甘肃省临夏回族自治州临夏中学2022-2023学年数学高一年级上册期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1.已知函数/(x)=6sin2x-cos2x,贝9/。)的()

A.最小正周期兀，最大值为B.最小正周期为兀，最大值为2

C.最小正周期为2兀，最大值为6-1D.最小正周期为2兀，最大值为2

2."，=与"是及cose+e]=tan6的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间f(单位：天)与病情爆发系数/⑺

之间，满足函数模型：/(，)=[+/\"当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时f约为()

(参考数据：e"«3)

A.38B.40

C.45D.47

4.已知函数/(X)=log3x的图象与函数g(力的图象关于直线J=x对称，函数/j(x)是满足〃(x+2)=〃(x)的偶函

数,且当无目0,1]时,〃(x)=g(x)-1,若函数y=h/(x)+/z(x)有3个零点，则实数攵的取值范围是()

A.(l,2log73)B.(-2,-21og53)

C.(—21og53,-1)D.1-log73,一彳

5.已知贝+左肛左cZ”是“sin2a=sin2/?”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(yr>2

6.已知函数〃x)='「一一贝厅(〃1))=()

x+l,x<2

A.2B.5

C.7D.9

7.在AABC中,“sinA=sin3”是“A=6”的()

A.充要条件B.充分非必要条件

C必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

8.已知直线4：y=-x+2a与直线4:^=(4—2)x+2平行，则”的值为

A.±V3B.±l

C.lD.-l

9.点P在正方形ABCD所在平面外，PD_L平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为()

A.30°B.45°

C.60°D,90°

10.若函数〃x)的零点与g(x)=4'+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则“X)可以是

A/(x)=4x-lB.”x)=(x-l)2

C.f[x)=ex-\D.=—

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

11.计算：cos2150-sin215°=.

|lgx|,0<x<10,

12.已知函数〃尢)={1若。也c互不相等，且/⑷=/(〃)=/©,贝！的取值范围是

——x+6,x>10

2

13.已知函数/(x)=Gsin2x+|cos2x|,现有如下几个命题：

①该函数为偶函数；

71冗

②一丁，丁是该函数的一个单调递增区间；

_46_

③该函数的最小正周期为万；

(7兀、

④该函数的图像关于点彳彳,0对称；

⑤该函数值域为[—1,2].

其中正确命题的编号为

14.已知函数/(x)=^-则函数/V(x))的值域为.

15.函数y=d+acosx是奇函数，则实数。=.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.如图，在四棱锥尸-ABCZ)中，ABC。为平行四边形，AB1AC,R1_L平面A5CD,且R4=A5=2,AC=1,点E是

PD的中点.

(1)求证：P8//平面AEC；

(2)求O到平面AEC的距离.

17.已知平面上点A(4,l),B(3,6),D(2,0),且觉=而.

(1)求|衣|;

(2)若点M(-1,4),用基底｛淳近｝表示说.

18.已知AABC中，4(2,-1),8(4,3),C(3,-2)

⑴求8c边上的高所在直线的一般式方程；

(2)求AA3C的面积

19.已知：M=(2cosx,sinx),h=(V3cosx,2cosx).设函数=(xeR)

求：(1)f(x)的最小正周期；

(2)/(x)的对称中心，

(3)若l/'(二一^)一/(二+二)=5/^,且ae(],万)，求。

262122

2"+a

20.设QWR,函数

(1)若a<0,判断并证明函数“X)的单调性;

⑵若"0,函数/(x)在区间[私〃](机<〃)上的取值范围是~~(AeR),求5的范围

21.某市郊区有一加油站，2018年初汽油的存储量为50吨，计划从年初起每周初均购进汽油"?吨，以满足城区内和

城外汽车用油需求，已知城外汽车用油每周5吨；城区内汽车用油前X个周需求量y吨与X的函数关系式为

y=a4^(l<x<16,xe^),。为常数，且前4个周城区内汽车的汽油需求量为100吨.

(1)试写出第x个周结束时，汽油存储量M(吨)与x的函数关系式；

(2)要使16个周内每周按计划购进汽油之后，加油站总能满足城区内和城外的需求，且每周结束时加油站的汽油存

储量不超过150吨，试确定的取值范围.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、B

【解析】利用辅助角公式化简得到/(%)=2$也(2%一2],求出最小正周期和最大值.

【详解】/(%)=A/3sin2x-cos2x=2sin2x-

所以最小正周期为T=』=》，最大值为2.

2

故选：B

2、A

【解析】先看〃=，时，&cos(1+“=tane是否成立，即判断充分性；再看夜《)$(5+“=12116成立时，能

否推出。=手，即判断必要性，由此可得答案.

4

【详解】当夕=今时，夜cos(]+eJ=0cos[]+,)=-l=tane,

即“，=乎是夜costan9的充分条件；

当夜cos(三+。]=tan。时，一0sin夕=tan8=,出",

[2)cos0

则sin8=0或cos6=----，

2

则。=左》或6>=2左乃士包次eZ,即夜cos(2+e]=tan。成立，推不出，=四一定成立，

4U)4

故“。=今”不是发35(1+。1=1211。的必要条件，

故选：A.

3、B

【解析】根据/(，)=().1列式求解即可得答案.

【详解】解：因为/(。=0.1,/«=—

^-0.22(1-50)，

所以%)=1+丁!2k6)=0-1，即1+e心-5。)=10,

所以e«22(-5o)=9,由于3」=3,故(一」)2=e22x9,

所以e"2“-5o)=e2.2,所以-0.22(-50)=22,解得"40.

故选：B.

【点睛】本题解题的关键在于根据题意得小°22"5。)=9,再结合已知K/=3得=«2.2=9,进而根据

e922«-50)=e2.2解方程即可得答案，是基础题.

4、B

【解析】把函数y=h/(x)+〃(X)有3个零点，转化为-og3X=Tz(x)有3个不同根，画出函数y="og3X与

y=-双力的图象，转化为关于k的不等式组求解即可.

【详解】由函数J.(x)=log3x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，得g(x)=3',函数力⑴是最小正周

期为2的偶函数，当xe[0,l]时，/2(x)=g(x)-l=3*-l,函数y=H/(x)+〃(x)有3个零点，即Zrlog3x=T7(x)

有3个不同根，

画出函数y=—og3x与y=—"x)的图象如图：

要使函数y=8og3%与y=-/z(x)的图象有3个交点，则z<0,且q,6c，即一2"<-21ogs3..\实数Z

klog35<-2

的取值范围是(-2,-21og53).

故选：B.

5、A

【解析】求解出sin2。=sin2月成立的充要条件，再与。=/?+版分析比对即可得解.

【详解】a,*R,

sin2a=sin2/?<=>sin[(cr+万)+(a—/?)]=sin[(a+/?)—(a—/?)]<=>2cos(a+(3)sin(a-/7)=0,

则sin(cr一/7)=0或cos(a+/?)=0,

由sin(a-〃)=0得a-/?=k/ra=0+kjjkeZ,

jrjr

由cos(a+£)=0得a+4=攵乃+5=£=万一/+ki,keZ,

显然a=尸+攵万，攵eZnsin2a=sin2尸，sin2a=sin244a=/3+k/r,keZ,

所以“a=/7+Qr,ZeZ”是“sin2a=sin24”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是g的充分不必要条件，则p对应集合是g对应集合的真子集.

6、D

【解析】先求出了⑴，再求〃/⑴)即可，

【详解】由题意得/(I)=1+1=2,

所以/(〃1))=八2)=32=9,

故选：D

7、A

【解析】结合三角形内角与充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】在AABC中，0<A<兀,0<8<兀,0<4+8<兀，

所以sinA=sin3oA=3,

所以在AABC中，"sinA=sinB”是“A=3”的充要条件.

故选：A

8、D

【解析】由题意可得：\一2=-I解得“=—1

2w2a

故选。

9、C

【解析】

分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,

所以NOOE(或其补角)就是PA与BD所成的角;

因PD_L平面ABCD,所以PD±DC,PD±AD.

设正方形ABCD边长为2,贝！JPA=PC=BD=272

所以OD=OE=DE=V^是正三角形，

ZDOE=60°，

故选C

10、A

【解析】因为函数g(x)=4，+2x—2在R上连续，且g(L)=J^+L—2=0—』<O,g(-)=2+1-2=1>0,设

4222

函数的g(x)=4*+2x—2的零点为%,根据零点存在性定理，有:<Xo<g，则0<玉)一：<；，所以小一：<；，又

因为f(x)=4x-l的零点为》=,，函数f(x)=(x-l)2的零点为x=Lf(x)=ex-l的零点为x=0,f(x)=ln(x-0.5)

4

3111

的零点为x==，符合/一二<二为x=：,所以选A

2444

考点：零点的概念，零点存在性定理

二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上)

H、走

2

【解析】直接利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】cos215°-sin215°=cos30°=—.

2

故答案为：&

2

不妨设a<b<c,

作出大x)的图象，如图所示：

由图象可知0<a<l<Z><10<c<12,

由加)寸S)得1也小1炽“，即Tga=lgb,

.".lga/>=0,则ab=l,

,,.abc=c,

：.abc的取值范围是(10,12),

13、®@

【解析】由于/(一x)=—gsin2x+|cos2X为非奇非偶函数，①错误.xe,2xw，此时

/(x)=gsin2x+cos2x=2sin12x+V),其在一:谓上为增函数，②正确.由于

〃x+兀)=6sin2x+|cos2x|=/(x),所以函数最小正周期为兀，③正确.由于

/fZ^1=73sin—+cos—=-&+立工0,故④正确.当2x=电

[\2)6622

时，＞|=-73+^1«-1.732+0.707＜-1,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.

33

555

【解析】先求的“X)的单调性和值域，然后代入〃/(切中求得函数的值域.

2?2

【详解】由于/(x)=l-kT为R上的增函数，而4'＞0,0＜一二＜2，，TOkT〈l，即/(x)c(-1,1),

、/AAi171AAAi1、/、/

对1,1),由于/“)为增函数，故/。)6(/(-1),/(1)),即函数/(7(力)的值域为(/(一1),/(1)),也

33

5'5

【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的值域的求法，考查复合函数值域的求法.属于中档题.

15、0

【解析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.

【详解】因函数丁=/。)=/+。8酸是奇函数，其定义域为R,

则对X/xeR,/(-x)=-/(x),BP(-x)3+acos(-x)=-(x3+acosx),整理得：2acosx=0,

而cosx不恒为o,于得a=0,

所以实数。=0.

故答案为：0

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16、(1)证明见解析

⑵V2

【解析】(1)连接8D交AC于。，连接。E,则可得08=0。，再由E是PD的中点，则可利用三角形中位线定

理可得0E〃心，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

3

(2)由已知条件可证明△PCD,△24。都为直角三角形，所以可求出AE=EC=—,从而可求出△AEC的面积,

2

然后利用等体积法可求出D到平面AEC的距离.

【小问1详解】

连接8。交AC于。，连接。E,

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以OB=OD,OA=OC,

因为点E是尸。的中点，

所以OE〃PB,

因为OEu平面A£C,平面A£C,

所以「5〃平面AEC,

【小问2详解】

因为CO〃AB,ACLAB,

所以8LAC，BC7AC'AB?=5

因为24,平面ABC。，CDu平面ABC。,

所以Q4，cr),

因为PADAC=A,PA.ACu平面尸AC,

所以CO1平面PAC,

因为PCu平面PAC,

所以CD_LPC,

在直角MDC中，EC=-PD=-VFA2+AD2=-y/PA1+BC2=-V?+5=-,

22222

3

同理AE=二，

2

在等腰八4£。中，S.=-ACOE=-xlx

Mrc22

取AO的中点H,连接E“，则£“〃%,EH=-PA=\,

2

因B4JL平面ABC£>,所以EH_L平面ABC。，，

设D到平面AEC的距离为h,

由^D-EAC=^E-DCA9得

二S-h--S

3°AEAC"3°^ADC■EH,

、/71_

所以---h=—x2x1x1,得〃=J5,

22

所以。到平面4EC距离为J5

17、(1)|^C|=5；(2)AM=AB+2AD

【解析】(i)设C(x,y),根据向量相等的坐标表示可得答案;

(2)设丽7=2而+〃而，建立方程，解之可得答案

【详解】解：⑴设C(x,y),由点A(4,l),B(3,6),O(2,0),所以品=(%-3,/6),而=(-2,-1),

%—3=—2x=]_________

又觉=而，所以<,_6__]，解得:_5'所以点C&5)，Z=(-3,4),所以|恁|=J(—3>+42=5;

(2)若点M(-l,4),所以赤=(—5,3),AB=(-1,5),AD=(-2,-1),

__________[—5=—A-2//fA=1

设AM=/lA8+〃A。，即〈°-，解得〈c，

3=5/i-/z[〃=2

所以用基底｛淳近｝表示布7=丽+2加

18、(1)x+5y+3=0；(2)S“ABC=3

【解析】求三角形一边的高所在的直线方程时，可利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助

垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程，已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这

边所在直线的方程，高线长利用点到直线的距离公式求出，从而求出面积.

试题解析：

(1)由斜率公式，得ABC=5,

所以8C边上的高所在直线方程为y+l=-g(x-2),即x+5y+3=0.

⑵由两点间的距离公式，得18cl=糜，8c边所在的直线方程为y+2=5(x-3),即5x-y-17=0,

|5x2+l-17|6

所以点A到直线BC的距离d=在)([j=>/269

-x-^=xV26=3.

故SABC=

A2V26

【点睛】已知三角形三个顶点的坐标求面积，最简单的方法是求出一边的长以及这边所在直线的方程，高线长利用点

到直线的距离公式求出，从而求出面积，还可求出三边长借助海伦公式去求；求三角形一边的高所在的直线方程时，可

利用点斜式求解，由于高线过三角形一个顶点，与对边垂直，借助垂直求出斜率，利用点斜式写出直线方程.

19、(1)兀;⑵(亨-例(keZ)；⑶《W或者•

【解析】(1)/(x)=2sin(2x+y

解：由题意，/(x)=2sinf2x+y

(1)函数的最小正周期为7=不；

(2)2x+——kjt,x=^-——,keZ,所以对称中心f-----,o\A：GZ•

326<26J

(3)由题意，sin(a-?)=*,得或等，所以或

点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用.本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得

到/(x)=2sin(2x+。］,利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等

20、(1)/(X)在R上递增，证明见解析.

(2)(0,3-2夜)U{T}

【解析】(1)根据函数单调性的定义计算/(%)-/(王)的符号，从而判断出了(X)的单调性.

(2)对。进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得人的范围.

a

【小问1详解】

T+a2x-a+2a

f(x)=

2x-aT-a

当a＜0时，〃x）的定义域为R,

在R上递增，证明如下:

2a-2处一2为

任取玉＜%2，/（玉）一/（々）=苏-----=2a-7------77------C.

2应_a(2x'-a)(2'2-a)

由于2,2一2%＞0，所以/（%）一/伍）＜°，/（百）＜/（±），所以/（x）在R上递增.

【小问2详解】

由于加＜〃，所以2"‘＜2"，*

由白身知福＜?，所以攵＜0.

由于〃W0,所以。＜0或4＞0.

当。＜0时，由（1）可知/（x）在R上递增.

/(〃?)$

所以《;从而沼V①有两个不同的实数根,

“〃)下

令f=2”,f>0,①可化为*+(a-攵—+成=0,

其中a<O,%<O,a吹>0,

a-k„

----->0

2k>a

所以(a--4ak>0,vk—-6cik+>09

ak>0ak>0

0<-<l

a

(kykk

<——6---F1>0,解得0<—<3—2A/2.

\aJaa

ak>0

当a>0时，函数f(x)=l+7芦一的定义域为｛x|xHlog2。｝,

函数/(X)在(r°，log2a)，(log2。,+°°)上递减.

若［〃〃］=(log2a,+8),则于是?>0,这与左<0矛盾，故舍去.

[m,/i]o(-00,log,a),贝！

2m+a_k

2H(2m+a)=^(2n,-o)

,n

于是《2-a2"

2"+cik2"，(2"+a)=M2"-a)

[2n-a_T

两式相减并化简得(a+Z)(2"—2"')=0,由于机<“,2">2"',

所以。+人=0,所以K=-l.

a

综上所述，:的取值范围是(O,3-2&)U{-1}.

【点睛】函数/(x)在区间［a,以上单调，则其值域和单调性有关，若/(x)在区间目上递增，则值域为

［/(a),/(/?)］；若/(x)在区间［a,句上递减，则值域为［/伍)"(叨.

3595

21、(1)M=mx-5x-5()77+50(1<x<16,xe)(2)

T,T

【解析】(1