2023中考数学例题解析：方差

2023中考数学精选例题解析：方差

知识考点：

了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，掌握它们的计算方法，并能以此比

拟同类问题的两组数据的波动情况，了解用样本方差估计总体方差的思想方法。

精典例题：

【例1】选用恰当的公式，求以下各数据的方差。

(1)-2,1,4(2)-1,1,2(3)79,81,82

分析：由于(1)中各数据及它们的平均数为较小整数，因此选用公式：

§2」［区-元)2+(々-幻2+3+(乙一幻2］求方差较简便；⑵中各数据虽为

n

较小整数，但它们的平均数为分数，因此选用公式：

1—

22222

S(x,+x2+---+xn)-/7JC求方差较简便；⑶中数据较大且接近80,因此

n\_

取。=80运用公式：

S2=-(X2+x；2+.••+%；,2)-nP求方差较简便。

n

答案：(1)S2=6；(2)S2=1-；(3)S2=1-

99

【例2】甲、乙两人在相同条件下，各射靶10次，每次射靶的成绩情况如下图,

(1)请填写下表：

平均数方差中位数命中9环以上次数

甲71.21

乙

(2)请从下面四个不同的角度，对这次测试结果进行分析。

①从平均数和方差相结合看；

②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；

③从平均数和命中9环以上次数相结合看1分析谁的成绩好些)；

④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力〕

解：⑴略;

⑵①..•平均数相同，$2甲VS?乙，...甲的成绩比乙稳定;

②•••平均数相同，甲的中位数〈乙的中位数，...乙的成绩比甲好些；

③•••平均数相同，命中9环以上环数甲比乙少，.•.乙的成绩比甲好些；

④甲成绩的平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比

甲少的情况发生，乙较有潜力。

评注：方差、标准差都是反映数据波动大小的量，波动大小是数据的属性，而不是

判断好坏的标准。

探索与创新：

【问题一】某工人加工一种轴，轴的直径要求是20±5毫米，他先加工了8件，量

得直径分别为（单位:毫米）：19.7、20.2、19.6、19.8、20.2、20.3、19.8、20.0。当

他加工完10件后，发现这10件的直径平均数为20毫米，标准差为0.3毫米，请问此

工人最后加工的两件轴的直径符合要求吗？为什么？

分析：要想作出正确的判断，需首先根据的平均数和标准差求出最后加工的两件轴

的直径。

解：此工人最后加工的两件轴中，只有一件的直径符合要求。

设最后加工的两件轴的直径分别为x毫米，y毫米(xWy),令％-20=m,

y—20=〃，取。=20,那么£=x—。=20—20=0。

由>='(-0.3+0.2-0.4-0.2+0.2+0.3-0.2+0+加+〃)得：加+〃=0.4

由S2=_L[(-0.3)2+0.22+(-0.4)2+…+机？+“2)]=032得：机2+〃2=Q4

m+n=0.4m=-0.2

.•.有方程组,解得:

m2+/=0.4n=0.6

Ax=-0.2+20=19.8,y=0.6+20=20.6

因此该工人最后加工的两件轴中有一件是符合要求的（直径为19.8毫米的），一

件是不符合要求的（直径为20.6毫米的）。

跟踪训练：

一、选择题：

1、一组数据一1,X,0,1,-2的平均数是0,那么这组数据的方差是（）

A、姓B、2C、4D、10

2、某工厂对一个生产小组的零件进行抽样调查，在10天中，这个生产小组每天出的次

品数为（单位：个〕：0,2,0,2,3,0,2,3,1,2,在这10天中，该生产小组

生产零件所出的次品数的（）

A、平均数是2B、众数是3C,中位数是1.5D、方差是1.25

3、设修、々、…、Z的方差是「2,那么5%一1、5々一1…、5%”-1的方差是（）

22

A、5s2B、5S-1C、25s2D、25S-1

4、以下各组数据中，满足条件“容量为5,平均数为4,方差为2”的是（）

A、3,4,4,3,54,4.5,3,5,6,2

C、4-V2,3,6,3,4+V2D、5,3,4,7,1

二、填空题：

1、为了考查一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取5只，称得它们的重量如下（单位:

千克）：3.3,3.0,3.4,3.1,3.2,在这个问题中，样本方差S?=。

2、一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4、7、8、6、5、9、10、7、6、

8,那么这名学生射击环数的标准差是。

3、假设4、2、5、3的平均数是人，且。、6是方程/-41+3=0的两个根，那

么这组数据的方差为。

4、样本99、101、102、x、y（xWy）的平均数为100,方差为2,那么x=,y=。

5、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验，每名参加者可获得0、

1、2、3、4、5、6、7、8、9分这几种不同分值中的一种。测试结果A班的成绩如

下表所示，B班的成绩如下图。

(1)由观察所得，班的标准差较大；

(2)假设两班合计共有60人及格，问参加者最少获分值可以及格。

三、解答题：

1、为了考察甲、乙两种农作物的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下(单

位：cm)：

甲：9,10,11,12,7,13,10,8,12,8

乙：8,13,12,11,10,12,7,7,9,11

如果你也经过了这次考察，请你经过计算后答复以下问题：

(1)哪种农作物的10株苗长的比拟高？

(2)哪种农作物的10株苗长的比拟整齐？

2、甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习，各练5次，他们每个同学

合格的次数分别如下：

甲组：4,1,2,2,1,3,3,1,2,1

乙组：4,3,0,2,1,3,3,0,1,3

(1)如果合格3次以上(含3次)作为及格标准，请你说明哪个小组的及格率高？

(2)请你比拟哪个小组的口语会话的合格次数较稳定？

3、甲、乙两个班举行电脑汉字输入速度比赛，各选10名学生参加，各班参赛学生

每分钟输入汉字个数统计如下表：

平均

输入汉字(个)132133134135136137众数中位数方差

数

甲班学生(人)1015211351351351.6

乙班学生(人)014122

请你填写上表中乙班学生的相关数据，再根据所学的统计学知识，从不同方面评价

甲、乙两班学生的比赛成绩(至少从两个方面进行评价)。

4、一次科技知识竞赛，两组学生成绩如下表：算得两个组的平均分都是80分，请

根据你所学的统计学知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由。

分数5060708090100

甲组251013146

人数

乙组441621212

参考答案

一、选择题：BDCC

二、填空题：

1、0.02；2、V3；3、2；4、x=98,y=100；5、(1)A,(2)4分

三、解答题：

1、(1),元甲=10,元乙=10

...两种农作物的10株苗的平均高度相同。

(2)：$2甲=3.6,§2乙=4.2

S?甲vS)乙

故甲种农作物的10株苗长的比拟整齐。

3

2、(1)甲组合格人数为3人，甲组及格率为3x100%=30%；同理乙组的及格

10