6.2.3向量的数乘运算11种常考题型归类（原卷版）

6.2.3向量的数乘运算11种常考题型归类题型1对向量数乘运算的理解题型2向量的线性运算题型3向量的线性运算在几何中的应用题型4用已知向量表示其他向量题型5根据线性运算求参数题型6向量共线的判定题型7三点共线问题题型8已知向量共线（平行）求参数题型9平面向量共线定理证明线平行问题题型10平面向量共线定理的推论题型11三角形的“四心”问题1、向量线性运算的基本方法（1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．（2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．2、用已知向量表示其他向量的两种方法（1）直接法（2）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3、向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．4、利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则A，B，C三点共线．注：(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．5、利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．题型1对向量数乘运算的理解1．（2023·高一课时练习）实数与向量的乘积还是向量．()2．（2023上·辽宁锦州·高一校联考期末）“实数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．4．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023下·北京·高二统考学业考试）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（

）A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反7．【多选】（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．8．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空)题型2向量的线性运算9．（2023·高一课时练习）下列计算正确的个数是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．（2023下·高一课时练习）计算：(1)；(2)．11．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．12．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).题型3向量的线性运算在几何中的应用13．（2023下·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考期中）如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（

）A． B． C． D．14．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（

）．A． B． C． D．15．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．316．（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则，．17．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）设是内部一点，且，则．题型4用已知向量表示其他向量18．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，点为边的中点．记，，则（

）A． B． C． D．19．（2023上·福建龙岩·高三校联考期中）在中，为的中点，若，则（

）A． B． C． D．20．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A． B．C． D．21．（2023下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量．(1)；(2).22．（2023下·河南周口·高一太康县第一高级中学校考阶段练习）如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.23．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．(1)试用，表示．(2)试用，，表示．24．【多选】（2023上·黑龙江·高三统考期中）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．25．【多选】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．题型5根据线性运算求参数26．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，若点满足，，则.27．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，D为AC上一点且满足若P为BD的中点，且满足则的值是（

）A． B． C． D．28．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则．题型6向量共线的判定29．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件30．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.31．（2023·全国·高一随堂练习）设，为不共线的非零向量，判断下列各题中的，向量是否共线．(1)，；(2)，；(3)，．题型7三点共线问题32．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线33．（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（

）A． B．2 C．4 D．34．（2023上·陕西铜川·高三校考期末）在中，若，则点（

）A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．为的外心35．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D36．（2023上·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）已知，，三点共线，则（）A．4 B．1 C．0 D．37．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知与为非零向量，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．338．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．39．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.求证：M，N，C三点共线.40．（2023上·江苏徐州·高三校考阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．(1)分别用向量，表示向量，；(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．题型8已知向量共线（平行）求参数41．（2023下·江苏南通·高一统考期中）已知，是两个不共线的向量，向量，．若，则（

）A．－2 B． C．2 D．42．（2023上·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则.43．（2024上·辽宁大连·高一期末）设，是两个不共线的向量，向量，共线，则.44．（2023下·山西运城·高一统考期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或题型9平面向量共线定理证明线平行问题45．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求证：与共线.46．（2023下·高一课时练习）已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对47．（2023下·广东汕头·高一校考期中）在四边形中，，，，则四边形的形状是（）A．梯形 B．菱形C．平行四边形 D．矩形48．（2023·高一课时练习）如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且．49．（2023下·河北保定·高一校联考期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．(1)求的最小值．(2)若点满足，证明：．题型10平面向量共线定理的推论50．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．51．（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（

）A． B． C．2 D．52．（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（

）A．8 B．12 C．32 D．1653．（2023上·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期中）已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．题型11三角形的“四心”问题55．【多选】（2023上·重庆江北·高二校考开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则56．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）若所在平面内一点P满足，则P是的（

）．A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心57．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心58．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D