2022年云南省高考数学（理科）真题（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（云南卷）

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。_

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=—l+Gi,则^-=（）

zz-1

A.-1+V3iB.-1-亚C.一；+与iD.一；一曰i

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识•为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这1。位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

居民瑞弓

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={—1,2},8=卜|V_以+3=0},则电(AU3)=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体

的体积为()

A.8B.12C.16D.20

5.函数y=(3*-3T)cosx在区间—的图像大致为()

b

6.当x=l时，函数/(x)=aln]+—取得最大值一2,则7(2)=()

x

।1-1

A.-1B.C.—D.1

22

7.在长方体ABCO-A&GA中，已知耳。与平面4BCO和平面所成的角均为

30°,贝！]()

A.AB=2ADB.AB与平面AAG。所成的角为30。

C.AC=CBiD.BQ与平面BBCC所成的角为45°

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，

如图，AB是以。为圆心，0A为半径的圆弧，C是4B的中点，。在A8上，CD_LAB.“会

CD2

圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+--.当QA=2,NAOB=600时，

OA

s=（）

11-37311-473C9-3739-473

2222

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和%,

体积分别为％和%.若券=2,则9=（

)

s乙吃

5V10

A.垂IB.272C.MD.----

4

X2V2

10.椭圆。：=+彳=13>〃>0）的左顶点为4,点产，。均在C上，且关于y轴对称.若

ab

直线AP,AQ的斜率之积为,，则c的离心率为（）

4

V37211

A•B.C.—D.一

2223

11.设函数/（x）=sin[①x+1）在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范

围是（)

A.一,—B.一,—C.

L36J136J

3111

12.已知。=一,/?=cos—,c=4sin—,贝U（)

3244

A.c>h>aB.h>a>cC.a>h>cD.a>c>h

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设向量4,。的夹角的余弦值为g,且|a|=l,|"=3,贝IJ（加+））小=.

2

14.若双曲线丁一二=1（〃2>0）的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则机=

m"

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

AC

16.已知△ABC中，点。在边8c上，NADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）

2V

记S,为数歹U｛4｝的前〃项和.已知学+〃=2fl,,+1.

（1）证明：｛《,｝是等差数列；

（2）若4，/，4成等比数列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱锥P-ABCD中，PD1.底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=5

（1）证明：BD±PA；

（2）求PO与平面945所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，

没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜

的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.（12分）

设抛物线。：了2=2「真°>0）的焦点为£点。（p,0）,过户的直线交C于M,N两点.当

直线MO垂直于x轴时，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为

a,/3.当a—£取得最大值时，求直线A8的方程.

21.（12分）

'

已知函数/（x）=-e---\nx+x-a.

（I）若/（x）20,求a的取值范围；

（2）证明：若/（x）有两个零点玉,々，则为/<1.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

-2+t

X=，

在直角坐标系中，曲线G的参数方程为46。为参数），曲线C2的参数方程

2+s

x-，

为，6（s为参数）.

［y=-火

（1）写出a的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos6»-sin6>=0,求C3与G交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知a,b,c均为正数，且。2+^+4，=3,证明：

（1）a+b+2c<3；

(2)若b=2c,则

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（云南卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11

14.3

3

6

15.—.

35

16.6-1##一1+6

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

2s

17.(1)解：因为—^+〃=2。“+1,即2S〃+〃~=+〃①，

n

当及22时，②，

22

①一②得，2S„+n-2Sn_t-(rt-1)=2/?a„+n-2(/?-l)a„_]-(/j-l),

即2atl+2n-1-2%-2(〃-1)%1+1,

即=2(〃-l),所以/=1,且〃eN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)-78.

18.(1)证明：在四边形A8CD中，作于E，CVLAB于F，

因为CO//A8,AD=CO=CB=1,AB=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

故。E=孚，BD=ylDE2+BE2=V3>

所以AZ52+8£)2=.2,

所以A£>_LBO，

因为P£>_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以

又PDcAD=D,

所以8。，平面PAD，

又因Rlu平面尸A£>，

所以8DLA4;

⑵6.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列见解析，£(X)=13.

【解析】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.()6.

即X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)/=4x；

(2)AB:x=y/2y+4.

21.己知函数/(x)=----Inx+x—tz.

(1)(-oo,e+l]

（2）由题知,〃x）一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设王＜1＜工2

1

要证玉工2＜1，即证王＜一

X?

1、

因为再,一e（0，l）,即证/（%）＞/—

工x27

因为/（玉）=/（%）,即证/（々）＞/上、

<X2>

e"-1

即证---Inx+x-xev-Inx——>O,XG(1,+OO)

x

ex1

即证——xex-2

x

下面证明x>l时，--xeA>0,Inx--1Ix--|<0

X2X

,ex-

设g(x)=----xex,x>1,

x

/\1

1ev-ex

x-1e

----e

Xx

X—1

设0(x)=f(x>l)，d(x)-^-er>0

x

所以0（%）＞夕（1）=6,而《：＜6

所以Je*—e-，>0,所以g'(x)>0

x

所以g（x）在（1,"。）单调递增

v1

即g(