高中数学《等差数列》同步练习与同步检测试卷及答案解析

选择性必修二《4.2等差数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，，公差，则等于（）A．13 B．14 C．15 D．162．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．03．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．304．已知公差为2的等差数列满足，则（）A．5 B．7 C．9 D．115．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．456．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．7．已知等差数列的前5项和为25，且，则（）A．10 B．11 C．12 D．138．有穷等差数列5，8，11，…，的项数是（）A． B． C． D．9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤10．已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（）A． B．C．和均为的最大值 D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．与的等差中项是____________.12．数列为等差数列，已知公差，，则_______.13．已知等差数列的前n项和为，若，则_______.14．已知等差数列中，，，则公差________，________.15.设等差数列的前项和为，若，，则______，______．16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求.19.在等差数列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.20．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值．21．记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求的最小值．22．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，，公差，则等于（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】,故选：C.2．在等差数列中，，，则（）A． B． C． D．0【答案】C【解析】是等差数列，，.故选：C.3．已知等差数列的前n项和为，且，则＝（）A．0 B．10 C．15 D．30【答案】C【解析】由等差数列性质可知：本题正确选项：4．已知公差为2的等差数列满足，则（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由题意知，因为，可得所以.故选：C5．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（）A．15 B．20 C．35 D．45【答案】C【解析】因为数列是等差数列，故可得.故选：.6．数列中，，，那么这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B7．已知等差数列的前5项和为25，且，则（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】因为，所以，则公差，故．故选：D8．有穷等差数列5，8，11，…，的项数是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差数列中，知，，设为数列中的第k项，则，解得，故选：D9.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（）A．184斤 B．176斤 C．65斤 D．60斤【答案】A【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，则由题意得，，解得，．故选：A10．已知为等差数列，为公差，为前n项和，，则下列说法错误的是（）A． B．C．和均为的最大值 D．【答案】C【解析】由，由，故选项B说法正确；因为，，所以，因此选项A说法正确；因为，所以等差数列是单调递增数列，因此没有最大值，故选项C说法错误；由，因为，所以，因此选项D说法正确.故选：C二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．与的等差中项是____________.【答案】【解析】由题得与的等差中项为.故答案为：12．数列为等差数列，已知公差，，则_______.【答案】20【解析】因为数列为等差数列，公差，所以，解得，故答案为：2013．已知等差数列的前n项和为，若，则_________.【答案】1【解析】由有，而∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式即可得故答案为：114．已知等差数列中，，，则公差________，________.【答案】29【解析】等差数列中，，，则公差，所以.故答案为：2；915.设等差数列的前项和为，若，，则______，______．【答案】【解析】由题得；故答案为：.16．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.【答案】【解析】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故故答案为：；17．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列，则______；______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【答案】8.【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：；五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：.所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列为：，数列是以首项为8，公差为15的等差数列.空1：；空2：.故答案为：8；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，，所以，，解得，.所以，，所以的通项公式为，.（2）由（1）知，，因为，所以，即，化简得，解得.19.在等差数列中，（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列的性质可得，解得，因此，；（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得.20．数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值．【答案】（1）；（2）78【解析】(1)由已知，得，.解得.又，∴.(2)∵，∴数列是递减数列．又∵，，∴当时，取得最大值，为.21．记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公差为，由题意得．由得．所以的通项公式为．（2）由（1)得．所以当时，取得最小值，最小值为．22．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，则.因为所以，解得，，所以数列的通项公式为.（2）由题意知，所以.《4.2等差数列》同步练习（提高练）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（）A．15B．16C．17D．182．已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（）A．4或5B．5或6C．4D．53.已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．24．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列满足且，设的n项和为，则使得取得最大值的序号n的值为（）A．5B．6C．5或6D．6或76．已知是公差为2的等差数列，为的前n项和，若，则（）A．10B．12C．15D．167．在等差数列中，，，则（）A．12B．22C．24D．348.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤9.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A．6B．7C．8D．1310．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知数列是公差的等差数列，的前项和为，，，则______________.12．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．13．已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．14．数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则______，______．15．已知数列的前项的和为，，则数列的通项公式为______；数列的前项和为______.16.已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．17．等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是_____.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在项数为的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，求n．19．等差数列中，且，求数列的前10项的和．20．数列是等差数列，，，，其中，求通项公式以及前项和.21．已知公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2+a5＝22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Sn的最大值．22．在数列中，，.（1）证明，数列是等差数列.（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则（）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】由得，将代入得，因为，所以，得.故选：B2．已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（）A．4或5B．5或6C．4D．5【答案】A【解析】设递减的等差数列的公差为（），因为，所以，化简得，所以，对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A3.已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0B．C．D．2【答案】A【解析】因为，，，故所以，故.故选：A.4．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵恒成立，∴，∴递增；反之，可取，则递增，但，所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A.5．已知数列满足且，设的n项和为，则使得取得最大值的序号n的值为（）A．5B．6C．5或6D．6或7【答案】C【解析】由已知得，，故是公差为得等差数列，又，所以，令，故或6时，取得最大值．故选:C6．已知是公差为2的等差数列，为的前n项和，若，则（）A．10B．12C．15D．16【答案】D【解析】由题意得：，且，∴，将代入得：，所以.故选：D.7．在等差数列中，，，则（）A．12B．22C．24D．34【答案】B【解析】设数列的公差为则故.故选：B8.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）A．174斤B．184斤C．191斤D．201斤【答案】B【解析】用表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴，解得．∴．选B．9.设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（）A．6B．7C．8D．13【答案】B【解析】根据，，可以确定，所以可以得到，所以则取最大值时的值为7，故选B.10．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以.故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知数列是公差的等差数列，的前项和为，，，则______________.【答案】【解析】已知数列是公差的等差数列，则，由等差数列的求和公式可得，所以，，则有，解得，，，因此，.故答案为：.12．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由，解得，.所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.故答案为：.13．已知等差数列的前n项和为，若1≤≤3，3≤≤6，则的取值范围是_______．【答案】【解析】在等差数列中，，∴，又，∴．由得．∴，即，∴．即的取值范围是．故答案为．14．数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则______，______．【答案】【解析】由题意，∴时，，两式相减得：，，又，满足，∴，．故答案为：；．15．已知数列的前项的和为，，则数列的通项公式为______；数列的前项和为______.【答案】【解析】由于数列的前项的和为.当时，；当时，.不适合，因此，.当时，，设数列的前项和为.当且，则，因此，数列的前项的和为.故答案为：；.16.已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，则的通项公式为_________；若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项的和为_________．【答案】【解析】∵数列是首项为，公差为的等差数列，∴，得到，当时，，当时，，又，∴，∴，当时，，当时，、、…、，当时，、、…、，当时，、、…、，当时，，故数列的前项的和为：．故答案为：，.17．等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.【答案】12【解析】空1：设等差数列的公差为，因为，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，设，，显然当时，，当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，，所以数列的最大项为，因为中有2个元素，所以不等式只有两个不同正整数根，而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案为：三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．在项数为的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，求n．【答案】【解析】在等差数列中，项数为.偶-奇，由题意可知，偶-奇，又，，解得：，故的值为5.19．等差数列中，且，求数列的前10项的和．【答案】或.【解析】设等差数列的公差为，因为且，所以，即，解得或，当时数列的前10项的和，当时数列的前10项的和.20．数列是等差数列，，，，其中，求通项公式以及前项和.【答案】当时，，；当时，，.【解析】，，，数列是等差数列，，即，解得或，当时，，数列的通项公式为，；当时，，数列的通项公式为，.综上所述，当时，，；当时，，.21．已知公差小于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3a4＝117，a2+a5＝22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Sn的最大值．【答案】（1）an＝-4n＋25；（2）66.【解析】（1）因为数列为等差数列，所以，所以，解得或，又数列的公差，所以，所以，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，所以，所以当时，最大，最大值为．22．在数列中，，.（1）证明，数列是等差数列.（2）设，是否存在正整数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.【解析】（1）因为，所以，因为，所以，故数列是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）得，则.因为，所以，所以，则，即数列是递减数列.故要使恒成立，只需，因为，所以，解得.故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.《4.2等差数列》同步检测试卷一、单选题1．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A．18B．27C．36D．452．在等差数列中，，，则的值是（）A．49B．50C．51D．523．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（）A．2.5斤B．2.75斤C．3斤D．3.5斤4．记为等差数列的前n项和．已知，则（）A．B．C．D．5．等差数列的前项和为，若，则（）A．51B．50C．49D．486．已知是等差数列的前项和，，，则（）A．5B．6C．7D．87．等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（）时，最大.A．B．C．D．8．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（）A．，B．，C．，D．，二、多选题9．设等差数列的前项和为．若，，则（）A．B．C．D．10．设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（）A．，B．，C．S5＞S6，D．S7或S8为Sn的最大值11．记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（）A．B．C．D．12．已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（）A．数列中的最大项为B．数列的公差C．D．三、填空题13．已知是等差数列，且，，则________14．设等差数列的前项和为，，则______.15．等差数列的前项和为，，，则______.16．设等差数列的前项和为，若，则_____；的最大值为_____．四、解答题17．在等差数列{an}中，a1>0，3a4=7a7，求Sn取得最大值时n的值.18．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．19.为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.20．已知数列的前项和为,满足,且.(1)令,证明:；(2)求的通项公式.21．已知等差数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.22．设等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.答案解析一、单选题1．在等差数列中，已知，则该数列前9项和（）A．18B．27C．36D．45【答案】D【解析】在等差数列中，，所以.故选：D2．在等差数列中，，，则的值是（）A．49B．50C．51D．52【答案】D【解析】在等差数列中，，，则公差，所以.故选：D.3．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（）A．2.5斤B．2.75斤C．3斤D．3.5斤【答案】D【解析】由题意可知，斤，斤，则公差斤，故斤.故选:D.4．记为等差数列的前n项和．已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．详解：由题知，，解得，∴，故选A．5．等差数列的前项和为，若，则（）A．51B．50C．49D．48【答案】C【解析】设等差数列的公差为，首项为，所以，解得：所以.故选：C6．已知是等差数列的前项和，，，则（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为，所以，故，，故选C.7．等差数列中，为它的前项和，若，，，则当（）时，最大.A．B．C．D．【答案】C【解析】等差数列中，前项和为，且，，即，，，所以，，则，因此，当时，最大.故选：C.8．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】，，，，.，.故选：D.二、多选题9．设等差数列的前项和为．若，，则（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设等差数列的公差为，则，解得，，.故选：AC.10．设数列是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S6=S9，则（）A．，B．，C．S5＞S6，D．S7或S8为Sn的最大值【答案】ABD【解析】根据题意可得，数列是等差数列，a1＞0，公差，所以数列是单调递减数列，对于A、B，，，显然成立，对于C，由，则，故C不正确；对于D，由，则，又数列为递减数列，则S7或S8为Sn的最大值，故D正确；故选：ABD11．记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，所以，故选：AC.12．已知是等差数列()的前项和，且，以下有四个命题，其中正确的有（）A．数列中的最大项为B．数列的公差C．D．【答案】BCD【解析】，故，且，故数列中的最大项为，错误；数列的公差，正确；，正确；，正确；故选：.三、填空题13．已知是等差数列，且，，则________【答案】【解析】依题意，解得.故答案为：14．设等差数列的前项和为，，则______.【答案】【解析】数列为等差数列，，.故答案