2023中考数学二次函数压轴题(含答案)

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题

面积类

1.如图，抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段5c上的点(不与5,C重合)，过M作MN〃了轴交抛物线于N,假设

点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下，连接N8、NC,是否存在机，使△8NC的面积最大？假设存在，

求“，的值；假设不存在，说明理由.

解答：

解：(1)设抛物线的解析式为：产a(x+1)5-3),那么：

a(0+1)(0-3)=3,a=-1；

抛物线的解析式：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.

(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b,那么有：

(3k+b=0

\b=3

解得-1；

lb=3

故直线3c的解析式：y=-x+3.

点M的横坐标为相，MN〃丫,那么M("2,+3)、N(m，-zn2+2/?z+3)；

・••故MN=-机2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m(0<m<3).丫

(3)如图；

•:S"NGS»MN廿丸MN所MN(OD+DB)=MN・OB,/|\\\

S^BNC=("m2+3m}・3=-(m-)2+-^[0<n?<3)；/

...当初=时，△8NC的面积最大，最大值为得.rrlDB\

2.如图，抛物线-*|x-2(a#0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C

点，8点坐标为(4,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)试探究aABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;

(3)假设点M是线段8c下方的抛物线上一点，求△M8C的面积的最大值，并求出此时

M点的坐标.

解答：

解：(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中，得：

0=16a-x4-2,即：。=；

•••抛物线的解析式为：y=/-x-2.

(2)由(1)的函数解析式可求得：A(-1,0)、C(0,-2)；

；.OA=1,OC=2,OB=4,

即：0(^=0A-OH,又：OC±AB,

.,.△OACs/XOCB,得：ZOCA=ZOBC；

：.ZACB=ZOCA+ZOCB=ZOBC+Z0cB=90°,

...△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为A8的中点，且坐标为：(，0).

(3)已求得：B(4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为：y=x-2；

设直线/〃BC,那么该直线的解析式可表示为：y=x+b,当直线/与抛物线只有一个交点时,

可列方程：

x+b^x2-x-2,即：x2-2x-2-b=0,且△=()；

/.4-4x(-2-b)=0,即b=-4；

.•.直线/：y=x-4.

所以点“即直线/和抛物线的唯一交点，有：

(12_3_

X29

%x2~rx=2

-,解得：］即M⑵-3).

y=《x-4I尸3

2

过M点作MNLx轴于N,

S^BMGS梯形OCM/V+SZWNB-Saoc8=x2x(2+3)+x2x3-x2x4=4.

平行四边形类

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸*2+m*+〃经过点4(3,0)、B(0,-3),点尸

是直线45上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点设点尸的横坐标为f.

(1)分别求出直线48和这条抛物线的解析式.

(2)假设点P在第四象限，连接AM、BM,当线段PM最长时，求△A8M的面积.

(3)是否存在这样的点P,使得以点尸、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形？假设存

在，请直接写出点尸的横坐标；假设不存在，请说明理由.

(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A(3,0)B(0,-3)分别代入)，=/+如+〃

与产友+6,得到关于〃八〃的两个方程组，解方程组即可；

(2)设点尸的坐标是C,L3),那么M(/,於-2/-3),用P点的纵坐标减去M的纵坐

标得到的长，即尸C-3)-(r2-2r-3)=-t2+3t,然后根据二次函数的最值得到

当仁-——J3=时,最长为一°二9=,再利用三角形的面积公式利用

2X(-1)4X(-1)

SAABM=SAB/W+SAA/W计算即可；

(3)由PM〃O8,根据平行四边形的判定得到当尸仞=08时，点P、M、B、。为顶点的四

边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3,PM最长时只有.，所以不可

能；当P在第一象限：PM=OB=3,(r2-2r-3)-(r-3)=3；当P在第三象限：PM=OB=3,

t2-3仁3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.

解答：

解：11)把A(3,0)B(0,-3)代入产%2+妙+〃，得

(O=9+3/n解得了-2,所以抛物线的解析式是哲-2x-3.

1-3=n|n=-3

设直线AB的解析式是y=kx+b,

把A(3,0)B(0,-3)代入尸H+b,得[。期+幺解得作=1

[-3=b[b=-3

所以直线AB的解析式是尸x-3；

⑵设点尸的坐标是(r,t-3),那么Mit,产-2/-3),

因为p在第四象限，

所以PM=C-3)-(P-2L3)=-产+3力

当仁-——『=时,二次函数的最大值，即尸例最长值为一0J9

2X(-1)4X(-1)

1qnn

那么S&ABM=S&BPM+SAAPM=—X—X3=—■

248

⑶存在,理由如下：

'JPM//OB,

.•.当时，点尸、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形，

①当P在第四象限：PM=OB=3,PM最长时只有，所以不可能有PM=3.

②当P在第一象限：PM=0B=3,H-2r-3)-(f-3)=3,解得“=尹'②,屋一收(舍

22

去)，所以尸点的横坐标是生②；

③当尸在第三象限：PM=OB=3,t2-3t=3,解得仁处②(舍去)，屋一收,所以p

22

点的横坐标是二一板.所以尸点的横坐标是E返或$一收.

222

4.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为4(0,1),B(2,0),O(0,

0),将此三角板绕原点。逆时针旋转90。，得到夕O.

(1)一抛物线经过点A，、B\B,求该抛物线的解析式；

(2)设点尸是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点尸，使四边形尸肥4方的面积

是△4次0面积4倍？假设存在，请求出尸的坐标；假设不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，试指出四边形尸"43是哪种形状的四边形？并写出四边形尸夕

的两条性质.

解：门)夕。是由aABO绕原点。逆时针旋转90。得到的，

又A(0,1),B(2,0),O(0,0),

〔-1,0),B'(0,2).

方法一：

设抛物线的解析式为：y=a^+bx+c(W0),

:抛物线经过点4、9、B,

0=a-b+ca=~1

・12=c，解得：，b=l，，满足条件的抛物线的解析式为y=-/+x+2.

,0=4a+2b+c,c=2

方法二:VA,(-1,0),B'(0,2),B(2,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-2)

将加(O2)代入得出：2=a(0+1)(0-2),

解得：a=-I,

故满足条件的抛物线的解析式为广-(x+1)(x-2)=-/+x+2；

(2)为第一象限内抛物线上的一动点，

设尸(x,y),那么x>0,y>0,P点坐标满足y='馋GC

连接PB,PO,PB',

S叫边形PB'A'B=S4B'OA'+S/\PB'O+Se、POB，

=x]x2+x2xx+x2xy,

=x+(-N+x+2)4-1,

=-x2+2x+3.

VArO=l,8'0=2,面积为：xlx2=l,

假设四边形PB'A'B的面积是△4B，。面积的4倍，那么

4=-N+2X+3,

即x2-2x+l=0,

解得：X|=X2=1,

此时尸-R+I+2=2,即尸(1,2).

存在点P(1,2),使四边形PB'A'B的面积是△A50面积的4倍.

(3)四边形PQ4B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可.

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；

③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等.-------------------(10分)

或用符号表示：

①NB'A'B=NPBA'或/A'B'P=NBPB'：®PA'=B'Bx③B，P〃A，B；@B'A'=PB.

5.如图，抛物线产/-2x+c的顶点4在直线/：y=x-5上.

(1)求抛物线顶点4的坐标；

(2)设抛物线与y轴交于点3,与x轴交于点C、D

(C点在£＞点的左侧)，试判断△A5O的形状；

(3)在直线/上是否存在一点P,使以点P、A、B、D

为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点尸的坐标；

假设不存在，请说明理由.

解：(1)•.,顶点A的横坐标为4—-且顶点A在)=x-5上，

当x=\时，y=l-5=-4,

・・・A[1,-4).

(2)△A8O是直角三角形.

2

将A[1,-4)代入尸/-2x+c,可得，1

/.<?=-3,/.y=x2-2r-3,.,.B(0,-3)

当y=0时，x1-2x-3=0,x\=-1,X2=3

：.C[-1,0),D(3,0),

BD2=OB2+OD2=[S,AB2=(4-3)2+l2=2,

AD2=(3-1)2+42=20,BD2+AB2=AD2,

：.ZABD=9O°,即△AB。是直角三角形.

⑶存在.

由题意知：直线y=x-5交y轴于点E(0,-5),交x轴于点尸(5,0)

：.OE=OF=5,

又：08=00=3

...△OEF与△OBD都是等腰直角三角形

J.BD//1,BPPA//BD

那么构成平行四边形只能是以。B或附2。，如图，

过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.

设「Cxi，X,-5),那么G[1,©-5)

那么PG=|1-xi|,AG=|5-xi-4|=|1-xi|

PA=BD=3i-\[2

由勾股定理得：

2

(1-xi)+(1-)2=]8,JCI2-2xi-8=0,乃=-2或4

：.P(-2,-7)或尸(4,-1),

存在点尸(-2,-7)或尸(4,-1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.

周长类

6.如图，的两直角边。4、08分别在x轴的负半轴和7轴的正半轴上，。为坐

标原点，A、3两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线产产+bx+c经过点B,且顶

点在直线尸上.

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)假设把aABO沿x轴向右平移得到△OCE,点4、5、。的对应点分别是C、E,

当四边形48C。是菱形时，试判断点C和点O是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接8。，对称轴上存在一点P使得△P8O的周长最小，求出「

点的坐标；

（4）在（2）、（3）的条件下，假设点M是线段。5上的一个动点（点M与点0、8不重

合），过点M作〃30交x轴于点N,连接尸A/、PN,设0M的长为f,△PMN的面积为S,

求S和f的函数关系式，并写出自变量f的取值范围，S是否存在最大值？假设存在，求出

最大值和此时M点的坐标；假设不存在，说明理由.

解：（1）•.•抛物线产2x2+bx+c经过点8（0,4）：,c=4,

3

•.•顶点在直线A上，二-上=-士『，...氏-里；

2a?x23

3

所求函数关系式为尸2乂2-也X+4；

33

⑵在MzMBO中，0A=3,0B=4,

S卡**-（+钞=-*骸（。4<4）,

斫-<0,抛物线开口向下，S存在最大值.

2

由SAPMN=~t+Ht=-(f-U)2+^S9,

126144

.•.当仁篁时，s取最大值是2窈，此时，点M的坐标为(0,篁).

61446

等腰三角形类

7.如图，点A在x轴上，。4=4,将线段。4绕点。顺时针旋转120。至08的位置.

(1)求点3的坐标；

(2)求经过点A、0、5的抛物线的解析式；

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、。、8为顶点的三角形是等腰三

角形？假设存在，求点尸的坐标；假设不存在，说明理由.

解：⑴如图，过8点作BCL轴，垂足为C,那么NBCO=90。，

VZAOB=120°,ZBOC=60°,

又,/04=08=4,/.OC=O8=x4=2,BC=O8・s加60°=4x

点B的坐标为(-2,-273)；

⑵；抛物线过原点。和点A、B,可设抛物线解析式为厂加+法,

将A(4,0),B[-2.-273)代入，得

:空32加解得C』，，此抛物线的解析式为尸-运2+雪

K2A/363

r

(3)存在,

如图，抛物线的对称轴是直线42,直线42与x轴的交点为。设点P的坐标为(2,y),

①假设OB=OP,

那么22+b，F=42,解得产±2会，

当)=2«时，在放△POZ)中，ZPDO=90°,sinNPOD二四立

OP2

ZPOD=60°,

：.ZPOB=ZPOD+408=60。+120°=180°,

即P、0、B三点在同一直线上，

，产2«不符合题意，舍去，

.,.点P的坐标为(2,-2A/3)

②假设OB=PB,那么42+b，+2&F=42,

解得.>=-2y,

故点P的坐标为（2,-2«）,

③假设OP=BP,那么22+|y|2=42+|y+2V3l2>

解得y=_2«,

故点尸的坐标为（2,-273）>

综上所述，符合条件的点尸只有一个，其坐标为（2,-2V3）.

8.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴

上，且点A（0,2）,点C（-1,0）,如下列图：抛物线经过点8.

（1）求点8的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点尸（点5除外），使AAC尸仍然是以AC为直角边的等腰直

角三角形？假设存在，求所有点尸的坐标；假设不存在，请说明理由.

解：（1）过点8作轴，垂足为D,

VZBCD+ZACO=90°,ZACO+ZCAO=90°,

：.ZBCD=ZCAO,（1分）

又'：ZBDC=ZCOA=90°,CB=AC,

...△BCD也△CAO,（2分）

：.BD=OC=[,CD=OA=2,（3分）

.,.点8的坐标为1-3,1）；（4分）

⑵抛物线）=渥+融-2经过点B（-3,1）,

那么得至IJ1=94-3。-2,（5分）

解得a=,

所以抛物线的解析式为.y=x2+x-2；。分）

（3）假设存在点P,使得△ACP仍然是以

AC为直角边的等腰直角三角形：①假设以点C为直角顶点;

那么延长8c至点修，使得PC=BC,得到等腰直角三角形△ACPi,（8分）

过点Pi作PMLx轴，

:CPi=BC,ZMCP}=ZBCD,ZP}MC=ZBDC=90°,

（10分）

：.CM=CD=2,P\M=BIJ=\,可求得点Pi[1,-I）；⑴分）

②假设以点A为直角顶点；

那么过点A作AP2，CA,且使得AB=AC,得到等腰直角三角形△ACP2，(12分)

过点P2作BNLy轴，同理可证△APzN丝/XCAO,(13分)

；.NP2=OA=2,AN=0C=3可求得点P2(2,1),(14分)

经检验，点P(1,-1)与点P2(2,1)都在抛物线12+X-2上.(16分)

9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上