2023中考复习-特殊四边形综合题

特殊四边形综合题

1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得

到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QOJ_BD,垂足为0,连接0A、0P.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断0A、0P之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y=SaPB，BP=x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式，并求出

y的最大值.

2.在矩形ABCD中，NADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一

定点(其中EP<PD)

(1)如图1,假设点F在CD边上(不与D重合)，将NDPF绕点P逆时针旋转90。后，角的

两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.

①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

(2)拓展：如图2,假设点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PGLPF,交射线

DA于点G,你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？假设成立，给出证

明；假设不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.

3.正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、

DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.

(1)如图1,当NEAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

(2)当4AEF是直角三角形时，求a、b的值；

(3)如图3,探索NEAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.

4.如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点M,N分别是边BC,CD上的动点(不与点

B,C,D重合)，AM,AN分别交BD于点E,F,且NMAN始终保持45。不变.

(1)求证：逆=返；

AM2

(2)求证：AF1FM；

⑶请探索：在NMAN的旋转过程中，当NBAM等于多少度时，NFMN=/BAM?写出你的

探索结论，并加以证明.

5.如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且NBFC=90。.

(1)当E为BC中点时，求证：ABCF之△0£(：；

(2)当BE=2EC时，求型的值；

BC

1

⑶设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C,连结FC,AF,假设点C至UAF的距离是2叵,

5

求n的值.

6.如图1,在菱形ABCD中，AB=6遂，tanZABC=2,点E从点D出发，以每秒1个单位长度

的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一

个角a（a=NBCD）,得到对应线段CF.

（1）求证：BE=DF；

（2）当1=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；

（3）如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

（4）如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应线段CG.在点E

的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于

时间t的函数表达式.

7.四边形ABCD是菱形，AB=4,ZABC=60°,NEAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,

且NEAF=60°.

（1）如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；

（2）如图2,当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图3,当点E在线段CB的延长线上，且NEAB=15。时，求点F到BC的距离.

8.如图①，AD为等腰直角aABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，

连接BG,AE.

（1）求证：BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）

①求证：BG±GE；

②设DG与AB交于点M,假设AG：AE=3：4,求里的值.

MD

9.如图①，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点E在AC上（且不与点A,C重合），在4ABC

的外部作^CED,使NCED=90。，DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,

连接AF.

（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系；

（2）将aCED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,

AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的根底上，将ACED绕点C继续逆时针旋转，请判断12）问中的结论是否发生

变化？假设不变，结合图③写出证明过程；假设变化，请说明理由.

2

10.如图(1)矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,NMPN=90。将NMPN绕点P从PB处开始

按顺时针方向旋转，PM交AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F,当PN旋转至

PC处时，NMPN的旋转随即停止

(1)特殊情形：如图(2),发现当PM过点A时，PN也恰好过点D,此时，△ABPB^PCD

(填:0"或"〜"

(2)类比探究：如图［3)在旋转过程中，患的值是否为定值？假设是，请求出该定值；假

PF

设不是，请说明理由；

(3)拓展延伸：设AE=t,ZXEPF面积为S,试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所

对应的t的值.

1L：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，

分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F,点。为AC的中点.

(1)当点P与点。重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)

(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当NOFE=30。时，如图2、图3的位置，猜测线段CF、

AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜测，并选择一种情况给予证明.

12.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE,DE.

(1)如图1,求证：ZXBCEgADCE；

(2)如图2,延长BE交直线CD于点F,G在直线AB上，且FG=FB.

①求证：DE±FG；

②正方形ABCD的边长为2,假设点E在对角线AC上移动，当4BFG为等边三角形时，求线

段DE的长〔直接写出结果，不必写出解答过程).

13.如图1,在正方形ABCD内作NEAF=45。，AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过

点A作AHLEF,垂足为H.

(1)如图2,将4ADF绕点A顺时针旋转90。得到4ABG.

①求证：4AGE^4AFE；

②假设BE=2,DF=3,求AH的长.

(2)如图3,连接BD交AE于点M,交AF于点N.请探究并猜测：线段BM,MN,ND之

间有什么数量关系？并说明理由.

14.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG〃CD交AF于

点G,连接DG.

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

3

(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

⑶假设AG=6,EG=2旄，求BE的长.

15.如图1,ZXABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，点B、

C分别在边AD、AF上，此时BD=CF,BD_LCF成立.

(1)当^ABC绕点A逆时针旋转6(0°<0<90")时，如图2,BD=CF成立吗？假设成立，

请证明，假设不成立，请说明理由；

(2)当aABC绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长BD交CF于点H.

①求证：BD±CF；

②当AB=2,AD=3后时，求线段DH的长.

16.如图1,在矩形ABCD中，BOAB,NBAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F,点

。是BD的中点，直线。K〃AF,交AD于点K,交BC于点G.

(1)求证：①△DOKg/XBOG；②AB+AK=BG；

(2)假设KD=KG,BC=4-亚.

①求KD的长度；

②如图2,点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM〃DG交KG于点M,PN〃KG

交DG于点N,设PD=m,当5"(^=返时，求m的值.

4

17.正方形ABCD,P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延

长线上，连接EA、EC.

(1)如图1,假设点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

(2)假设点P在线段AB上.

①如图2,连接AC,当P为AB的中点时，判断4ACE的形状，并说明理由；

②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分NAEC时，求a：b及NAEC的度数.

18.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,设锐角NA0B=a,将△DOC按逆时针方

向旋转得到△D9C(0。<旋转角V90。)连接AC、BD\AC与BD湘交于点M.

(1)当四边形ABCD为矩形时，如图1.求证：△AOC之△BOD-

(2)当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD,如图2.

①猜测此时△A0U与△BOD，有何关系，证明你的猜测；

②探究AU与BD，的数量关系以及NAMB与a的大小关系，并给予证明.

19.菱形ABCD的边长为1,ZADC=60°,等边aAEF两边分别交DC、CB于点E、F.

(1)特殊发现：如图1，假设点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、

4

BD的交点O即为等边4AEF的外心；

(2)假设点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边4AEF的外心为P.①猜测验证：

如图2,猜测4AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3,当E、F

分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M,BC边于点G,DC边

的延长线于点N,请你直接写出」-+」_的值.

DMDN

20.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点C,D不重合)，连接AE,

平移^ADE,使点D移动到点C,得到ABCF,过点F作FG_LBD于点G,连接AG,EG.

(1)问题猜测：如图1,假设点E在线段CD上，试猜测AG与EG的数量关系是，位置关系

是；

(2)类比探究：如图2,假设点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜测(1)中

的结论仍然成立，请你给出证明；

(3)解决问题：假设点E在线段DC的延长线上，且NAGF=120。，正方形ABCD的边长为2,

请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度.

21.如图，正方形ABCD边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边

AB、CD、DA上，连接CF.

(1)求证：ZHEA=ZCGF；

⑵当AH=DG=2时，

求证：菱形EFGH为正方形；

(3)设AH=x,DG=2x,Z\FCG的面积为y,试求y的最大值.

22.如图1,四边形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,点E在边AB上，ZDEC=90°,且DE=EC.

(1)求证：△ADE^^BEC；

⑵假设AD=a,AE=b,DE=c,请用图1证明勾股定理:a2+b2=c2；

⑶线段AB上另有一点F(不与点E重合)，且DFLCF(如图2),假设AD=2,BC=4,求

EF的长.

23.如图1,正方形ABCD中，AC是对角线，等腰R3CMN中，ZCMN=90°,CM=MN,点M

在CD边上，连接AN,点E是AN的中点，连接BE.

(1)假设CM=2,AB=6,求AE的值；

⑵求证:2BE=AC+CN；

(3)当等腰RtZ\CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2,连接AN,点E是AN的

中点，连接BE,延长NM交AC于点F.请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结

5

论.

24.正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动，且DE=DF.连接BF,作

EH_LBF所在直线于点H,连接CH.

（1）如图1,假设点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；

（2）如图2,当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？假设成立给出

证明；假设不成立，说明理由；

（3）如图3,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时，连接DH,过点D作直线DH的垂线,

交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.

25.问题：如图（1）,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45°,试判断BE、

EF、FD之间的数量关系.

【发现证明】小聪把4ABE绕点A逆时针旋转90。至^ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用

图（1）证明上述结论.

【类比引申】如图⑵,四边形ABCD中，NBADW90。，AB=AD,NB+ND=180°,点E、F分

别在边BC、CD上，那么当/EAF与NBAD满足关系时，仍有EF=BE+FD.

【探究应用】如图（3）,在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.AB=AD=80

米，ZB=60°,ZADC=120",ZBAD=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE^AD,DF=40

（V3-D米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考

数据：近=1.41,73=1.73）

26.如图1,正方形OABC与正方形ODEF放置在直线I上，连结AD、CF,此时AD=CF.AD

±CF成立.

（1）正方形ODEF绕0点逆时针旋转一定的角度，如图2,试判断AD与CF还相等吗？假设

成立，请证明；假设不成立，请说明理由.

（2）正方形ODEF绕。点逆时针旋转，使点E旋转至直线I上，如图3,求证：AD1CF.

⑶在（2）小题的条件下，AD与0C的交点为G,当A0=3,0D=后时，求线段CG的长.

27.如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，ZBEF=90°,BE=EF,连接PF,点P是

FD的中点,连接PE、PC.

（1）如图1,当点E在CB边上时，

求证：PE=2ZlcE；

2

（2）如图2,当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜测，

并给与证明.

6

28.：k〃l2〃b〃l4,平行线11与12、L与b、I3与I4之间的距离分别为山、d2、d3,且di=d3=l，

d2=2.我们把四个顶点分别在11、12、b、14这四条平行线上的四边形称为"格线四边形”.

(1)如图1,正方形ABCD为“格线四边形”，那么正方形ABCD的边长为.

(2)矩形ABCD为“格线四边形"，其长：宽=2：1,求矩形ABCD的宽.

(3)如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直k于点E,分别交k，L于点F,G.将/AEG

绕点A顺时针旋转30。得到NAED1如图2),点D，在直线b上，以AD，为边在ED左侧作菱形

ABCD，，使夕，U分别在直线―14上,求菱形ABCD，的边长.

29.正方形ABCD边长为4cm，点E,M分别是线段AC,CD上的动点，连接DE并延长，交

正方形ABCD的边于点F,过点M作MNLDF于H,交AD于N.

(1)如图1,假设点M与点C重合，

求证:DF=MN；

(2)如图2,假设点M从点C出发，以lcm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出

发，以亚cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t1t>0)；

①当点F是边AB的中点时，求t的值；

②连结FM,FN,当t为何值时△MNF是等腰三角形(直接写出t值).

30.,正方形ABCD中，NMAN=45。，NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC

(或它们的延长线)于点M、N,AH_LMN于点H.

(1)如图①，当/MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；

(2)如图②，当NMAN绕点A旋转到BMWDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成

立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

(3)如图③，ZMAN=45°,AHLMN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.

特殊四边形综合题答案

1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2,边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得

到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QOJ_BD,垂足为0,连接OA、OP.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y=SaPB，BP=x(0WxW2),求y与x之间的函数关系式，并求出

y的最大值.

解：(1)四边形APQD为平行四边形；

(2)OA=OP,OA±OP,理由如下:

7

•.,四边形ABCD是正方形，

，AB=BC=PQ,NABO=NOBQ=45°,

VOQ±BD,二NPQO=45°,

/.ZABO=ZOBQ=ZPQO=45°,，OB=OQ,

在^AOB和△OPQ中，

.,.△AOB^APOQ(SAS),

/.OA=OP,NAOB=NPOQ,

.•.NAOP=NBOQ=90°,

AOA±OP；

(3)如图，过。作OE_LBC于E.

①如图1,当P点在B点右侧时，

那么BQ=x+2,0E=£2,

2

•#.y=—X2ii*x,即y」(x+1)2-—,

2244

又•.•0Wx<2,

...当x=2时，y有最大值为2；

②如图2,当P点在B点左侧时，

那么BQ=2-x,0E="三，

2

/.y=—X———*x,即y=-(x-1)2+—,

2244

又：。。。

...当x=l时，y有最大值为工；

4

综上所述，.•.当x=2时，y有最大值为2；

2.在矩形ABCD中，NADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上一

定点(其中EPVPD)

(1)如图1,假设点F在CD边上(不与D重合)，将NDPF绕点P逆时针旋转90。后，角的

两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.

①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.

(2)拓展：如图2,假设点F在CD的延长线上(不与D重合)，过点P作PGLPF,交射线

DA于点G,你认为(1)中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？假设成立，给出证

明；假设不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.

8

【分析】（1）①假设证PG=PF,可证△HPG/△DPF,NDPH=/HPG,由旋转可知NGPF=/

HPD=90°及DE平分NADC得△配口为等腰直角三角形，即/DHP=NPDF=45°、PD=PH,即可得

证；

②由△朋口为等腰直角三角形，AHPG^ADPF知HD=&DP,HG=DF,根据DG+DF=DG+GH=DH

即可得；

（2）过点P作PHLPD交射线DA于点H,先证△”口为等腰直角三角形可得PH=PD,HD=&DP,

MiiEAHPG^ADPF可得HG=DF,根据DH=DG-HG=DG-DF可得DG-DF=bDP.

解：（1）①•.•/GPF=NHPD=90°,ZADC=90°,

/.ZGPH=ZFPD,

VDE平分/ADC,

/.ZPDF=ZADP=45O,

•••△HPD为等腰直角三角形，

/.ZDHP=ZPDF=45°,

在△HPG和4DPF中，

，ZPHG=ZPDF

V-PH=PD，

ZGPH=ZFPD

.,.△HPG^ADPF（ASA）,

，PG=PF；

②结论：DG+DF=&DP,

由①知，4HRD为等腰直角三角形，△HPG也△DPF,

，HD=&DP,HG=DF,

.*.HD=HG+DG=DF+DG,

.,.DG+DF=V2DP；

（2）不成立，数量关系式应为：DG-DF=&DP,

如图，过点P作PHLPD交射线DA于点H,

VPF1PG,

/.ZGPF=ZHPD=90°,

.•.ZGPH=ZFPD,

「DE平分NADC,且在矩形ABCD中，ZADC=90°,

/.ZHDP=ZEDC=45°,得到△”口为等腰直角三角形，

/.ZDHP=ZEDC=45°,且PH=PD,HD=&DP,

9

:.ZGHP=ZFDP=180°-45°=135°,

在△HPG^IADPF中，

，ZGPH=ZFPD

•*<NGHP=/FDP

PH=PD

.,.△HPG^ADPF,

，HG=DF,

/.DH=DG-HG=DG-DF,

ADG-DF=V2DP.

3.正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、

DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.

(1)如图1,当NEAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

(2)当aAEF是直角三角形时，求a、b的值；

(3)如图3,探索NEAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.

【分析】(1)当NEAF被对角线AC平分时，易证△ACFgAACE,因此CF=CE,即a=b.

(2)分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8(CE+4)①,再用相似三角形得出4CF=CE

(CE+4)②，两式联立解方程组即可；

⑶先判断出NAFD=NCEF,再判断出AF=EF,从而得到△ADF/ZXFCE即可.

解：(1)•••四边形ABCD是正方形，

/.ZBCF=ZDCE=90"

VAC是正方形ABCD的对角线，

/.ZACB=ZACD=45°,

/.ZACF=ZACE,

VZEAF被对角线AC平分，

，NCAF=NCAE,

在4ACF和4ACE中，

"ZACF=ZACE

<AC=AC，

ZCAF=ZCAE

/.△ACF^AACE,

，CE=CE,

VCE=a,CF=b,

♦・a二b,

io

VAACF^AACE,

/.ZAEF=ZAFE,

VZEAF=45°,

，NAEF=NAFE=67.5°,

VCE=CF,ZECF=90°,ZAEC=ZAFC=22.5°,

VZCAF=ZCAE=22.5°,

/.ZCAE=ZCEA,

/.CE=AC=4心

即：a=b=4j"^；

（2）当4AEF是直角三角形时，

①当NAFE=90°时，.•.NAFD+NCFE=90°,

VZCEF+ZCFE=90°,

，NAFD=NCEF

VZAFE=90°,ZEAF=45°,

ZAEF=45°=ZEAF

，AF=EF,

'NADF=NFCE

在4ADF和aFCE中（ZAFD=ZCEF

AF=EF

/.△ADF^AFCE,

；.FC=AD=4,CE=DF=CD+FC=8,

a=8,b=4

②当NAEF=90°时，

同①的方法得，CF=4,CE=8,

a=4,b=8.

⑶ab=32,

理由：如图，

：AB〃CD

/.ZBAG=ZAFC,

VZBAC=45°,

•\NBAG+NCAF=45",

/.ZAFC+ZCAF=45°,

11

,/ZAFC+ZAEC=180°-(ZCFE+ZCEF)-ZEAF=180°-90°-45°=45°,

，/CAF=NAEC,

VZACF=ZACE=135°,

/.△ACF^AECA,

•ACCF

，，EC^AC，

.\ECXCF=AC2=2AB2=32

，ab=32.

4.（2023•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点。，点M,N分别是边BC,CD上的

动点（不与点B,C,D重合），AM,AN分别交BD于点E,F,且NMAN始终保持45。不变.

⑵求证:AF±FM；

（3）请探索：在NMAN的旋转过程中，当NBAM等于多少度时，NFMN=/BAM?写出你的

探索结论，并加以证明.

【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明NAFM=90。,

根据等腰直角三角形性质即可解决问题.

（2）由（1）的结论即可证明.

（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出NBAM=NEFM,因为NBAM=NFMN,所以NEFM=N

FMN,推出MN〃BD,得到空=型，推出BM=DN,再证明△ABM^^ADN即可解决问题.

CBCD

（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，

/.ZABD=ZCBD=45°,ZABC=90°,

VZMAN=45°,

/.ZMAF=ZMBE,

，A、B、M、F四点共圆，

/.ZABM+ZAFM=180°,

ZAFM=90°,

/.ZFAM=ZFMA=45°,

/.AM=V2AF,

•AF_&

••一,,♦

AM2

(2)由⑴可知NAFM=90°,

12

AAF1FM.

（3）结论：NBAM=22.5时，ZFMN=ZBAM

理由：:A、B、M、F四点共圆，

，NBAM=NEFM,

VZBAM=ZFMN,

/.ZEFM=ZFMN,

，MN〃BD,

,CM-CN,,pp-nr

CBCD

；.CM=CN,

，MB=DN,

在△ABM和4ADN中，

'AB=AD

■NAM=NADN=90°，

BM=DN

/.△ABM^AADN,

/.ZBAM=ZDAN,

VZMAN=45°,

.•.ZBAM+ZDAN=45",

，NBAM=22.5°.

5.（2023•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且NBFC=90。.

（1）当E为BC中点时，求证：4BCF丝△0£（：；

（2）当BE=2EC时，求型的值；

BC

（3）设CE=1,BE=n，作点C关于DE的对称点C,连结FC,AF,假设点C到AF的距离是2叵,

5

求n的值.

【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=LDE=EF,由等腰三角形的性质

2

得出NFEC=NFCE,证出CF=CE,由ASA证明4BCF之△0£（：即可；

（2）设CE=a,那么BE=2a,BC=3a,证明△BCFS/^DEC,得出对应边成比例空=里，得出

ECED

ED2=6a2,由勾股定理得出DC=J^a,即可得出结果；

⑶过C作UHJ_AF于点H,连接CC咬EF于M,由直角三角形斜边上的中线性质得出NFEC=

ZFCE,证出NADF=NBCF,由SAS证明aADF^4BCF,得出NAFD=NBFC=90°,证出四边形

13

CMFH是矩形，得出FM=C'H=2'国,设EM=x,那么FC=FE=x+2Z运，由勾股定理得出方程,

_55

解方程求出EM=逗，FC=FE=®+2而;由⑵得：更要，把CE=1,BE=n代入计算即

10105EC-ED

可得出n的值.

(1)证明；•.•在矩形ABCD中，NDCE=90。，F是斜边DE的中点，

/.CF=1DE=EF,

2

/.ZFEC=ZFCE,

VZBFC=90°,E为BC中点，

；.EF=EC,；.CF=CE,

'NBFC=NDCE

在aBCF和4DEC中，＜CF=CE，

ZFCB=ZDEC

/.△BCF^ADEC(ASA)；

(2)解：设CE=a,由BE=2CE,得：BE=2a,BC=3a,

VCF是RtADCE斜边上的中线，

/.CF=1DE,

2

VZFEC=ZFCE,ZBFC=ZDCE=90°,

/.△BCF^ADEC,

•••CF_一BC,

ECED

即：2=3a,

aED

解得:ED2=6a2

由勾股定理得：DC=jDF-Ed=荷-『=&,

•••CD_V5a_V5.,

BC3a3

⑶解：过C作CHLAF于点H,连接CC咬EF于M,如下图：

VCF是RtADCE斜边上的中线，

，FC=FE=FD,

/.ZFEC=ZFCE,

•四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,AD=BC,

14

/.ZADF=ZCEF,

/.ZADF=ZBCF,

'AD=BC

在^ADF和4BCF中，＜NADF=NBCF，

DF=CF

/.△ADF^ABCF(SAS),

/.ZAFD=ZBFC=90°,

VCH±AF,UC_LEF,NHFE=NC'HF=NC'MF=90°,

二四边形CMFH是矩形，

.,.FM=C,H=2^Q,

5_

设EM=x,那么FC=FE=x+2叵，

5

在RtAEMC和RtAFMC中，

由勾股定理得：CE2-EM2=CF2-FM2,

I2-x2=(x+2收］2一心而)2,

_55

解得：x=逗，或x=-逗(舍去)，

_102_

,-.EM=^Q,FC=FE=^^+2^Q；

10105

由(2)得：竺要，

ECED

把CE=1,BE=n代入上式计算得：CF=^Z,

_2

•V2n+2V10,2710

2105

解得：n=4.

6.如图1,在菱形ABCD中，AB=6遂，tanNABC=2,点E从点D出发，以每秒1个单位长度

的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t1秒)，将线段CE绕点C顺时针旋转一

个角a(a=NBCD),得到对应线段CF.

(1)求证：BE=DF；

(2)当1=6亚+6秒时,DF的长度有最小值，最小值等于12；

(3)如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a(a=NBCD),得到对应线段CG.在点E

的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于

时间t的函数表达式.

15

【分析】(1)由NECF=/BCD得NDCF=/BCE,结合DC=BC、CE=CF证aDCF丝ZSBCE即可得；

(2)当点E运动至点E，时,由DF=BE知此时DF最小,求得BE，、AE，即可得答案；

(3)①NEQP=90°时，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根据AB=CD=6遂,

tanZABC=tanZADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。时，由菱形ABCD的对角线ACLBD知EC与AC重合，可得DE=6遥；

(4)连接GF分别角直线AD、BC于点M、N,过点F作FH_LAD于点H,证4DCE会4GCF

可得N3=N4=N1=N2,即GF〃CD,从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得

MN=CD=6遥；再由NCGN=NDCN=NCNG知CN=CG=CD=6泥，根据tan/ABC=tan/CGN=2可

得GM=6遥+12,由GF=DE=t得FM=t-6疾~12,

利用tan/FMH=tanNABC=2即可得FH.

解：(1)VZECF=ZBCD,BPZBCE+ZDCE=ZDCF+ZDCE,

/.ZDCF=ZBCE,

•.•四边形ABCD是菱形，

，DC=BC,

在ADCF和ABCE中，

'CF=CE

.*NDCF=NBCE，

CDXB

.'.△DCF之△BCE(SAS),

.,.DF=BE；

(2)如图1,

当点E运动至点E，时，DF=BE:此时DF最小，

在RtZ\ABE，中，AB=6泥，tanZABC=tanZBAE=2,

.•.设AE'=x,那么BE'=2x,

•*.AB=>\/^x=6-7^,

那么AE'=6

，DE，=6遥+6,DF=BE=12,

故答案为：6巡+6,12；

⑶VCE=CF,

.•.NCEQV90°,

①当NEQP=90°时，如图2①，

VZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

16

.*.ZCBD=ZCEF,

•.•/BPC=NEPQ,

，NBCP=NEQP=90°,

：AB=CD=6巡，tanZABC=tanZADC=2,

.,.DE=6,

.*.t=6秒；

②当NEPQ=90。时，如图2②,

•菱形ABCD的对角线AC1BD,

，EC与AC重合，

DE=6A/5，

••・t=6逐秒；

24

⑷y=2V5t-12-^,

55

如图3,连接GF分别角直线AD、BC于点M、N,过点F作FH_LAD于点H,

由⑴知N1=N2,

又；N1+NDCE=N2+/GCF,

/.ZDCE=ZGCF,

在4DCE和4GCF中，

'EC=FC

•<NDCE=/GCF，

DC=GC

.,.△DCE^AGCF(SAS),

•*.Z3=Z4,

VZ1=Z3,N1=N2,

N2=N4,

AGFCD,

又：AH〃BN,

四边形CDMN是平行四边形，

；.MN=CD=6遥，

VZBCD=ZDCG,

，NCGN=NDCN=NCNG,

；.CN=CG=CD=6遥，

17

VtanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

；.GM=6遥+12,

VGF=DE=t,

Z.FM=t-6遂-12,

VtanZFMH=tanZABC=2,

.•.FH=^ZE(t-6遂-12),

5

即y=2V5t_12-竺

55

7.四边形ABCD是菱形，AB=4,ZABC=60°,NEAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,

且NEAF=60°.

(1)如图1,当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系；

(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE=CF；

(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上，且NEAB=15。时，求点F到BC的距离.

【分析】(1)结论AE=EF=AF.只要证明AE=AF即可证明4AEF是等边三角形.

(2)欲证明BE=CF,只要证明4BAE^aCAF即可.

(3)过点A作AG1,BC于点G,过点F作FH_LEC于点H,根据FH=CF・cos30。，因为CF=BE,

只要求出BE即可解决问题.

⑴解:结论AE=EF=AF.

理由：如图1中，连接AC,

••,四边形ABCD是菱形，ZB=60°,

，AB=BC=CD=AD,ZB=ZD=60°,

.'.△ABC,△ADC是等边三角形，

/.ZBAC=ZDAC=60°

VBE=EC,

/.ZBAE=ZCAE=30°,AE1BC,

VZEAF=60°,

/.ZCAF=ZDAF=30°,

AAFlCD,

.•.AE=AF(菱形的高相等),

.••△AEF是等边三角形，

18

，AE=EF=AF.

（2）证明:如图2中，

VZBAC=ZEAF=60",

，NBAE=NCAE,

在^BAE和4CAF中，

'NBAE=NCAF

<BA=AC，

ZB=ZACF

/.△BAE^ACAF,

/.BE=CF.

⑶解：过点A作AGLBC于点G,过点F作FH_LEC于点H,

VZEAB=15°,ZABC=60",

/.ZAEB=45",

在RTAAGB中，VZABC=60°AB=4,

ABG=2,AG=2A/3，

在RTAAEG中，VZAEG=ZEAG=45°,

.•.AG=GE=2«,

/.EB=EG-BG=2遂-2,

:△AEB之△AFC,

；.AE=AF,EB=CF=2遂-2,

在RMCHF中，VZHCF=180°-ZBCD=60°,CF=2而-2,

.,.FH=CF»sin60°=（2代-2）•近=3-遂.

2

.,.点F到BC的距离为3-正.

8.如图①，AD为等腰直角^ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，

连接BG,AE.

（1）求证:BG=AE；

（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）

①求证：BG1GE；

②设DG与AB交于点M,假设AG：AE=3：4,求里的值.

MD

【分析】⑴如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD,再根据正方形的性质得NGDE=90。,

DG=DE,那么可根据"SAS"判断△BDG^^ADE,于是得到BG=AE；

19

（2）①如图②，先判断aDEG为等腰直角三角形得到Nl=/2=45。，再由^BDG之4ADE得到

Z3=Z2=45°,那么可得NBGE=90。，所以BG±GE；

②设AG=3x,那么AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG=Y0GE=l2Zlx,由（1）

22

的结论得BG=AE=4x,那么根据勾股定理得AB=5x,接着由4ABD为等腰直角三角形得到N

4=45°,BD=^AB=5&X,然后证明△DBMS^DGB,那么利用相似比可计算出口1\/1=至叵*,

2214

所以GM」2&X,于是可计算出里的值.

7MD

（1）证明：如图①，

VAD为等腰直角AABC的高，

；.AD=BD,

•.•四边形DEFG为正方形，

/.ZGDE=90°,DG=DE,

在aBDG和aADE中

'BD=AD

-NBDG=NADE，

DG=DE

/.△BDG^AADE,

/.BG=AE；

（2）①证明：如图②，

•.•四边形DEFG为正方形，

.,.△DEG为等腰直角三角形，

.*.Z1=Z2=45°,

由（1）得△BDGgAADE,

Z3=Z2=45",

/.Z1+Z3=45°+45°=90°,即ZBGE=90°,

.•.BG±GE；

②解：设AG=3x,那么AE=4x,即GE=7x,

7

.,.DG=^1GE=^X>

22

,.,△BDG^AADE,BG=AE=4x,

在RtABGA中，

AB=^BG2+AG2=7(4X)2+(3X)2=5x,

20

VAABD为等腰直角三角形，

AZ4=45°,BD=VL\B=5&X,

22