2023中考数学一元二次方程的应用常考四类型

专题07一元二次方程的应用常考四类型

类型一增长率问题

1.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，

市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产

量达到24200个.

(1)求口罩日产量的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

【答案】(1)10%；(2)26620个

【解析】

【分析】

(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解.

(2)利用4月份平均日产量=3月份平均日产量、(1+增长率)即可得出答案.

【详解】

解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,依据题意可得：

20000(1+x)2=24200,

解得：Xl=0.1=10%,X2=-2.1(不合题意舍去),

0x=10%,

答：口罩日产量的月平均增长率为10%;

(2)依据题意可得：

24200(1+10%)=24200x1.1=26620(个)，

答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个.

【点睛】

本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量x(1+年平均增长率)年数=增长后

的量.

2.“杂交水稻之父"一一袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量

700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.

(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

(2)按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通

过计算说明他们的目标能否实现.

【答案】(1)20%;(2)能

【解析】

【分析】

(1)设亩产量的平均增长率为x,依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；

(2)根据(1)求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可.

【详解】

解：(1)设亩产量的平均增长率为x,根据题意得：

700(1+x)2=1008,

解得：玉=0.2=20%,X2=-2.2(舍去)，

答：亩产量的平均增长率为20%.

(2)第四阶段的亩产量为1008x(1+20%)=1209.6(公斤)，

01209.6>1200,

回他们的目标可以实现.

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键.

3.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展"弘扬红色文化，重走长征路"主

题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地.据了解，今年

3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.

(I)求这两个月参观人数的月平均增长率；

(2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

【答案】(1)10%；(2)13.31万

【解析】

【分析】

(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x,根据题意列出等式解出x即可；

(2)直接利用(1)中求出的月平均增长率计算即可.

【详解】

(1)解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x,

由题意得：10(l+x>=12.1,

解得：x,=10%,%2=-21a(不合题意，舍去)，

答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%.

(2)12.1x(l+10%)=13.31(万人)，

答：六月份的参观人数为13.31万人.

【点睛】

本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，

再利用增长率来预测.

类型二薄利多销问题

4.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直

播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每

降低5元，日销售量增加10件.

(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促

进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该

商品至少需打几折销售？

【答案】(1)50元；(2)八折

【解析】

【分析】

(1)设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；

(2)设该商品至少打相折，根据销售价格不超过(1)中的售价列出一元一次不等式，解

不等式即可.

【详解】

解：(1)设每件的售价定为x元，

贝IJ有:10+20)x(%-40)=(60-40)x20,

解得：％=50，工2=60(舍)，

答：每件售价为50元；

(2)设该商品至少打机折，

根据题意得：62.5m450,

解得:zn<0.8,

答：至少打八折销售价格不超过50元.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程

是解决问题的关键.

5.在刚刚过去的"五一"假期中，某超市为迎接"五一"小长假购物高潮，经销甲、乙两种品

牌的洗衣液.市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超

市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同.

(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；

⑵在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶"旦

调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗

衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液

的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？

【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元.

(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到

4700元.

【解析】

【分析】

(I)设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为(x+10)元，然后根

据题意可列方程进行求解；

(2)设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达

到4700元，然后根据题意可列方程进行求解.

(1)

解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为(x+10)元，由题意得：

60008000

x-x+10，

解得：x=3O,

经检验：x=30是原方程的解，

团乙种品牌的进价为：30+10=40(元),

答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元.

(2)

解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达

到4700元，由题意得：

(45-30)x100+(m-40)[140-2(加-50)]=4700

整理得:w2-160^+6400=0,

解得：〃?=80,

答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到

4700元.

【点睛】

本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系.

6.2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，

冬奥会吉祥物为"冰墩墩”.

(1)据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩"，为增大生产量，该工厂

平均每月生产量增加20%,则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩"？

(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10

元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利1600元，每个应降价多少

元？

【答案】(1)720个

(2)每天要盈利1600元，每个应降价4元

【解析】

【分析】

(1)先根据增长率求出3月份生产量，再求4月份的生产量即可；

(2)关系式为：每件服装的盈利x(原来的销售量+增加的销售量)=1600,列出一元二次

方程，求解并进行判断即可.

(1)

3月份的产量为：500x(1+20%)=600(个)

4月份的产量为：600x(1+20%)=720(个)

⑵

设每个“冰墩墩"降价X元(x<10),则每天可多售5x件.根据题意得，

(44-x)(20+5x)=1600

整理得，X2-40X+144=0

解得，%=4,々=36

13x410

0x=4

所以，如果每天要盈利1600元，每个应降价4元

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利

得到相应的等量关系是解决本题的关键.

7.某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一

份B套餐的售价比一份4套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样.

(1)求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；

(2)商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提

高0」元，则每天将少售出A套餐5份：如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售

出8套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当«

为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元.

【答案】(1)一份A套餐的售价为15元，则一份8套餐的售价为18元

(2)当a=3时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元

【解析】

【分析】

(1)设一份A套餐的售价为x元，则一份8套餐的售价为(x+3)元，根据6份A套餐价格

=5份8套餐价格列出方程解方程即可；

(2)两种套餐都提高a元后，根据销售A套餐获得的利润+销售B套餐获得的利润=2055

元列出方程，解方程即可.

⑴

解：设一份A套餐的售价为x元，则一份8套餐的售价为（x+3）元，根据题意得：

6x=5（x+3）,

解得：x=15,x+3=15+3=18（元），

答：一份A套餐的售价为15元，则一份B套餐的售价为18元.

（2）

两种套餐都提高〃元后，销售一份A套餐获得的利润为（15-10+a）元，即（5+a）元，

销售一份8套餐获得的利润为（18-12+a）元，即（6+“）元，

可以销售A套餐的份数为：000-言）份，即（300-500份，

可以销售8套餐的份数为：（200-4）份，即（200-354）份，

根据题意得：（5+。）（300-50。）+（6+。）（200-35。）=2055,

43

解得：4=3,为=-行（舍去），

答：当。=3时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元.

【点睛】

本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式是

解题的关键.

类型三图表问题

8.某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20

元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售.已知这种水果日销售量y（千克）与每千克

降价x（元）（0Wx<10）之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求），与x之间的关系式；

(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？

其相应的日销售量为多少？

【答案】(l)y=10x+50(04x<10)

(2)6元，110千克

【解析】

【分析】

(1)根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；

(2海日利润=每千克销售利润x日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，

代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量.

(1)

解：设y与x之间的关系式为y=6+b(0«x<10),

观察图象,将(1,60),(4,90)代入>=履+)得，

[60=«+。

[90^4k+b

解得仅%=1500,

故y与X之间的关系式为y=10x+50(0<x<10)；

(2)

解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为(20-10-幻元，日销量为(lOx+50)千克，

贝iJ(20-10-x)(10x+50)=440,

整理得X2_5X-6=0,

解得々=6或*2=-1(不合题意，舍去)

当x=6时,y=10x6+50=110,

故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克.

【点睛】

本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数

的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正

确求解.

9.霞峰桃是钢城特色农产品之一，为铺开销售渠道，当地政府引导果农进行网络销售.在

试销售期间发现，该种桃的月销售量y(单位：千克)与销售单价x(单位：元)成一次函

数关系，函数图象如图所示，已知该种桃的销售成本为5元/千克.

(1)求y关于X的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);

(2)求销售该种桃每月可获得的最大利润；

(3)在销售过程中发现，该种桃每千克还需要支付1元的保鲜成本，若月销售量y与销售单

价x保持(1)中的函数关系不变，当该种桃的月销售利润是105000元时，在最大限度减少

库存的条件下，求x的值.

【答案】(i)y=-20000x+220000

(2)180000元

⑶x=7.5

【解析】

【分析】

(।)根据图象上两点坐标，利用待定系数法即可得；

(2)设销售该种桃每月可获得的利润为w元，先根据“利润=(销售单价一销售成本)、销

售量，，建立w与x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得；

(3)根据“利润=(销售单价-销售成本-保险成本)x销售量，，建立方程，解方程即可得.

(1)

解：设y关于x的函数解析式为》=依+。,

将点(6,100000),(7,80000)代入得：[[”6^++^—=10000000，解叱优=2-20000,

则丁关于x的函数解析式为y=-20000x+220000.

(2)

解：设销售该种桃每月可获得的利润为w元，

则w=(x-5)y=(x-5)(-20(XX)x+22(XXX)),

整理得：vp=-20000(x-8)2+180000,

由二次函数的性质得：当x=8时，卬取得最大值，最大值为180000,

答：销售该种桃每月可获得的最大利润为180000元.

(3)

解：由题意得：(x-5-1)(-20000%+220000)=105000,

解得玉=7.5,/=9.5,

.y=-20000x4-220000,

随x的增大而减小，

销售单价越低销售量越大，

•・•在最大限度减少库存的条件下，x=7.5.

【点睛】

本题考查了一次函数、二次函数应用、一元二次方程的实际应用，正确建立各函数关系式和

方程是解题关键.

10.雅猴桃是一种营养价值丰富的水果，深受大家的喜爱.某水果店购进一批优质珠猴桃，

发现这种软猴桃在一天内的销售量y(千克)与该天的售价X(元/千克)之间的数量关系满

足一次函数关系，其中两天的销售情况如图表所示：

日期售价x(元/千克)销售量V(千克)

12日2535

13日2238

(1)求＞与X的函数关系式；

(2)已知该水果店购进这种殊猴桃的进价为10元/千克，售价要求不低于15元/千克，且

不超过30元/千克.某天若该水果店销售这种冻猴桃共获利400元，那么这天这种琳猴桃的

售价为每千克多少元？

【答案】(1)尸4+60;(2)每千克20元.

【解析】

【分析】

(1)根据这两天的销售数据，利用待定系数法即可求出与x的函数关系式；

(2)根据总利润=每千克的利润x日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较

小值即可得出结论.

【详解】

解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(上0),

将(25,35),(22,38)代入好质+b,

/bJ25左+匕=35

得：[22k+b=38，

\k=-\

解得：,小

[o=60

0V与x的函数关系式为y=-x+60.

(2)依题意，得：(X.10)(式+60)=400,

化简，得：^.70%+1000=0,

解得：%/=20,%2=50(不合题意，舍去).

答：这天这种珠猴桃的售价为每千克20元.

【点睛】

本题主要考查了求一次函数解析式和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够读懂题

意找到关系式进行求解.

11.重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经

典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称"堂食"小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面(简

称"生食”小面).已知3份"堂食”小面和2份"生食”小面的总售价为31元，4份"堂食，小面

和1份“生食”小面的总售价为33元.

(1)求每份"堂食"小面和"生食”小面的价格分别是多少元？

(2)该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份，为回馈广大食客，该

面馆从5月1日起每份"堂食”小面的价格保持不变，每份"生食”小面的价格降低[a%.统

计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，"生食”小面的销量在4月的基

础上增加g。％,这两种小面的总销售额在4月的基础上增加亮〃％.求。的值.

【答案】(1)每份"堂食"小面价格是7元，"生食"小面的价格是5元.(2)a的值为8.

【解析】

【分析】

(1)设每份"堂食"小面和"生食”小面的价格分别是x、.y元，根据题意列出二元一次方程组，

解方程组即可；

(2)根据题意列出一元二次方程，解方程即可.

【详解】

解：(1)设每份"堂食"小面和"生食”小面的价格分别是X、了元，根据题意列方程组得，

J3x+2y=31

[4x+y=33'

fx=7

解得，v,

[y=5

答：每份"堂食"小面价格是7元，"生食"小面的价格是5元.

535

(2)^®^,4500x7+2500(l+r%)x5(l--a%)=(4500x7+2500x5)(l+-a%),

解得，4=。(舍去)，4=8,

答：«的值为8.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关

系，列出方程，熟练运用相关知识解方程.

类型四含参应用题

12.随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉

方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年，新丰收公司用各100

亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.

(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？

(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了〃?％,漫灌试

验田的面积减少了2,”％.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每

9

亩用水量都进一步减少了他％.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少w，"%,求〃，的值.

(3)节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道

维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在

(2)的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否

大于今年的以上两项投入之和？

【答案】(1)漫灌方式每亩用水10。吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、

2000吨；(2)20;(3)节省水费大于两项投入之和

【解析】

【分析】

(I)根据题意，设漫灌方式每亩用水x吨，列出方程求解即可；

(2)由(1)结果，结合题意列出方程，求解方程；

(3)分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可.

【详解】

(1)解：设漫灌方式每亩用水X吨，则

xxl00+100x30%x+100x20%x=15000,

x=100,

漫灌用水：100x100=10000,

喷灌用水：30%x10000=3000,

滴灌用水：20%xl0000=2000,

答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000,3000、2000吨.

(2)由题意得，

100x(1-2〃?％)x100x(1-m%)+100x(1+，〃％)x30x(1—〃?％)+100x(1+m°/0)x20x(1—m0/o)

=15000x(1-1%),

解得仍=。(舍去)，生=20,所以〃?=20.

9

(3)节省水费：15000x-w%x2.5=13500TL,

维修投入：300x30=9000元，

新增设备：100x2m%xl00=4000元，

13500>9000+4000,

答：节省水费大于两项投入之和.

【点睛】

本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确

列式计算是解题关键.

13.某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产8产品，去年两个车间生

产产品的数量相同且全部售出.已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1

件A产品与1件B产品售价和为500元.

(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业

互联网将乙车间改造为专供用户定制8产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下

产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少4%，但B产品的销售

单价将提高34％.则今年A、8两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加

景29％.求〃的值.

【答案】(1)4产品的销售单价为300元，8产品的销售单价为200元；(2)20

【解析】

【分析】

(1)设8产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(x+100)元，根据题意列出方

程解出即可；

(2)设去年每个车间生产产品的数量为，件，根据题意根据题意列出方程

300(l+a%)，+200(l+3a%)l(l-a%)=500f{l+||a%)解出即可；

【详解】

解：(1)设2产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为(x+100)元.

根据题意，得

x+(x+1()0)=500.

解这个方程，得x=200.

则x+100=300.

答：A产品的销售单价为300元，2产品的销售单价为200元.

(2)设去年每个车间生产产品的数量为，件，根据题意，得

300(l+a%)J+200(l+3a%)1(l-a%)=500f{l+||a%)

设4%="?,则原方程可化简为5/-"2=0.

解这个方程，得叫=/，巧=0(舍去).

回。=20.

答：。的值是20.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是:(1)找准等量关

系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程.

14.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中"的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产

量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、8两个品种各

种植了10亩.收获后A、8两个品种的售价均为2.4元/这，且B品种的平均亩产量比A品

种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.

(1)求4、8两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计4

B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加。％和2a%.由于B品种深受市场欢迎，

预计每千克售价将在去年的基础上上涨4％,而A品种的售价保持不变，A、8两个品种全

部售出后总收入将增加2才0“％，求”的值.

【答案】(1)4品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；(2)10.

【解析】

【分析】

(1)设A、8两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组

即可得到答案；

(2)根据题意分别表示A品种、8品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年

的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案.

【详解】

(1)设4B两个品种去年平均亩产量分别是X、)，千克，由题意得

y=x+100

2.4xl0x+2.4xl0y=21600'

x=400

解得

y=500,

答：A.B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克

（20

（2）根据题意得：24x400（l+a%）+24（l+a%）