辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试试题数学

2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：本试卷由第I卷和第II卷两部分组成。第I卷和第II卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第I卷和第II卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上。一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2)，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝A.{2}B.{1，2}C.{0，1，2}D.(－2，－1，0，1，2)2.若复数z＝(m＋1)＋(2－m)i(m∈R)是纯虚数，则＝A.B.3C.5D.33.在△ABC中，能使sinA>成立的充分不必要条件是A.(0，)B.(，)C.(，)D.(，)4.边长为6的等边△ABC中，D是线段BC上的点，BD＝4，则＝A.48B.30C.24D.125.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a5＋a7＋a9＝A.21B.42C.63D.846.函数f(x)＝cosx·ln(－x)(－2≤x≤2)的图象大致为7.己知f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，都有f(x2－mx＋2)>，则m的取值范围是A.m>2B.0<m<2C.－4<m<4D.－2<m<28.已知曲线C：y＝，P为曲线C上任意一点，设曲线C在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A.[，π)B.[，)C.(，]D.(0，]二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.下列说法中正确的有A.存在a，使得不等式a＋≤2成立B.不等式a＋b≥2恒成立C.若a，b∈(0，＋∞)，则≥2D.若正实数x，y满足x＋2y＝1，则≥810.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则A.该函数的解析式为y＝2sin(x＋)B.该函数的单调递增区间是[3kπ－，3kπ＋]，k∈zC.该函数的对称中心为(kπ－，0)，k∈zD.把函数y＝2sin(x＋)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到该函数图象11.已知平面向量，，满足||＝||＝||＝1.若·＝，则(－)·(2－)的值可能为A.3－B.－2C.0D.－12.已知函数f(x)＝，若函数F(x)＝f(x)－ax有4个零点，则a的可能的值为A.B.C.D.第II卷(共90分)三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题纸上。)13.已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则|－2|＝。14.等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S3＝6，则数列的前50项的和为：。15.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0，1)时，f(x)＝2x－1，则f()的值等于。16.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了。造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟。会当凌绝顶，一览众山小。”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”。在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等。如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为。四、解答题：(满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置)17.(本小题满分10分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c。(1)求C：(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。18.(本小题满分12分)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8。(I)求{bn}与{an}的通项公式；(II)若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和。19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sinωx，ω>0。(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)＝的解集；(2)已物ω＝1，，x∈[0，]，求g(x)的值域。20.(本小题满分12分)己知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n＋1。(1)设bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝。(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0。22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2lnx－ax3－x2。(1)若函数y＝f(x)在定义域上单调递减，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：ln(x1x2)>4。20202021学年度上学期沈阳市郊联体期中考试题高三数学答案一、选择题：BABCDCDA二、多项选择题：ACDABDBCDCD三、填空题：13、14、15、0.7516、km四、解答题：17、（本题满分10分）解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，……………3分∵0＜c＜π∴C=；……………5分（2）因为△ABC的面积S＝＝＝，所以ab＝6，…………7分由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝7，所以a+b＝5…………9分△ABC的周长a+b+c＝．…………10分18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵，∴当n≥2且n∈N*时bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n．…………2分又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n．…………3分∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比数列{an}的公比为2，∴．…………6分（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50，∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9分＝＝＝650﹣62＝588．…………12分19、（本题满分12分）解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，…………1分所以f（x）＝sin．令sin，故或，…………3分整理得或．…………4分故解集为{x|或，k∈Z}．…………5分（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sinx．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．…………8分由于x∈[0，]，所以．，故，…………10分故．所以函数g（x）的值域为[﹣．…………12分20．（本小题满分12分）解：（1）证明：将两边同时除以2n+1得，，……3分即bn+1﹣bn＝3，又a1＝2，故数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列…………4分得bn＝3n﹣2，即．…………6分（2）Sn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①则2Sn＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7分①②相减得﹣Sn＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8分＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10分化简得．…………12分21．（本小题满分12分）解：（1）＝﹣．∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，…………2分∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．即2x﹣y﹣1＝0为所求．…………4分（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得＝﹣．…………5分令f′（x）＝0，可得，当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，…………7分注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0函数f（x）的图象如下：∵a≥1，∴，则≥﹣e，…………11分∴f（x）≥﹣e，∴当a≥1时，f（x）+e≥0．…………12分22、（本题满分12分）解：（1）由题意得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∵f′（x）＝2xlnx+x﹣ax2﹣3x＝x（2lnx﹣ax﹣2），∴2lnx﹣2﹣ax≤0在（0，+∞）恒成立，…………1分即a≥在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，…………2分∴当x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，当x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，故当x＝e2时，函数g（x）有极大值，也是最大值，…………3分故a≥g（e2）＝，故实数a的取值范围是[，+∞）；…………4分（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2lnx﹣ax﹣2），则，故2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，2ln＝a（x1﹣x2），…………6分故2ln（x1x2）＝（x1+x2）+4，…………7分∵x1≠x2，∴令x1＞x