第3章线性系统时域分析法

3-6线性系统的稳态误差计算在控制系统设计中误差是一项重要的技术指标。只有在系统稳定的前提下，才有必要研究稳态误差。稳态误差与系统结构、输入信号的形式有关，对于不同的输入信号具有不同的稳态误差。研究内容：因系统结构（包括系统类型）、输入信号而引起的系统稳态误差及其计算方法；系统类型与稳态误差的关系；减少系统原理性误差的措施等。1.误差与稳态误差误差的两种定义：（1）从输入端定义误差（偏差）（2）从输出端定义误差两种误差之间的关系一般用（1）的误差定义进行讨论。u(s)_误差传递函数的定义：系统误差的计算：系统的稳态误差=误差的稳态分量利用拉普拉斯变换的终值定理求误差信号的稳态分量：利用终值定理计算稳态值的条件：在S右平面上解析（即：的极点均位于S的左半平面（包括坐标原点））两个例子：例1设单位反馈系统G(s)=1/Ts，输入信号为(t)=t2/2，求控制系统的稳态误差。例2设单位反馈系统。当输入信号为单位斜坡函数时,试求系统的稳态误差；问调整k值能使系统的稳态误差小于0.1吗？解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义，所以要先确定系统稳定时的K值范围。求解系统的闭环传递函数，可得系统的闭环特征方程为：当输入信号为单位斜坡信号时，系统稳态误差为由稳定的条件０＜k＜６知，当k变化时，稳态误差的范围为：1/6＜ess

＜∞,由于1/6>0.1,，因此调整调整k值不能使系统的稳态误差小于0.1利用终值定理计算稳态误差的步骤:1.判定系统的稳定性;2.求出误差的传递函数;3.利用终值定理求2.系统类型对于一个给定的稳定系统，输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数结构。0型系统1型系统2型系统影响系统稳态误差的因素：系统型号、开环增益、输入信号3.阶跃输入作用下的稳态误差和静态位置误差系数0型系统1型以上系统0型系统1型以上系统0型系统1型系统2型以上系统4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态位置误差系数0、1型系统2型系统3型以上系统5.加速度输入作用下的稳态误差和静态位置误差系数例：具有测速发电机内反馈的位置随动系统，试计算输入分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度信号时，系统的稳态误差。伺服电动机测速发电机系统的开环传递函数：典型输入下的稳态误差与静态误差系数G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若系统稳定,则可用终值定理求essess=lims1+ksνG0H0R(s)→0sR(s)=R/sr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=R·tR(s)=R/s2ess=

s·Rlim→0sksνr(t)=Rt2/2R(s)=R/s3ess=

s2·Rlim→0sksνkpkvka取不同的νr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=

s2·Alim→0sksνⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kV

kR·t000∞Ak∞∞Rt2/2R·1(t)R·tRt2/2kkk000∞∞∞静态误差系数稳态误差小结：123Kp=?Kv=?Ka=?非单位反馈怎么办？啥时能用表格？表中误差为无穷时系统还稳定吗?同学们请注意：这两种改变会对系统的其它特性造成什么样的影响？小结：给定作用下的稳态误差与开环增益有关；对有差系统，K↑，稳态误差↓。给定作用下的稳态误差与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓。提示：这个问题请同学们课后找一例题通过以上变化结合稳定性判断方法去试一试！应注意：在做以上改变时，同时会使系统的稳定性和动态特性变差。例1系统结构图如图所示，当输入信号为单位斜坡函数时，求系统在输入信号作用下的稳态误差；调整K值能使稳态误差小于0.1吗？-解：只有稳定的系统计算稳态误差才有意义；所以先判稳系统特征方程为由劳斯判据知稳定的条件为：由稳定的条件知：不能满足的要求例2、根据阶跃、斜坡或抛物线，求出系统对应的误差系数和它们的稳态误差。R(t)C(t)–解：①系统的开环传递函数②各误差系数s→0③据实际输入确定稳态误差输入为单位阶跃时：输入为斜坡函数时：输入为抛物线函数时：6.扰动作用下的稳态误差通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差，扰动作用产生的误差为扰动误差。

时产生的误差称为扰动误差。-+可见，不仅与有关，还与和有关（扰动点到偏差之间的那部分通道传递函数）。式中：上式中为开环传递函数所具有的积分环节个数。⒈当，即开环传递函数中无积分环节，同时假设无纯微分环节，因此中也无积分环节。此时在阶跃扰动输入时是有差系统，设⒉当，即开环传递函数中有积分环节，但积分环节可在不同的地方。设①设即无积分环节②设即有积分环节，在阶跃扰动作用下此时，尽管开环传递函数有积分环节，在阶跃扰动作用下还是有差的。若，在阶跃扰动作用下是无差的。若在斜坡扰动作用下也是无差的。因此环节中的积分环节决定了扰动作用下的无差度。同学们请注意：这两种改变会对系统的其它特性造成什么样的影响？小结：扰动作用下的稳态误差与开环增益或扰动点之前系统前向通道增益有关；对有差系统，K↑，稳态误差↓。扰动作用下的稳态误差与积分环节的个数有关。积分环节的个数↑，稳态误差↓。提示：这个问题请同学们课后找一例题通过以上变化结合稳定性判断方法去试一试！与给定作用相同，同样应注意：在做以上改变时，同时会使系统的稳定性和动态特性变差。7.减小或消除误差的措施（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。（2）在系统前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。对于具有扰动作用的系统，有以下结论：1）扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道的积分环节数之和决定了系统响应扰动作用的型别。2）如在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置个积分环节，可消除扰动信号作用下的稳态误差。上述方法的缺陷：串联积分环节或增大开环增益会降低系统的稳定性。例比例-积分控制系统如图，试分别计算系统在阶跃扰动和斜坡扰动作用下的稳态误差。解：扰动作用点之前有一个积分环节，所以系统能克服阶跃扰动。（1）阶跃扰动的系统稳态误差为零。（2）斜坡扰动存在常值稳态误差。（3）采用复合控制主要采用前馈补偿和反馈结合的方式，从其补偿方式上，可以分为两种补偿方式。1）按扰动补偿的方式2）按输入（或给定）补偿的方式具体补偿方式如：①

按扰动的全补偿N(s)R(s)Gn(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)令R(s)=0,En(s)=-ΔC(s)=s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2(T1s+1)+k1Gn(s)N(s)令分子=0，得Gn(s)=-(T1s+1)/k1这就是按扰动的全补偿全t从0→∞全过程各种干扰信号②按扰动的稳态补偿设系统稳定，N(s)=1/s,则essn=－limsΔC(s)=－lims→0s→0k1k21+k1Gn(s)

∴Gn(s)=-1/k1令N(s)=0,Er(s)=令分子=0，得Gr(s)=③

按输入（或给定）的全补偿N(s)R(s)Gr(s)T1s+1k1s(T2s+1)k2C(s)E(s)设系统稳定，R(s)=1/s2则essr=limsEr(s)=lims→0s→01-k2SGr(s)k1k2k2S∴Gr(s)=④按输入的稳态补偿s(T1s+1)(T2s+1)s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2-k2(T1s+1)Gr(s)R(s)s(T1s+1)(T2s+1)k2(T1s+1)*3.7基于Matlab的线性系统时域分析例1

试用MATLAB绘制下面系统，在单位阶跃函数作用下的响应曲线。解获取上述两系统单位阶跃响应的程序如下动态误差系数法：开环传递函数计算步骤：1.写出，并把分子、坟墓多项式按s升幂排列；2.直接用分子多项式长除分母多项式；3.所得s升幂排列的商级数的各项系数就是所求动态误差系数。%ex_例1num1=[1];den1=[21];G1=tf(num1,den1);num2=[25];den2=[1325];G2=tf(num2,den2);figure(1);step(G1);，

xlabel('时间');ylabel('输出响应');title('一阶系统单位阶跃响应');figure(2);step(G2);xlabel('时间');ylabel('输出响应');title('二阶系统单位阶跃响应');，

例2

试用MATLAB绘制上例中两系统的单位脉冲响应。解：将上题中step()用inpulse()代替即可。

任意输入信号作用下，获取系统的输出响应的函数lsim()例3

设系统由前向通道传递函数Gp(s)和反馈通道传递函数H(s)组成的负反馈控制系统。其中，试判别系统的稳定性。解

MATLAB采用roots()或eig()计算系统的特征根。以下是求取上述闭环系统特征根的程序。%ex_例3Gp=tf([1],[124]);H=tf(1,[11]);G=feedba