2022年浙江省宁波市北仑区中考数学模拟测试试题（二模）（4月）（含详解）

2022年4月宁波市北仑区九年级中考数学模拟测试试题（二模）

试题卷I

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.在下列实数中，属于无理数的是（）

A.J2022B.C.2.022D.-^―

2022

2.截止到3月底，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种.其中2.12亿用

科学记数法表示为（）

A.2.12xl07B.2.12xl08C.0.212xlO9D.2.12xl09

3.下列计算错误的是（）

A.a3+a3=2a3

B.4a6+2/=2/

C.o'-a2=a5

D.（3打=6，

4.若二次根式JTi在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.B.x>3C.x<3D.x<3

5.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

6.北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如下表，则这些学生的中长跑成绩的中位数

和众数分别为（）

得分（分）78910

人数2341

A.8和9B.8.5和10C.8.5和9D.9和9

7.如图，在放AABC中，/C=9O,/A=30°,E为43上一点且所_LAC于尸，连结

FB，则tan/CE3=()

2A/35G

亍

8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱

轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何.“译文：”五只雀，六只燕，共

重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕重量各为多少？“设每只雀重x斤，每

只燕重y斤，可列出方程组为（）

‘5x+6y=l[6x+5y=l

4x+y=5y+x[4x+y=5y+x

5x+6y6x+5y=:l

D.{

5x+y=6y+x6x+y=5y+x

9.已知二次函数y=o?一4ax+5（其中x是自变量）,当三一2时.y随X的增大而增大，且-6领k5

时，y的最小值为-7,则。的值为（）

c1-12

A.3B.—C.----D.—1

55

10.将矩形428和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼

成矩形BEHN.若4M=1,DE=4,EF=3,那么矩形BEHN的面积为（）

C.30D.45

试题卷II

二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）

11.（3.14-7）°=

12.分解因式：xy2-2xy+x=.

13.由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎

具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎（假设

每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了人.

3

14.如图，已知△A8C是一个水平放置圆锥的主视图，AB=AC=5cm,cosZACB=-,则圆锥的侧面积为

15.如图，在正六边形A3CDEF内取一点。，作与边DE,砂相切，并经过点3,已知的半

经为26，则正六边形的边长为.

16.如图，在平行四边形0A8C中，点B在反比例函数（x>o）上，延长0C至点E,使得到

x

0C=2CE,点。是直线BC与y轴的交点，过点。作。尸〃A8交射线AE于点凡连结。凡则△OAF的面

积为.

三、解答题（本大题共有8题，共80分）

17.先化简，直求值:，共中。=五一2.

18.在6x8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段A8,其中点4在直线MN上.要求

①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹.

（1）在图1中，在直线上找到一点C,作AABC,便得/ACB=45°;

（2）在图2中，在直线MN上找到一点E，作八48£，使得/EAR=/ERA.

19.某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A）,足球⑻,排球（C）,羽毛球（。），乒乓球（£）,每

个学生选修其中的一门.学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图.

（2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？

（3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（4）,2人选修足球CB）,1人选修排球（C）.若要从这4人

中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率.

20.我市准备在相距2千米的M,N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45。方向、N地北偏西

60。方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬

迁?（参考数据:72-1.41,注=1.73）

21.如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC,BD,EF,GH组成，其中E,F,G,H

分别是菱形ABC。四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC=xcm,

菱形A8CO的面积为yen?.

（1）写出N关于x的函数关系式:

4

（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cmWACW§8。，那么当骨架AC的长为多少时，这

风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？

22.新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书

每本进价的L4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，

（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？

（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大

利润？（购进两种图书全部销售完）

23.如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1,

AD是AABC的中线，则△m£）和八48就是互补三角形.

（1）根据定义判断下面两个命题真假（填“真''或"假"）

①互补三角形一定不全等.命题

②互补三角形的面积相等.命题

（2）如图2,AABC和AADE为互补三角形，AB=AE,AC=AD,A户是AABC的中线.

求证：AF=-DE,

2

（3）如图3,在（2）的条件下，若B,E,。三点共线，连结CE,CD,四边形A5EC为圆内接四边

BD-AF

形.当/84£=120’时，求一——的值.

CD

(1)如图1,OO是等腰AABC的外接圆，AB=AC,在AC上取一点尸，连结AP，BP,CP,求

证：ZAPB=ZPAC+ZPCA；

思考探究】

(2)如图2,在(1)条件下，若点P为AC的中点，45=6,PB=5,求R4的值；

拓展延伸】

(3)如图3,。。的半径为5,弦3C=6,弦8=5,延长AP交8C的延长线于点E,且

NABP=/E,求APPE的值.

2022年4月宁波市北仑区九年级中考数学模拟测试试题（二模）

试题卷I

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.在下列实数中，属于无理数的是（）

A.J2022B.C.2.022D.-^―

2022

【答案】A

【解析】

【分析】根据无理数的定义判断即可.

【详解】解：&2022,七为有理数，J踞为无理数.

故选：A.

【点睛】本题考查了无理数的概念即无限不循环小数为无理数，掌握其概念是解题的关键.

2.截止到3月底，我国60岁以上的老年人中有2.12亿人完成了新冠病毒疫苗的全程接种.其中2.12亿用

科学记数法表示为（）

A.2.12xl07B.2.12xl08C.0.212xlO9D.2.12xl09

【答案】B

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中号同<10,"为整数，且〃比原来的整

数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：2.12亿=212000000=2.21x1（）8

故选B

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlO"，其中确定。与〃的

值是解题的关键.

3.下列计算错误的是（）

A.ci+

B.4/+2/=2/

C.o'-<r=a5

D.（3叫-=646

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用单项式加法法则、同底数幕的乘除运算法则、幕的乘方运算法则、积的乘方运算法则

分别计算得出答案.

【详解】解：A.+ai=2ai>故此选项正确;

B.4*+2/=2/,故此选项正确;

C.a3a2=a5>故此选项正确；

D.（3<?y=9a6H6a6,故此选项错误.

故选D.

【点睛】此题主要考查了单项式的加法法则、同底数幕的乘除运算法则、哥的乘方运算法则、积的乘方运

算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键.

4.若二次根式J仁在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x/3B.x>3C.x<3D.x<3

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案.

【详解】要使二次根式J口在实数范围内有意义，

必须3-x20,

解得：M3,

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键.

5.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念求解.

【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意;

B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

D.是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

图形重合；轴对称图形的关键是寻找对•称轴，图形两部分对折后可重合.

6.北仑区某中学十位学生在体育中考中的中长跑项目成绩记录如下表，则这些学生的中长跑成绩的中位数

和众数分别为（）

得分（分）78910

人数2341

A.8和9B.8.5和10C.8.5和9D.9和9

【答案】C

【解析】

【分析】根据中位数、众数的定义解答.

【详解】解：共10为同学，中位数应该是第5和第6个人的得分的平均数，即^^=8.5,

2

9分的人数最多，故众数为9.

故选：C.

【点睛】本题考查了中位数、众数的定义，学会分析表格、熟悉中位数和众数的定义是解题的关键.

7.如图，在心AABC中，^C=90,24=30°,E为上一点且AEUEAE户_LAC于尸，连结

2百5百

亍

【答案】D

【解析】

【分析】设A£=4x,E3=x，根据NA=300求出尸C、8c的长，由此得解.

【详解】解：设AE=4x,EB-x,则AB=5x,

EF±AC,

：.ZAFE^ZC=9Q°

'：NA=30。，

・•・FE=-AE=2x,AF=VAE2-EF2=2A/3x,CB=-AB=2.5x,AC=y/AB2-BC2=^-x,

222

G

:.FC=AC-AF=—x,

2

在尸中，ZC=90°,

5

/,tanZ.CFB=上又

CF百一3.

x

2

故选：D.

【点睛】此题考察三角函数，30。角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，此题根据A£=4£B设未

知数是解题的关键.

8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱

轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤.问：燕雀一枚，各重几何.“译文：”五只雀，六只燕，共

重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕重量各为多少？“设每只雀重x斤，每

只燕重丁斤，可列出方程组为（）

5x+6y=l‘6x+5y=l

A.〈

4x+y=5y+x4x+y=5y+x

5x+6_y^l6x+5j=l

5x+y=6y+x、6x+y=5y+x

【答案】A

【解析】

【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x,y

的二元一次方程组.

【详解】解：；五只雀、六只燕，共重1斤,

5x+6）=1,

•.•雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重,

5x-x+y=6y-y^-x9BP4r+y=5y+x,

.15x+6y=l

••*，

4x+y=5y+x

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题

的关键.

9.已知二次函数,=办2一4姓+5（其中x是自变量），当用,—2时随x的增大而增大，且-6勃k5

时，y的最小值为-7,则。的值为（）

112

A.3B.—C.----D.—1

55

【答案】B

【解析】

【分析】先根据解析式确定对称轴，再根据当xW-2时，y随X的增大而增大，判断抛物线的开口方向，

利用对称轴和二次函数的增减性确定最小值时的自变量，仔细求解即可.

【详解】解：•.•二次函数＞=狈2-4牧+5,

抛物线的对称轴为x=2,

•.•当xW-2时，＞随x的增大而增大，

二抛物线开口向下即4V0，

•.,当一6WxW5时，V的最小值为-7,

.,.产-6时,函数有最小值36a+24a+5=-7,

解得后--，

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的开口，对称性，增减性和最值，熟练掌握二次函数的性质灵活求解是解题

的关键.

10.将矩形ABC。和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼

成矩形若AM=1,DE=4,EF=3,那么矩形BEHN的面积为（）

A.20B.24C.30D.45

【答案】C

【解析】

【分析】如图，由题意知=BC=AD=MN=AN+AM,MD^AD-AM,由

ZPED+ZBEC=ZBEC+ZEBC=90°,可得NPED=ZEBC,证明力小也4££)「(7145),则

MPMH

PD=EC,没HM=EC=PD=x,MP=3-x,证明则而=/即

3—xx

--=-.求X的值，进而可得EC=2,DC=6,根据S矩形BEHN=S矩形UCD+S矩形CEFG，计算求解即

x4

可.

【详解】解：如图,

H

由题意知4V=£F=3,BC=AD=MN=AN+AM=4

：.MD=AD-AM=3

•：ZBEH^90°

：.ZPED+ZBEC=ZBEC+ZEBC=90°

NPED=/EBC

•；BC=DE=4

：.^BCE^EDP(AAS)

：.PD=EC

设HM=EC=PD=x,MP^3-x,

,：ZHMP=ZEDP=90°,ZHPM=ZEPD

:•AHPMSAEPD

MPMH3-xx

，——=----即nn-----=-

PDDEx4

解得x=2

•*.EC-2，DC=6

S矩形BEHN=S矩形ABCD+S矩形CEFG

=BCxDC+ECxEF

=4x6+2x3

=30

故选C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识.解题的关

键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

试题卷II

二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）

II.（3.14-乃）°=______.

【答案】1

【解析】

【分析】由（a）°=La即可求解.

【详解】解：•••（a）°=LawO,且3.14—兀。0,

••.（3.14-乃）°=1,

故答案为1.

【点睛】本题考查零次幕，关键是注意底数不为0.

12.分解因式：xy2-2xy+x=.

【答案】x（y—1）2

【解析】

【分析】先提公因式X,然后利用完全平方公式分解因式即可.

【详解】解：xy2-2xy+x

=x（y2-2y+l）

=x（y-l）2

故答案为：x(y-l)2.

【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式.解题的关键在于正确的分解因式.

13.由于许多国外国家直接放开防空政策，导致新冠肺炎疫情至今没能得到缓解，疫情难以消停.新冠肺炎

具有人传人的特性，若一人携带病毒，未尽进行有效隔离，经过两轮传染后共有121人患新冠肺炎(假设

每轮传染的人数相同)，则每轮传染中平均每个人传染了人.

【答案】10

【解析】

【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染

后共有121人患新冠肺炎”，即可得出关于x一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据题意得：

(1+X)2=121,

解得：%,=10,x2=-12(舍去)，

即每轮传染中平均每个人传染了10人.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键.

3

14.如图，已知AABC是一个水平放置圆锥的主视图，48=AC=5cm,cos=1,则圆锥的侧面积为

【答案】15兀

【解析】

【详解】由题意可知圆锥底面圆的半径=5xcosNACB=5x|=3(cm),

所以此圆锥的侧面积=,X2?rX3X5=15兀(cm2).

2

故答案为15乃.

15.如图，在正六边形ABCDEF内取一点。，作O。与边DE,砂相切，并经过点8,已知。。的半

经为26，则正六边形的边长为

【答案】6+2

【解析】

【分析】根据与两边相切，利用切线长定理求出NM0£=3()。，求出ME,OE,得出正六边形外接圆直

径，即得边长；

【详解】解：如图，连接。M,ON,OE,

•••◎，与边DE,分•相切，

OM±ME,ONYDE,

NOME=ZONE=90°,OM=ON,

又OE=OE,

NOEM=VO£2V（”L）,

所以OE在正六边形ABCDEF的一条对称轴上,

••,正六边形ABCDEF,

■■■ZFED=\20°,

ZMO7V=60°,

由切线长定理得，NMOE=30°,

•••OM=20,

：•ME=2,OE=4,

因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点8,所以08在一条对称轴上，

因为BE所在直线是正六边形A6CD七户的一条对称轴，所以点8、。、E在一条直线上,

BE=0B+BE=26+4,

因为8E为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半

径为'BE=£+2,

2

故答案为：6+2.

【点睛】本题考查切线长定理，外接圆直径，解题关键构造直角三角形，求出0E长度.

16.如图，在平行四边形0A8C中，点B在反比例函数产9（x>0）上，延长。C至点E,使得到

x

0C=2CE,点。是直线8c与），轴的交点，过点。作。尸〃AB交射线4E于点儿连结。尸，则AOAF的面

积为.

【答案】4.5

【解析】

【分析】过点B作BGLx轴于点G,连接AC、AD,CF,利用平行四边形的性质以及反比例函数A的几何

意义求得S㈣娜AODC=-SOG=3,再根据平行线间距离相等，得到5A"D=SAOCF,进一步计算即可得到

2WBD

结论

【详解】解：过点B作轴于点G,连接AC、AD.CF,

・・•四边形0ABe是平行四边形，

：・NBAG=NC0G=/DC0,ZAGB=ZCDO=90°,AB=0C,AB//0C,

，〉AGB会ACDO,

S^AGH=SKDO,

,/四边形OA8C是平行四边形，

••S>A0C=SAABC，

•:点、B反比例函数产9(x>0)上，

X

・・・矩形8OOG的面积为6,

._1_

•・S四边形八。。。=-S矩形BDOG=3,

2

,：DF//AB//0C,

••S^OCD^S^OCFt

SAOCKS^AOC=S四边形AODC=3,

Y0C=2CE,

._1_1

・・Sc^CEF=­S&OCF,S^CEA=—S^OCA，

22

,1

・・SACE什SAC£4=_(SAOCF+AOC/4)=1.5,

2

^OAF的面积为：S4OCF+S^AOLSAC£/H-5ACEA=3+1.5=4.5.

故答案为：4.5.

【点睛】本题考查了反比例函数系数大的几何意义：在反比例函数产士的图象上任取一点，过这一个点向

X

X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值网.也考查了平行四边形的性质.

三、解答题(本大题共有8题，共80分)

17.先化简，直求值：11.4，共中〃=忘一2.

【解析】

【分析】先把括号里的通分进行相加，然后根据分式的乘法运算法则进行化简，再把。的值代入计算即

可.

(2八a2-aa1

［详解］—1=——F—-7r—7=---

\a)a—4a(〃+2乂〃-2)a+2

当Q=V2―2时，原式=—r---------------=—,

v2—2+2v22

【点睛】此题主要考查了分式化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因

式分解.掌握正确的运算顺序是解题的关键.

18.在6x8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，已知线段A8,其中点4在直线MN上.要求

①仅用无刻度直尺；②保留画图痕迹.

(1)在图1中，在直线M2V上找到一点C,作AABC,便得/ACB=45°：

(2)在图2中，在直线MN上找到一点E，作人钻£，使得NE46=N£S4

【答案】(1)见解析；

(2)见解析

【解析】

(分析］(1)过点B作BO上MN于点O,再在点O的右侧的MN上取一点C,使OC=OB,点C即为所求

的点；

（2）作线段AB的垂直平分线交MN于点、E,点E即为所求的点.

【小问1详解】

解：如图：点C即为所求的点

【小问2详解】

解：如图：点E即为所求的点

【点睛】本题考查了复杂作图，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是利

用数形结合思想解决问题.

19.某校社团活动开设的体育选修课，篮球（A）,足球（B）,排球（C）,羽毛球（O）,乒乓球（E）,每

个学生选修其中的一门.学校对某班全班同学的选课情况进行调查统计后制成了以下两个统计图.

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；

（2）该校共有1000名学生，请估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有多少人？

（3）该班的其中某4各同学，1人选修篮球（A）,2人选修足球（8）,1人选修排球（C）.若要从这4人

中任选2人，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好是1人选修篮球，1人选修足球的概率.

【答案】（1）总人数50个人，见解析；

(2)340；（3）见解析，一

3

【解析】

【分析】（1）利用C组的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，再计算出E组人数，然后计算出A组

人数后补全频数分布直方图;

（2）先计算出该校学生体育选修课选修篮球G4）的学生占总体的百分比，再利用总人数乘以求出的百分

比即可;

（3）利用列表法展示所有12种等可能结果数，再找出选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的

结果数，然后根据概率公式求解.

【小问1详解】

解：总人数=12+24%=50（人），E组的人数=50xl0%=5（人）,

所以A组的人数=50-7-12-9-5=17（人）,

【小问2详解】

解：由（1）可估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生占总体的百分比为」xl00%=34%

1000x34%=340（人）

答：估计该校学生体育选修课选修篮球（A）的学生约有340人.

【小问3详解】

解：列表如下：

ABBC

AABABAC

BABBBBC

BABBBBC

CACBCBC

共有12种等可能的结果数，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的结果数为4,

41

所以选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率=一=一.

123

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，?，再从中选出

符合事件A或8的结果数目，”，求出概率.也考查了统计图.

20.我市准备在相距2千米的"，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45。方向、N地北偏西

60。方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬

迁?（参考数据:72-1.41,73-1.73）

【答案】没有居民需要搬迁.

【解析】

【分析】求出尸点到的距离，比较尸点到的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需

搬迁，反之则需搬迁.

【详解】过点尸作于O,

MD=PI>cot45°=PD,ND=PD・cot30°=GPD,

•：MD+ND=MN=2,

即73PD+PD=2,

2

:.PD=T—=s/3—1~i.73-1=0.73>0.6.

V3+1

答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁.

21.如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC,BD,EF,GH组成，其中E,F,G,H

分别是菱形A6CD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC=xcm,

菱形ABC。的面积为加n?.

(1)写出N关于x的函数关系式：

4

(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cmWACW-BO,那么当骨架AC的长为多少时，这

3

风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？

1,八

【答案】(1)y=—x+20%；

4

(2)32；最大面积为384cm2

【解析】

【分析】(DE,F,G,"分别是菱形2员少四边的中点，得出5O=40-'x,根据菱形面积公式求出

2

乡关于*的函数关系式；

(2)求出x的取值范围，整理卜=一工/+20%=一］"(》一40『+400,函数图象开口向下，自变量x的

44

取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值；

【小问1详解】

解：VE,F为AB、AO中点，

EF=-BD,

2

同理：GH=—BD,

2

VEF+B£>+G/7+4C=80,

60=40-L,

2

•.•四边形ABC。是菱形，

/.y=—|40--JC|x=--x2+20x；

-2[2）4

【小问2详解】

4

•••AC<-BD,

3

..・WW

x<32,

/.25<x<32,

,/y=-%2+20x=—；（x—40）2+400,

又•.」<（），

4

.•.当x=32即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为384cm2.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出

函数关系式，解题关键是判断取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值.

22.新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书

每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，

（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？

（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大

利润？（购进的两种图书全部销售完）

【答案】（1）甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；

（2）甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大

【解析】

【分析】（1）设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本1.4x元，然后根据用1680元购进甲种图

书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本列出方程求解即可；

（2）设甲种图书进货“本，总利润w元，然后根据利润=单件利润X数量，列出W关于。的一次函数关系

式，利用一次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本1.4X元

».+/日14001680

由题意得：-------------=10

x1.4x

解得：x—20

经检验，x=20是原方程的解

甲种图书进价为每本1.4x20=28元

答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元;

【小问2详解】

解：设甲种图书进货。本，总利润w元，则

w=(40—28)a+(30—20)(1200—a)=2a+12000

•••28fl+20(1200-«)<28000

解得。＜500

•••卬随。的增大而增大

当a最大时卬最大

,当a=500本时，w最大

此时，乙种图书进货本数为1200-500=700（本）

答：甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子求解是关键.

23.如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1,

的中线，则△ABO和△48就是互补三角形.

03)

（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真''或"假”）

①互补三角形一定不全等..命题

②互补三角形的面积相等.命题

(2)如图2,AABC和AADE为互补三角形，AB=AE,AC=AD,AE是AABC的中线.

求证：AF=-DE；

2

(3)如图3,在(2)的条件下，若8E,。三点共线，连结CE,CD,四边形ABEC为圆内接四边

BD—AF

形.当/BAE=120°时，求一-——的值.

CD

【答案】(1)①假命题，②真命题；

(2)见解析；(3)皿=逅

CD2

【解析】

【分析】(1)①直接根据“互补三角形”的定义，结合全等三角形的判定定理判断；②根据三角形的面积公

式，可以判断；

(2)延长8A至点G,使AG=AB,连结CG,由三角形中位线定理可得AF=‘CG,然后证明

2

△ADE丝ZVICG即可；

(3)先证A4OC为等边三角形，得AB=AE,再证。C=CE,设A尸=a,DE=2AF=2a,

CE=DC=W，BD=^~^=^^DE=(6+l)a,从而求解・

【小问1详解】

解：①假命题，理由是：

在A4BO和AACO中，虽然BD=C。，4O=A£>,但NAOB与N4DC除均为直角外不相等，所以△A8O和

△ACD不一定全等，

故答案是：假命题.

②真命题，理由是：

过8作BErAD于E,过C作CFLAD于F

A

ZBDE=NCDF

JABED=ZCFD=90°

BD=CD

.".△BD£^AC£>F(A