2022年中考数学复习：动态几何探究（截长补短法）

2022年中考数学复习：动态几何探究（截长补短法）

1.如图，在R3ABC中，DACB=90°,DBAC=a,点D在边AC上（不与点A,C重

合）连接BD,点K为线段BD的中点，过点D作DEDAB于点E,连结CK,EK,

CE,将4ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90。）

（1）如图1,若a=45。，则AECK的形状为；

（2）在（1）的条件下，若将图1中的4ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共

线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK；

（3）若AADE绕点A旋转至图3位置时，使得D,E,B三点共线，点K仍为线段

BD的中点，请你直接写出BE,AE,CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表

示）.

2.如图1,在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP,过点C作

CF1CP交于C,交AB于点F,过点B作BMDCF于点N,交AC于点M.

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（1）若AP=；AC,BC=4,求SAACP;

o

（2）若CP-BM=2FN,求证：BC=MC；

（3）如图2,在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且

ABWBC,AC=AP,取CP中点E,连接EB,交AC于点O,猜想：DAOB与DABM

之间有何数量关系？请说明理由.

3.思维探索：

在正方形Z38中，AB=4,□£■“尸的两边分别交射线C8,DC于点E,F,口比1尸=

45°.

(1)如图1,当点E,尸分别在线段8C,CZ)上时，DCM的周长是；

(2)如图2,当点E,尸分别在C8,DC的延长线上，C/=2H寸，求CE厂的周长；

拓展提升：

如图3,在RtO48C中，E4C8=90。，CA=CB,过点8作8DZL8C,连接40,在8c

的延长线上取一点E,使：£D4=30。，连接/E,当80=2,Z)E4O=45。时，请直接写

出线段CE的长度.

4.在菱形A5Go中，射线从对角线所在的位置开始绕着点5逆时针旋转，旋

转角为&(()。＜。＜18()。)，点E在射线8M上，NDEB=NDAB.

(1)当ZZMB=60。时，旋转到图□的位置，线段BE,DE,AE之间的数量关系

是;

(2)在(I)的基础上，当旋转到图L的位置时，探究线段BE,DE,AE之间的

数量关系，并证明；

(3)将图口中的ZmB=60。改为NZM3=90。，如图口，其他条件不变，请直接写出线

段8E,DE,4E之间的数量关系.

图①图②图③

5.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，ABDC是顶角为120。的等腰三角形，以点

。为顶点作NMDN=60。，点M、N分别在AB、AC上.

(1)如图口，当的V〃8c时，则AAA/N的周长为；

(2)如图口，求证：BM+NC=MN.

图①图②

6.已知等腰LABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DELJBC,交直线AC与点

E,且BD=BC,CHOAB,垂足为H.

图1图2图3

(1)当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；

(2)当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图

3,直接写出BH,之间的数量关系，不需要证明.

7.如图，在正方形A88中，点E途射线8c上，连接4E,作瓦'_LAE,且E尸交正

方形外角的平分线CF于点F.

(1)若点E在边5c的中点处时，AEEF(填或“=")

(2)若点E为边BC上的任意一点(不含点8,C),探究此时AE与E尸的数量关系,

并说明理由.

(3)若点E是边BC延长线上的一点，探究此时AE与EF的数量关系，并说明理由.

8.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD,以D为顶点作

NMDV,交边AC,BC于点M,N.

(1)如图(1),若ZAC£>=30。，NA«W=60。，当绕点D旋转时，AM,

MN,BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

(2)如图(2),当NA8+NNDV=90。时，AM,MN,BN三条线段之间有何数量关

系？证明你的结论；

(3)如图(3),在(2)的条件下，若将M,N分别改在CA,BC的延长线上，完成

图(3),其余条件不变，则AM,MN,BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必

证明).

9.如图1,在AA8C中，ZACB是直角，ZB=60°,AD,CE分别是N8AC、NBC4的

平分线，AD.CE相交于点F.

B

（1）求出NAFC的度数；

（2）判断FE与F£＞之间的数量关系并说明理由.（提示：在AC上截取CG=CD,连

接FG.）

（3）如图2,在口人45。中，如果Z4cB不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判

断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.

10.数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1,在等腰加'AAb。中，XBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求证

^ABE=ZACD-,

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作AF_LBE于点G交8c于点F,过尸作交BE于点尸，交CD于点H,

试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由.

小白通过研究发现，NA尸8与N”FC■有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过

进一步推理，可以得出结论.

阅读上面材料，请回答下面问题：

(1)求证448E=

（2）猜想WB与N”尸C的数量关系，并证明;

（3）探究线段8P,FP,AF之间的数量关系，并证明.

11.如图1,在AABC中，AB^AC,AC•平分N5C£),连接8£),ZABD=2NCBD,

NBDC=ZABD+AACD.

(1)求44的度数:

(2)如图2,连接AZ),A£_LAD交BC于E,连接DE,求证：NDEC=NBAE；

(3)如图3,在(2)的条件下，点G为CE的中点，连接AG交8。于点F,若

W=32,求线段越的长.

12.(1)问题背景：如图1,在四边形Z8C。中，AB=AD,□比10=120。，B=

□JDC=90°.E,尸分别是8C,CD上的点，且HE/尸=60。，请探究图中线段8E,

EF,FZ)之间的数量关系是什么？

图1图2

小明探究此问题的方法是：延长在。到点G,使DG=BE,连结ZG.先证明

^ABEDDADG,得4E=4G；再由条件可得口£4/=口6/凡证明△/EFDCMGF,进而

可得线段BE,EF,皿之间的数量关系是.

(2)拓展应用：

如图2,在四边形/8C。中，AB=AD,8+0=180。.E,尸分别是8C,8上的

点，且口£>!尸=!口比ID问(1)中的线段BE,EF,尸。之间的数量关系是否还成

立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

13.在1ABC中，nACB=2DB,(1)如图口，当(3C=90。，AD为DABC的角平分线

时，在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.请证明AB=AC+CD；

（2）口如图口，当口（2刈0。，AD为DBAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎

样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；

□如图口，当ICMO。，AD为3ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的

数量关系？请写出你的猜想并证明.

图①图②图③

14.如图1,在RtiUABC中，□ABC=90°,BA=BC,直线MN是过点A的直线CDE3MN于

点D,连接BD.

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经

过观察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BE71BD,交MN于点E,进而得

出：DC+AD=BD.

（2）探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关

系，并证明

（3）拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当DABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接

写BD的长.

15.如图，四边形"BCD是正方形，点E是边8c的中点，JAEF=90°,且EF交正方

形外角平分线cr于点立

图1图2图3

(1)求证：AE=EF；

(2)如图2,若把条件“点E是边8C的中点”改为“点E是边上的任意一点“，其余

条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？—；(填“成立”或“不成立”)；

(3)如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边8c延长线上的一点”，其

余条件仍不变，那么结论ZE=EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由.

16.在148C中，AB=AC,点。与点E分别在/8、/C边上，DE//BC,且DE=DB,

点F与点G分别在8C、4C边上，3FDG=^-UBDE.

(1)如图1,若nBDE=120。,UBC,点G与点C重合，BF=\,直接写出

BC=；

(2)如图2,当G在线段EC上时，探究线段8GEG、尸G的数量关系，并给予证

明；

(3)如图3,当G在线段NE上时，直接写出线段5/、EG、FG的数量关系：

17.已知等边三角形ABC,D为^ABC外一点，NBDC=120。，BD=DC,

NMDN=60。，射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N.

(1)当点M、N在边AB、AC±,且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的

数量关系；

(2)当点M、N在边AB、AC上，且DMHDN时，猜想口中的结论还成立吗？若成

立，请证明；

(3)当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN

之间的数量关系.

18.如图1,在四边形A88中，AB1AD,BC1CD,AB=BC,ZABC=2NEBF,

它的两边分别交AD、DC点E,F.且AEwCF.

(1)求证：EF=AE+CF.

(2)