高中数学《第四章 数列》单元测试卷与答案解析（共四套）

高中数学选择性必修二《第四章数列》单元测试卷（一）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．2．在与之间插入两个数，，使得，，，，成等比数列，则（）A．B．C．D．3．在等比数列中，，则（）A．B．C．D．34．设等比数列的前项和为，若，，则公比（）A．3B．4C．2D．85．已知数列满足，，，则（）A．B．C．D．36．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（）A．B．C．1D．7．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51B．57C．54D．728．设等差数列的前项和为，若，则必定有（）A．，且B．，且C．，且D．，且9．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（）A．15B．7C．8D．1610．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）A．103B．107C．109D．105二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．用数学归纳法证明：，在验证时，等式左边为________.12．在等差数列中，，那么等于______.13．已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．14．在等比数列{an}中，已知a1，a4＝12，则q＝_____；an＝_____．15．等差数列的前n项和为，若，则______，的值是________．16．设等比数列的前项和为，若，，则______，______.17．已知等差数列的首项为2，等比数列的公比为2，是数列的前项和，且，则__，__．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19．在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.20．已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前n项和.21.为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值.22．已知等差数列和正项等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．设数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于数列的前项和，所以，，所以.故选：A2．在与之间插入两个数，，使得，，，，成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，，成等比数列，所以，故选：D.3．在等比数列中，，则（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设的公比为q，则，所以，所以(如果利用等比中项性质求的话，要注意等比数列奇数项的保号性特点).故选：B.4．设等比数列的前项和为，若，，则公比（）A．3B．4C．2D．8【答案】C【解析】因为等比数列中，，所以，即，故选：C.5．已知数列满足，，，则（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】将进行变形，得，则由得，，，，所以数列是以4为周期的周期数列，又，所以，故选：A．6．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】因为1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数，所以，所以的值为，故选：D.7．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51B．57C．54D．72【答案】B【解析】，即故选：B8．设等差数列的前项和为，若，则必定有（）A．，且B．，且C．，且D．，且【答案】A【解析】依题意，有，则故选：.9．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（）A．15B．7C．8D．16【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，即，，，所以.故选：B10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）A．103B．107C．109D．105【答案】B【解析】根据题意可知正整数能被21整除余2，，.故选：B.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．用数学归纳法证明：，在验证时，等式左边为________.【答案】【解析】当时，等式左边为.故答案为：.12．在等差数列中，，那么等于______.【答案】14【解析】因为数列为等差数列，且，根据等差数列的性质，可得，解答，又由.故答案为：14.13．已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．【答案】【解析】由可得，故或，若故，若，则，故答案为：.14．在等比数列{an}中，已知a1，a4＝12，则q＝_____；an＝_____．【答案】2【解析】由题意得，，所以，由等比数列通项公式，.故答案为：2；15．等差数列的前n项和为，若，则______，的值是________．【答案】【解析】因为，，.故答案为：；.16．设等比数列的前项和为，若，，则______，______.【答案】115【解析】因为数列为等比数列,由等比数列的通项公式可知而,所以,解方程组可得所以所以故答案为:;17．已知等差数列的首项为2，等比数列的公比为2，是数列的前项和，且，则__，__．【答案】862【解析】等差数列的首项为2，公差设为，等比数列的公比为2，由，可得，则，即，可得，则，．故答案为：8，62．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)【答案】每年至少要还6.17万元.【解析】50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，从而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.19．在等差数列中，已知，求通项公式及前项和.【答案】，【解析】令等差数列的公差为，则由，知：，解之得；∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有：，；20．已知是等差数列，其中，公差，（1）求的通项公式.（2）求数列前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）是等差数列，且，，；（2）.21.为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），时，的最小值为.【解析】（1）设的公差为，由，，即，解得，所以.（2），，所以当时，的最小值为.22．已知等差数列和正项等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和高中数学选择性必修二《第四章数列》单元测试卷（二）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（）A．5B．25C．35D．502．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．与均为的最大值3．在等差数列中，，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项4．在数列中，，，则（）A．B．C．D．35．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7B．8C．9D．106．已知等比数列中，，则数列的前项之和是（）A．B．C．D．7．数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（）A．B．C．D．8．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9．设数列满足，，则数列的通项公式为（）．A．B．C．D．10．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）.A．8B．9C．11D．10二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知等比数列的公比，且，则_______________________.12．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.13．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．14．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，那么：（1）第棵树所在点的坐标是，则______；（2）第棵树所在点的坐标是______．15．若对任意，都有，（n为正整数），则_______.______.16．在数列中，，且．（1）的通项公式为__________；（2）在这2019项中，被10除余2的项数为__________．17．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为____．此数列的通项公式______．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．已知正项数列的前n项和为，满足（，），．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的表达式．20．已知数列和都是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．21．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式.（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解.22．已知．（1）设，，求．（2）设，，且，问是否存在最小正整数，使得对任意，都有成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知等差数列的前n项和为，=5，则=（）A．5B．25C．35D．50【答案】B【解析】由题意可知，为等差数列，所以故选：B2．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．与均为的最大值【答案】C【解析】由于，，所以，，，所以，与均为的最大值．而，所以，所以C选项结论错误．故选:C．3．在等差数列中，，.记，则数列（）A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.4．在数列中，，，则（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】∵，，∴，，，.∴该数列是周期数列，周期.又，∴，故选：A.5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．6．已知等比数列中，，则数列的前项之和是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由，可得，解得，又由，解得，所以，则，数列的前项之和为.故选：.7．数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则．要使，即，可得，，∴n=23．则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是和，故选：C8．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知对都有成立，即，即又数列是首项为，公差为1的等差数列，且数列是单调递增数列，当时，，所以，，即，解得.即实数的取值范围是故选：D9．设数列满足，，则数列的通项公式为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以当时，，，，，将上式累加得：，，即，又时，也适合，．故选：B．10．已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（）.A．8B．9C．11D．10【答案】D【解析】由题意可知：，即，即，又，，即数列是以首项为9，公比为的等比数列，，即，，，则，即，又，满足不等式的最小整数，即.故选：D.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知等比数列的公比，且，则_______________________.【答案】【解析】等比数列的公比且.故答案为：.12．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.【答案】6【解析】大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则，即，即，令，在上是增函数，又，所以相遇时是第6天，故答案为：613．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【解析】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：14．如图所示，某地区为了绿化环境，在区域内大面积植树造林，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，第棵树在点处，根据此规律按图中箭头方向每隔个单位种棵树，那么：（1）第棵树所在点的坐标是，则______；（2）第棵树所在点的坐标是______．【答案】【解析】（1）设为第一个正方形，种植棵树，依次下去，第二个正方形种植棵树，第三个正方形种植棵树，构成公差为的等差数列，个正方形有棵树，由第棵树所在点坐标是，则；（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为，故前个正方形共有棵树，又，，，因此第棵树在点处．15．若对任意，都有，（n为正整数），则_______.______.【答案】【解析】因为对任意，都有，（n为正整数），所以当时，，，所以，解得，所以或，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以是以1为首项，以-1为公比的等比数列，所以，两式联立得：，故答案为：0，16．在数列中，，且．（1）的通项公式为__________；（2）在这2019项中，被10除余2的项数为__________．【答案】403【解析】（1），且，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，．（2）被10除且余数为2的整数可表示为，令，可得，，且奇数，∴n为10的倍数或为5的奇数倍且n为偶数．当n为10的倍数时，n的取值有10、20、30、…、2010，共201个；当为5的奇数倍且n为偶数时，n的取值有8、18、28…、2018，共202个．综上所述，在这2019项中，被10除余2的项数为201+202=403．故答案为：；40317．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为____．此数列的通项公式______．【答案】【解析】观察前10项可得，，，，，，即当为奇数时，，所以；又，，，，，即当为偶数时，；所以.故答案为：；.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为，因为等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列，所以解得∴.（2）∵，∴，，∴数列是首项为，公比为9的等比数列，∴.19．已知正项数列的前n项和为，满足（，），．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和的表达式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足（，），所以，整理得：，由于数列为正项数列，所以（常数），所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，易见也适合该式．由于，，当n为奇数时，，n为偶数时，，所以，，，，所以．20．已知数列和都是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，，则，，，又数列是等差数列，∴，化简得，解得，则；（2）由（1）可知，当时，，，符合，当时，，，综上，当时，．21．已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式.（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解.【答案】（1）证明见解析；；（2）8.【解析】（1）由取倒数得，即，所以为公差为的等差数列，.（2）当时，，所以这样有个，，，，两式相减得：，所以为递增数列.，，，所以最大正整数解为8.22．已知．（1）设，，求．（2）设，，且，问是否存在最小正整数，使得对任意，都有成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）由得：，则，故是以为首项，为公差的等差数列，，由可得，故．（2），，，由题干对任意，都有成立得，由得，，解得：，又为正整数，，综上，存在，使得对任意，都有成立．高中数学选择性必修二《第四章数列》单元测试卷（三）题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知数列an的前4项为：l，-12，13，A．an=1nB．an2．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．1B．-1C．2D．-23．已知数列，满足，若，则（）A．B．C．D．4．在等比数列中，，则=A．或B．C．或D．或5．等比数列中（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A．B．C．D．8．已知函数（），正项等比数列满足，则A．99B．C．D．二、多选题9．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（）A．可能为等差数列B．可能为等比数列C．中一定存在连续三项构成等差数列D．中一定存在连续三项构成等比数列10．已知数列的首项为4，且满足，则（）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，12．将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）……A．B．C．D．三、填空题13．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．16．如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.四、解答题17．设等差数列的前n项的和为，且，，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前14项和.18．数列满足，，（1）设，证明数列是等差数列（2）求数列的前项和.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．21．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.答案解析一、单选题1．已知数列an的前4项为：l，-12，13，A．an=1nB．an=-1【答案】D【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用(-1)n-1表示，∴故选D．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．2．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】A【分析】利用等差数列{an}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的公差．【详解】∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列{an}的公差为1．故选A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知数列，满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用递推公式计算出数列的前几项，找出数列的周期，然后利用周期性求出的值.【详解】，且，，，，所以，，则数列是以为周期的周期数列，.故选C.【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在等比数列中，，则=A．或B．C．或D．或【答案】A【分析】根据等比数列的性质得，又由，联立方程组，解得的值，分类讨论求解，即可得到答案.【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，又由，联立方程组，解得或，当时，则，此时；当时，则，此时，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答中根据等比数列的性质，联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．等比数列中（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.【详解】等比数列中，，当时，可得，及，故B正确；但和不能判断大小（正负不确定），故A错误；当时，则，可得，即，可得，由于不确定，不能确定的大小，故CD错误.故选：B.【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】在为等差数列中，当，，，时，．所以结合此性质可得：，再根据题意得到答案．【详解】解：在为等差数列中，当，，，时，．所以，又因为，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.【详解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数（），正项等比数列满足，则A．99B．C．D．【答案】C【详解】因为函数（），正项等比数列满足，则，选C二、多选题9．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（）A．可能为等差数列B．可能为等比数列C．中一定存在连续三项构成等差数列D．中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，不可能是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．故选：AC【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．10．已知数列的首项为4，且满足，则（）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和【答案】BD【分析】由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.【详解】由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故，故C错误；因为，所以的前项和，故D正确.故选：BD【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，【答案】AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，,等价于,即,等价于，即,这在已知条件中是没有的，故C错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12．将个数排成行列的一个数阵，如图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）……A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据等差数列和等比数列通项公式，结合可求得，同时确定、的值、得到的正误；首先利用等比数列求和公式求得第行个数的和，再结合等差求和公式得到的正误.【详解】对于，，，，又，，正确；对于，，，错误；对于，，，正确；对于，第行个数的和，，正确.故选：.【点睛】本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.【答案】20【分析】先由条件求出，算出，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设的公差为，由题意得即，①即，②由①②联立得所以故当时，取得最大值400故答案为：20【点睛】等差数列的是关于的二次函数，但要注意只能取正整数.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=_____尺.【答案】2n+1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解.【详解】根据题意大老鼠第n天打洞尺，小老鼠第n天打洞尺，所以故答案为：【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，16．如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.【答案】【分析】根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于所以梯形的面积为的面积減去的面积，则可得即递推公式为故为等差数列，且公差，故，得故答案为:【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．设等差数列的前n项的和为，且，，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前14项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，求出可得到；（2）由通项公式先判断数列中项的正负，然后再化简数列中的项，即可求出结果.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得，∴；（2）∵，∴由得，∴.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.18．数列满足，，（1）设，证明数列是等差数列（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明过程见详解；（2）.【分析】（1）先化简得到即，再求得，最后判断数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列的通项公式，再运用“裂项相消法”求数列的前项和即可.【详解】解：（1）因为，所以因为，所以，且所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）由（1）的，所以所以【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选①，求出数列是首项为4，公比为的等比数列，求出通项公式和前项和，通过讨论的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列是首项为4，公差为的等差数列，求出通项公式和前项和，求出其最大值即可；若选③，求出，当时，，故不存在最大值.【详解】解：选①因为，，所以是首项为4.公比为的等比数列，所.当为奇数时，，因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为.当为偶数时，，且综上，存在最大值，且最大值为4.选②因为，.所以是首项为4，公差为的等差数列，所以.由得，所以存在最大值.且最大值为（或），因为，所以的最大值为50.选③因为，所以，所以，，…，则，又，所以.当时，，故不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题20．已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求．【详解】（1）当时，，解得，当时，由可得，两式相减可得，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以（2）由（1），，则，两式相减得，所以．【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.21．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当时，，当时，，将代入上式验证显然适合，所以.（2）因为，，，，所以，所以.【点睛】本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，成等比数列，可得，若选①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通项公式；若选②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通项公式；若选③：由，可表示出，，结合，，成等比数列，即可解出和的值，即可求出的通项公式；（2）由（1）可得，分为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】是各项均为正数的等差数列，，，成等比数列.所以，即，整理可得，若选①：，则，即，由可得代入可得：，解得或（舍）所以，所以，若选②：，即，代入得：，即解得：或不符合题意；若选③：，则，，代入可得解得：或不符合题意；综上所述：，，（2），当为偶数时，，当为奇数时，，所以.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合，，成等比数列计算出和的值，由是各项均为正数的等差数列，所以，，第二问中正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分为奇数和偶数讨论.高中数学选择性必修二《第四章数列》单元测试卷（四）题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知等差数列的公差和首项都不为零，且，，成等比数列，则（）A．B．C．D．22．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（）A．B．C．D．3．两个等差数列和，其前项和分别为、，且，则（）A．B．C．D．4．已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最小值的是（）A．37和38B．38C．37D．36和375．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：，）A．4B．5C．6D．76．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（）A．440B．330C．220D．1107．等差数列，满足，则（）A．的最大值为50B．的最小值为50C．的最大值为51D．的最小值为518．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9．(多选)已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝012．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．三、填空题13．已知数列满足且，为数列的前项和，则__________.14．设数列的前项和为，若，且，则_______.15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．16．已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即．则数列的前项之和_______(用数字作答)．四、解答题17．在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．18．根据预测，疫情期间，某医院第天口罩供应量和消耗量分别为和（单位：个），其中，，第天末的口罩保有量是前天的累计供应量与消耗量的差．（1）求该医院第天末的口罩保有量；（2）已知该医院口罩仓库在第天末的口罩容纳量（单位：个）．设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？19．已知正项数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.20．已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.21．已知项数为的数列为递增数列，且满足，若，且，则称为的“伴随数列”.（1）数列是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由；（2）若为的“伴随数列"，证明:；（3）已知数列存在“伴随数列，且，求的最大值.22．设数列的前项和为，已知，且．（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且，证明；（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．答案解析一、单选题1．已知等差数列的公差和首项都不为零，且，，成等比数列，则（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】【分析】用表示，，，利用它们成等比数列可得，从而可得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，，，因为，，成等比数列，故，整理得到，因，故，故，故，选B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．2．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由条件可得，即可求出.【详解】因为，所以所以，即因为，所以故选：A【点睛】本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单.3．两个等差数列和，其前项和分别为、，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【分析】推导出，由此可求得结果.【详解】在等差数列和中，.故选：D.【点睛】本题考查等差数列前项和性质的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最小值的是（）A．37和38B．38C．37D．36和37【答案】D【分析】由等差数列的通项公式，结合条件求出首项和公差，写出前n项和的公式，再配方求最值，但注意n取正整数这一条件．【详解】设的公差为d，由题意得，即①即②由①②联立得故当或时，达到最小值．故选：D.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和最小值，解题关键是掌握等差数列前项和公式：，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：，）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；…第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，，即，即，解得：，又为整数，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力，属于中档题.6．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（）A．440B．330C．220D．110【答案】A【分析】把题设中的数列分成如下的组：，记前组的和为，算出后结合前项和为2的整数幂可得的最小值.【详解】把题设中的数列分成如下的组：，记前组的和为。则.令即，故.故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，且前项和，其中，.下证：当时，总有.记，则当时，有，故为单调增数列，而，故即.所以，由为2的整数幂，故，从而，当时，，与矛盾；当时，，此时，故选：A.【点睛】本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前项和的问题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数幂的形式，从而确定和的表达式，本题属于难题.7．等差数列，满足，则（）A．的最大值为50B．的最小值为50C．的最大值为51D．的最小值为51【答案】A【解析】【分析】首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.8．已知数列满足，且对任意的都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，两式相除得，也满足,,，又的取值范围是，故选D.【方法点睛】本题主要考查由递推关系求通项公式、等比数列的余弦公式与求和公式以及不等式恒成立问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下尽量把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的式子,这样就把问题转化为一端是含变量式子,另一端是参数的不等式，便于利用最值法解决问题.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的多项式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.二、多选题9．(多选)已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由等差数列满足，利用等差数列的性质得到，再逐项判断.【详解】设等差数列的公差为，易知，∵等差数列满足，且，，，故B，D正确，A错误.又，，,，故C错误.故选：BD.10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最大值为D．的最大值为【答案】AD【分析】利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系【详解】解：因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，由于，，则且，得，，由，得，，若，则，而，则，则，，此时不成立，所以，所以，所以A正确；由，，得，又因为，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，因为，所以，所以B不正确，因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，故选：AD【点睛】此题考查等差数列与等比数列的性质和前项和公式的应用，属于中档题11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an(n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再将扇形面积设为bn(n∈N*)，则（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021D．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0【答案】ABD【分析】对于A，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果【详解】由题意得bn＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题12．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】AB【分析】化简得到，根据共线得到，即，计算，依次判断每个选项得到答案.【详解】，故，共线，故，即，，故，故.，正确；数列是等比数列，正确；，错误；，故错误.故选：.【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.三、填空题13．已知数列满足且，为数列的前项和，则__________.【答案】2023【分析】根据递推公式求出数列前6项，观察可得数列是以3为周期的数列，则，代入相应值计算即可.【详解】根据题意，，，，，，，，可知数列是以3为周期的数列，所以.故答案为：2023【点睛】本题考查由数列的递推公式求数列的性质、数列的周期性的应用，属于基础题.14．设数列的前项和为，若，且，则_______.【答案】【分析】用，代入已知等式，得，变形可得，说明是等差数列，求其通项公式，可得的值.【详解】，，整理可得，则，即，所以，是以为公差的等差数列，又，，则.故答案为：.【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．【答案】【解析】试题分析：因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设①，又＋…＋②，①+②，得，所以．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．16．已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即．则数列的前项之和_______(用数字作答)．【答案】2007050【解析】【分析】在数列中，到项共有项，即为，因此判断出共含有的项数，进而即可得出．【详解】在数列中，到项共有项，即为．则．设等比数的公比为，由，，得，解得，因此故答案为2007050．【点睛】熟练掌握等差数列和等比数列的前n项和公式及由已知判断出共含有an的项数是解题的关键．四、解答题17．在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．【答案】选择条件①，数列不一定是等差数列，理由见解析；选择条件②，数列的通项公式为；选择条件③，．【分析】若选择条件①，可得，即，由于无法确定