化误差可能变大。即，在高阶数字滤波器的直接实现形式结构中，若系数ai和bi有一小的误差，会引起滤波器极点和零点位置出现大的偏差。这类误差，可从数学上将高阶脉冲传递函数分解成低阶脉冲传递函数的组合予以减小。这样，可降低系统对系数不精确的灵敏度。串联式并联式梯形式（a）串联式 在多数情况下，选为一阶或二阶函数。如果已知G(z)的极点和零点，通过组合一对共扼复数极点和一对共扼复数零点来产生二阶函数，或由组合实数极