2022年中考数学重难点精讲精练47 三角形中的旋转综合问题(教师版)

精讲精练47三角形中的旋转综合问题

1、如图，点尸是NMON内的一点，过点尸作尸于点4,PBLON于点B,且0A=08.

(1)求证：PA=PB；

(2)如图②，点C是射线AM上一点，点£＞是线段08上一点，且NCP£)+/MON=180。，若OC=8,

OD=5.求线段OA的长.

(3)如图③，若/MON=60。，将PB绕点P以每秒2。的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点尸以

每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270。后停止，此时PB也随之停止旋转.旋转过程中，PA所在直线

与所在直线的交点记为G,PB所在直线与ON所在直线的交点记为，.问PB旋转几秒时，尸G=PH?

(1)证明：如图①中，连接。P.

图①

u

：PA±OMfPB1ON,

：,ZOAP=ZOBP=90Q,

•：OA=OB,OP=OP,

：.RtA。尸A@RtAOPB(HL),

:,PA=PB.

(2)如图②中，

ZPAO=ZPBO=9009

：.ZAOB+ZAPB=\80°f

・・・NCPD+NAO8=180。，

：.ZCPD=ZAPB9

：.NAPC=/BPD,

,:PA=PB,ZPAC=ZPBD=90°,

•••△PA0△尸BD(ASA),

：.AC=BD,

：.OC^-OD=OA+ACWB-80=20A=13,

AOA=6.5.

(3)设点尸的旋转时间为r秒.

①当0</<12时，不存在.

②当12<r<21时，如图3-1中,NAPG=(10/-120)°,ZBPH=2f,

图3-1

当/时，△PAG丝△P8”,可得PG=PH,

此时10f-120=26

r=15.

③当210V3O时，如图3-2中，NAPG=180。-N4PA=180。-(10r-120)°=(300-10r)°,ZBPH

=2f,

图3-2

当NAPG=NBPH时，可得尸G=PH,

此时300-10f=2f,

t=25.

④当30勺<39时，如图3-3中，NAPG=(10/-300)°,ZBPH=2t,

当NAPG=N8PH时，△PAG当APBH,可得PG=P”,

此时10r-300=26

f=37.5,

综上所述，满足条件的,的值为15s或25s或37.5s.

2、（1）问题发现：

如图1,在△OAB和△OCQ中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOQ=50。，连接AC,BD交于点、M.

填空：①黑的值为_______:

BD

②NAM8的度数为.

（2）类比探究：如图2,在AOAB和AOC。中，/AOB=NCOO=90。，8=200,AB=20B,连接

AC交8。的延长线于点M.请求出黑•的值及NAMB的度数，并说明理由；

BD

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△。8绕点0在平面内旋转，AC、B。所在直线交于点M,若

00=1,0B=H请直接写出当点C与点M重合时4c的长.

解：（1）问题发现

①如图I,：NAO8=NCOO=50。，

：.ZCOA=ZDOB,

"：OC=OD,OA=OB,

：./\COA^/\DOB（SAS）,

：.AC^BD,

..■-A--C--_1.,

BD

②•.,△COA丝△008,

：.ZCAO=ZDBO,

•・・ZAOB=50°f

・・・NOA8+/A8O=130°,

在AAMB中，ZAMB=ISO0-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(NQBO+NOAB+NAftD)=180°-

130°=50°,

故答案为：①1;②50。；

(2)类比探究

如图2,黑=«，乙4M8=90。，理由是：

BD

RSCOO中，ZDOC=90°,CD=2DO,

AZDCO=30°,

同理得：堡■=tan30°=返,

0A3

.0D0B

••"二一,

0C0A

•・•ZAOB=ZCOD=90%

:.ZAOC=ZBODf

J/\AOCs4BOD,

.,.^-^-=5/3,NCAO=NDBO,

BD0D。S

在AAMB中，/AMB=180°-(NM48+NABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°；

(3)拓展延伸

①点。与点M重合时，如图1,同（2）得：△4OCS/X8。。,

D

AB

图1

Af

：.ZAMB=90a,舒心

设BD=x,则AC=

RSCO。中，NOCD=30。,。£>=1,

：.CD=2,BC=x-2,

RtAAOB中，NO4B=30°,OB=中,

：.AB=2OB=2y[j,

在RSAM8中，由勾股定理得：AC+BC^^AB2,

(V3X)2+(X-2)2=(2V7)2>

整理得：x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

.".xi=3,X2=-2,

:.AC=30

KT

②点c与点M重合时，如图2,同理得：ZAMB=90°,黑■=75

BD

设BD=x,则

222

在RSAM8中，由勾股定理得：AC+8C=ABf

(对X)2+(x+2)2=(2小)2,

整理得x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

.'•xi=-3,%2=2,

."。=2百

综上所述，4c的长为3«或2相.

3^已知在平面直角坐标系中，A(a,0),B(b,0)、C(0,c),其中a、b、c满足y@-5+|b+2|+(c-4)2

=0.

(1)求△ABC的面积；

(2)将线段8c向右平移至AQ(点2对应点A,点C对应点£>).

①当点用为x轴上任意点(不与原点重合)，ME、CF分别平分NCM。与NQCM,若NAME=a,ZDCF

=B，试用含a的代数式表示氏

②点P为线段C。上一点(不与点C、力重合)，P的横坐标为f,连接BP、AC,BP交y轴于点E,交

AC于点Q,若ACQE与APOA的面积分别为S,52,试用含f的代数式表示8-Si.

解：(1)如图1中,

图1

1•'Va-5+|b+2|+(c-4)2=。,

又至°，|H2|K),(C-4)2>0,

，a=5,b=-2,c=4,

AA(5,0),B(-2,0),C(0,4),

・・・OA=5,08=2,OC=4,

，48=O8+OA=2+5=7,

♦••SAABC=L・A8・OC=^X7X4=14.

22

(2)①如图2-1中，当点E在射线08上时，a+p=9(X

图2-1

理由：・.・8〃AM,

・•・/DCM+NAMC=180°,

■:NDCF=^NDCM=B，ZAME=-^ZAMC=a,

Aa+p=90°.

当点M在线段A3上时，如图2-2中，a+B=180。.

图2・2

理由：VCD/7AM,

・・・NOCM+/AMC=180。，ZDCM=/CMB,

•:NDCM=2NDCF=2p,ZFCM=^ZDCM,NEMC=

/CMB,

：.ZFCM=ZEMC=^f

：.ZAMC=180°-2P，

•・•ZAME=ZAMC+ZEMC,

Aa=p+180o-2p,

.,.a+p=180°.

当点M在线段OA的延长线上时，如图2-3中，a=0.

图2-3

理由：：'：CD//AM,

：.NDCM=NCMB,

'：ZDCF=-ZDCM,^AME=—ZCMB,

22

：.ZDCF=ZAME,

.".a=P，

②如图3中，设E（0,加）.

由题意：P(/,4),A(5,0),B(-2,0),C(0,4),

SABCP=SABCE+SAECP,

.\4-xrx4=-1-x(4-m)x2+」x(4-m)xr,

222

8

t+2,

•'•Si-S\—SAPCA-SApc6=《xfx4--^-x/x(4---)=4].

22t+2t+2

4、如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点A(0,4),B(-4,0),C(4,0).

(I)如图①，若NBAD=15。，AD=3,求点。的坐标：

(II)如图②，AD=2,将^ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE,点B,D的对应点分别为C,E.连

接OE,80的延长线与CE相交于点尸.

①求DE的长；

②证明：BFLCE.

(III)如图③，将(H)中的△ACE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点。，E的对应点分别为

Di,EI,点、N,P分别为GEi,01c的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围.

：.ZOAB=ZABO=45°.

：.ZDAO=ZOAB-ZDAB=30°.

如图①中，过点。作。GLOA,垂足为G.

图①

在RtAAOG中，ND4G=30°,

•,DG^-AD^->AG=V3DG=^V3,

•••0G=A0-AG=4^V3-

.•.点。的坐标为(得，4-|、①).

(II)①如图②中,

；/£)AE=NBAC=90°,AD=AE^2,

...在RtADAE中，DE=VAD2+AE2=V22+22=2V2,

②：0A=OB=OC=4,/AOB=NAOC=90。，

/.^OAB=ZABO=乙4co=ZOAC=45°,

...NBAC=90。，

,?AABD旋转得到4ACE,

：.AABD^/\ACE(SAS),

：.NABD=NACE,

在4BFC中，则有NFBC+NFCB=ZFBC+ZBCA+ZACE^ZFBC+ZBCA+ZABD^ZABC+ZBCA^

90°,

：.BF±CE.

(Ill)如图③中,

图③

VOB=OC,PC^PD\,NE\=ND\,

：.OP=—BDi,P/V=—£iC,OP//BD\,PN//CE\

22

'：BD\LExC,BD\=EiC,

：.OPLPN,OP=PN,

.♦.△OPN是等腰直角三角形，

圾，Ad=2,

；.4我-2<BD]<4y/2+2,

；.2料-1WOPW2扬1,

1r-qlql

0N面积的最小值=2（2，^-I）2=--△OPN的面积的最大值=5+2J],

y-2V2<s<y+2版

5、问题发现：如图(1)在RSABC和RIABOE中，NA=/DEB=3。。,BC=BE=6,RtABDE绕点B

逆时针旋转，，为C。的中点，当点C与点E重合时，8〃与AE的位置关系为,与AE的数

量关系为；

问题证明：在RSBOE绕点2旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情

形给出证明若不成立，请说明理由；

拓展应用：在RJBCE绕点B旋转的过程中，当DE〃BC时，请直接写出B42的长.

图1图2

解：问题发现：如图1中，结论：AE=2yf2BH,AE1BH.

图1

理由：在RSABC中，VBC=6,ZA=30°,

：.AE=2BC=12,

在RtACDB中,"：ZDCB=30°,

,:CH=DH,

:.BH=*D=2«,

•AE12.r-

•,丽_砺

:.AE=2y[^fiH.

故答案为AE_L8H,AE=2«8H.

问题证明：如图2中，（1）中结论成立.

理由：延长BH到F使得HF=BH,连接CF.设AE交B厂于0.

,:CH=DH,BH=HF,NCHF=NBHD,

：./\CHF^/\DHB(SAS),

：.BD=CF,NF=NDBH,

J.CF//BD,

,:AB=y^C,BE=yf^BD,

:.BE=6CF,

.AB_BE_r-

••前―丽―V3

VCF//BD,

AZBCF+ZCB£>=180°,

■:ZABC+ZDBE=ZABD+ZCBD+ZCBD+ZCBE=ZCBD+ZABE=180°,

:"BCF=NABE,

：.AABEsABCF,

:.ZCBF=ZBAE瞿=罂=仃

9BFBCvo

:,AE=RF=2斐加H,

・・・/。5尸+/45/=90。，

ZABF+ZB4E=90°,

・・.NAO"90。，

：.BHLAE.

拓展应用：如图3-1中，当DE在3c的下方时，延长AB交QE于P.

图3-1

'：DE//BC

：.NABC=N8FO=90°,

由题意BC=BE=6,AB=6«,BD=2«,DE=4«,

22

,6X2炳

；.BF=—,广=3

4>/3

:.EF=0F=3氏,

AAF=6-73+3,

：.AE2=AF2+E^(6“+3)2+(3加)2=i44+36«.

'：AE=2y]2BH,

：.AE^^\2BH2,

8/72=12+3遥

如图3-2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=6“-3,4=3T,

图3-2

际=幽2-=(我⑶2+(3/^)2=]2-3a.

1212

6、已知△ABC是等边三角形，£)是BC上一点，△ABD绕点4逆时针旋转到AACE的位置.

(1)如图，旋转中心是，ZDAE=°；

(2)如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点例转动了度；

(3)如果点。为BC边上的三等分点，且△ABQ的面积为3,那么四边形ACCE的面积为

解：(1)•••△A8C为等边三角形，

NBAC=60。

•；AABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置,

,旋转中心是点A,/D4E=N84C=60。；

(2)和AC为对应边,

...经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图,

：.ZMAM'=60°,

点M转动了60°；

(3)V绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，

：./\ABD^AACE,

19

'：BD=—BC,或

33

：.CD=2BD,或8=京)，

339

===

SAARC3SAABD3X3=9,或SAABC=TT,

.、9

***S四边形ADCE=SaA8C=9或5.

q

故答案为点A,60；60；9或5.

7、如图1,在RlZkABC中，NA=90。，AB=ACf点。，E分别在边A8,4c上，AD=AEf连接OC,点

M,P,N分别为DE,DC,8c的中点.

(1)观察猜想:

图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是；

(2)探究证明：

把AAOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断的形状，并说

明理由；

(3)拓展延伸：

把AADE绕点A在平面内自由旋转，若4。=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.

解：（1）二•点P,N是BC,的中点,

：.PN//BD,PN=—BD,

2

•.•点P,M是CD,OE的中点，

：.PM//CE,PM^—CE,

2

\'AB^AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

'JPN//BD,

：.4DPN=ZADC,

'：PM//CE,

:.NDPM=NDCA,

VABAC=90°,

ZADC+ZACD=90°,

，NMPN=ZDPM+/DPN=ZDCA+ZADC=90°f

，PMUN,

故答案为：PM=PN,PMA.PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形.

由旋转知，ZBAD=ZCAE,

9

：AB=AC,AD=AEt

：./\ABD^/\ACE(SAS),

/.ZABD=ZACEfBD=CE,

利用三角形的中位线得，PN=£BD,PM=^CE,

：.PM=PN,

•••△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM//CE,

，NDPM=NDCE,

同(1)的方法得，PN//BD,

：.ZPNC=ZDBCf

■:ZDPN=/DCBMPNC=NDCB+NDBC,

：.NMPN=4DPM+/DPN=NDCE+/DCB+/DBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=NACB+NABD+ZDBC=ZACB+NABC,

\'ZBAC=90°,

：./AC8+N4BC=90。，

NMPN=90°,

...△PMN是等腰直角三角形；

(3)方法1：如图2,同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形,

.♦.MN最大时，△PMN的面积最大，

8c且OE在顶点A上面，

:.MN最大=AM+AN,

连接AM,AN,

在AAOE中，AO=AE=4,NDAE=90。,

.'.AM=2yf2,

在RtAABC中，AB=AC=10,AN=5退，

•*MN最大=2扬5加=7b，

111149

•*«SAPM2=—x—x2=-^-.

方法2：由(2)知，△PMN是等腰宜角三角形，PM=PN=£BD,

.•)仞最大时，面积最大，

...点。在BA的延长线上,

：.BD=AB+AD=14,

:.PM=1,

8、如图，两个等腰直角△ABC和△CAE中，ZACB=ZDCE=90°.

(I)观察猜想如图1,点E在BC上，线段AE与8。的数量关系是，位置关系是

(2)探究证明把△CZJE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由;

(3)拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若4c=8C=13,£>E=10,当A、E、。三点在直

线上时，请直接写出AO的长.

解：(1)如图1中，延长AE交80于H.

■:AC=CB,NACE=NBCD,CE=CD,

:./XACEWABCD,

；・AE=BD,/EAC=NCBD,

•/ZE4C+ZA£C=90°,ZAEC=NBEH,

；.NBEH+NEBH=90。,

；.NEHB=90。,BPAE±BDf

故答案为AELBD.

(2)结论：AE=BD,AE±BD.

理由：如图2中，延长AE交8及于“，交8C于。.

B

*/ZACB=ZECD=90Q,

:./ACE=NBCD,

■:AC=CB,NACE=NBCD,CE=CD,

:・/\ACE咨4BCD,

：.AE=BD,ZEAC=ZCBDf

YNE4C+NAOC=90。，ZAOC=/BOH,

.\ZBOH+ZOBH=90°f

：.ZOHB=900,E|JAEA.BD.

（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH±AD用H.

图3

"：CE=CD,ZECO=90°,CHIDE,

：.EH=DH,CH=—DE=5,

2

在RSAC“中，VAC=13,C4=5,

•""='132-52=12,

AD=AH+DH=12+5=17.

②当射线4。在直线AC的下方时时，作用机

同法可得：A4=12,故4O=A"-O”=12-5=7,

综上所述，满足条件的AD的值为17或7.

9、如图1,在R3ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,点D、E分别是边A8、AC的中点，连接。E,将

△ACE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为a,BD、CE所在直线相交所成的锐角为仇

(1)问题发现

CP

当a=o。时，皆=_______；B=_______°.

BD

(2)拓展探究

试判断：当0。4<360。时，票和。的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

(3)在AAOE旋转过程中，当£>E〃AC时，直接写出此时△CBE的面积.

解：(1)如图1中,

VZB=90°,BA=BC,

/.ZA=45°,4。=扬8,

•.•点。、E分别是边A8、4c的中点,

：.BD^—AB,EC^—AC,

22

谭=加，f,

故答案为加，45°.

（2）结论：系和。的大小无变化.

DD

理由：如图2中，延长CE交AB于点0,交于K.

AE=yp2^D,AC=yp2^B,

:・退=也=瓜

ADABnz

.AE_AD

••而一而‘

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAB^ZEAC,

:ADABsAEAC,

BDAB=JNOBK=NOCA,

■:NBOK=NCOA,

NBKO=NCAO=45。，

二空和B的大小无变化.

（3）当点E在线段A8上时，SABCE=/X4X-2亚=8-472-

当点E在线段84的延长线上时，SA8CE=/）（4+2&）=8+4我.

综上所述，△BCE的面积为8-4我或8+4&.

10、如图乙，△ABC和AAOE是有公共顶点的等腰直角三角形，/24C=/D4E=90。，点尸为射线8D,

CE的交点.

（1）如图甲，将AADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接B。、BE,则下列给出的四

个结论中，其中正确的是哪几个.（回答直接写序号）

①BD=CE；②B£>J_CE；③NACE+NOBC=45°；④BU=2（.AD2+AB2）

（2）若A8=6,AD=3,把A/IDE绕点A旋转：

①当/。£=90。时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值.

（1）解：如图甲:

①：/8AC=ND4E=90°,

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即/8A/)=NCAE.

在△48。和△ACE中,

，AD=AE

<ZBAD=ZCAE-

AB=AC

g△ACE(SAS),

：.BD=CE,.•.①正确.

②；/\ABD^AACE,

：.NABD=NACE.

VZCAB=90°,

ZABD+ZAFB=90°,

：.ZACE+ZAFB=90°.

VZDFC=/AFB,

ZACE+ZDFC^90°,

：.ZFDC=90°.

：.BD±CE,.•.②正确.

@'：ZBAC=W°,AB=AC,

：./ABC=45。，

ZABD+ZDBC=45°.

：.ZACE+ZDBC^45°,.•.③正确.

®'：BD±CE,

.,HBCP+DE1,

,：ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,

:.DR=2A»,

BO=BD2+CDHBD。,

：.2A#=BD2+CD2/BD2,

：.BE?n(AD2+AB2)，上④错误.

故答案为①②③.

(2)①解：。、如图乙-1中，当点E在A8上时，BE=AB-AE=3.

图乙*1

VZEAC=90°,

C£=VAE2+AC2=V32+62=3V5>

同（1）可证△ACB四/XAEC.

：.ZDBA^ZECA.

■:NPEB=NAEC,

:.△PEBs/\AEC.

.PBBE

"AC-CE'

.PB3

酝

.•.尸8=殳氏

5

b、如图乙-2中，当点E在8A延长线上时，BE=9.

,：ZEAC=90°,

CE=y]AE2+AC2=Y32+62=3旄'

同（1）可证△AO8-△4EC.

:.NDBA=NECA.

:‘NBEP=NCEA,

MPEBs4AEC,

.PBBE

AC-CE，

.PB_9

・b乖’

；.PB=12辰.

5

综上，P8=目5或阴金.

55

②解：a、如图乙-3中，以A为圆心4。为半径画圆，当CE在。4匕方与。A相切时，P8的值最大.

理由：此时NBCE最大，因此P8最大，（APBC是直角三角形，斜边8c为定值，N8CE最大，因此

P8最大）

"."AE1.EC,

£C=22=22=

VAC-AEV6-33«,

由（1）可知，

AZADB=ZAEC=90°,8。=废=3仃

NADP=NDAE=N4E尸=90°,

四边形AE&）是矩形，

：.PD=AE=2,

：.PB=BD+PD=3匾+3.

综上所述，P8长的最大值是3后3.

b、如图乙-4中，以A为圆心49为半径画圆，当CE在OA下方与OA相切时，P8的值最小.

图Zr4

理由：此时N8CE最小，因此P8最小，（APBC是直角三角形，斜边8c为定值，NBCE最小,因此

尸2最小）

'：AE±EC,

£C=VAC2-AE2=762-32=3«,

由（1）可知，△ABO丝△ACE,

:.NA/）B=NAEC=90°,8O=CE=3仃

ZADP^NDAE=NAEP=90°,

.••四边形AEPO是矩形，

.,.PQ=AE=4,

：.PB=BD-PD=3y/3-3.

综上所述，PB长的最小值是3y-3.

11、如图1,在等腰直角△ABC中，ZA=90°,AB=AC=3,在边4B上取一点。（点。不与点4,B重合），

在边4c上取一点E,使AE=A。，连接OE.把△ADE绕点4逆时针方向旋转a（0。<（1<360。），如图

2.

（1）请你在图2中，连接CE和8£>,判断线段CE和80的数量关系，并说明理由；

（2）请你在图3中，画出当a=45。时的图形，连接CE和BE,求出此时ACBE的面积；

（3）若AD=1,点M是CC的中点，在△AOE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值

是

解：(1)如图1中，连接EC,BD.结论：BD=CE.

图2

理由：•；/8AC=Na4E=90。,

:"BAD=/CAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：./\ADB^/\AEC(SAS).

：.BD=CE.

(2)如图2中,

图2

由题意：ZCAE=45°,

'：AC=AB,NCA8=90°,

ZACB=ZABC=45°,

：.AE//BC.

ACB£的面积与4ABC的面积相等.

「△ABC的面积为4.5,

...△C8E的面积4.5.

(3)如图3中，延长AM到N,使得MN=AW,连接CN,DM.

图3