2022届高考数学热身题及答案解析

2022年高考数学考前热身题

1.如图，四棱锥P-48CD的底面是边长为2遍的菱形，ND4B=60°,PA=PB=PD,顶

点P在底面上的投影为O,侧棱PB与底面ABCD所成角的正切值为VL

（1）证明：8C_L平面尸08；

（2）若点E为PC的中点，求二面角/-OE-8的大小.

【分析】（1）由底面/BCD是菱形，且/。48=60°,得出△物/）是等边三角形：判断

三棱锥尸是正三棱锥，点P在底面上的投影为。为正△/8O的中心，得出8CL

08,再由8CJ_P。，证明8C_L平面PO8；

（2）以。为原点，0B,晶的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系。-孙z,

用坐标表示向量，求出平面ZDE、平面的法向量，再求二面角/的大小.

【解答】（1）证明：因为四棱锥尸-488的底面是边长为2巡的菱形，且/ZM8=60°,

所以是边长为2n的等边三角形；

因为以=PB=P£>,所以三棱锥P-是正三棱锥，

所以顶点P在底面上的投影为O为正AABD的中心；

又ADHBC,所以8C_L08；

因为8C_LPO,PODBO=O,所以BC_L平面P08；

（2）解：由（1）知，/P8。是是侧棱P8与底面所成的角，

所以tanNP8O=&,所以OP=4；

以。为原点，0B,办的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,

如图所示：

E

则/(V6,-V2,0),D(-V6,-V2,0),E(-V6,V2,2),B(0,2^2,0),

所以G=(-2V6,0,0),DE=(0,2V2,2),?B=(V6,V2,-2),

设平面4DE的法向量为蔡=(x,y,z),

.m=-2V6z=0,令尸］,得/=(0)b

DE♦m=2>/2y+2z=0

设平面BDE的法向量为九=(a,b,c),

则同三=很+皿-2c=0,令Qi,得£=(一次，1,一夜)；

DE-n=2mb+2c=0

jtm-，-tn3Vr2-

cosOn,n>=———=-^=~产=

\m\x\n\V3XV62

7T

因为二面角4-OE-8是锐角，所以二面角力-O£-8的大小为二.

4

【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了利用向量求二面角的

应用问题，是中档题.

2.如图，在多面体力BCDE产中，四边形N8CD为菱形，且4MB=掾，。心平面/叱。,

EF//BD,且EF=；BD=1,DE=2.

(I)求证：OE〃平面NCF；

(II)求直线/E与平面/C/所成角的正弦值.

E

【分析】(I)取/C与2。的交点为O,连。尸，证明E尸〃DO,KEF=DO,即可证明

DE//OF,进而得到DE〃平面/CR

(H)将线面角转化为//£尸，或者建立坐标系，用向量法处理.

【解答】解：(I)证明：取力C与8。的交点为。，连。尺

1

\'EF//BD,EF=^BD=1,

四边形EFOD为平行四边形，

：.DE//OF,

DEC平・面/户'C尸Ou-平jfif力尸C,

...。^〃平面力。〃；

(II)解法一：•・•£>E_L平面ABCD,

J.DEVOD,又OO〃ER

：.EFLOF

•••四边形N8CD为的菱形，

：.ACLOD

：.ACLEF,

；.£7口_平面4CF,

ZEAF是直线AE与平面ACF所成角，

可得NE以=90°,ZEDA=90°,EF=1,AE=2五,

".sinZ.EAF=罪=*,

方法二：易证ON,OB,O尸两两垂直，以。I,OB,OF为x,y,z轴建系，

4/，0,0),F(0,0,2),E(0,-1,2),

OF=(0,0,2),OA=(V3,0,0),AE=(-V3,-1,2)

设平面/CF法向量为1=(%,y,z)42=°,=，,二=0,

tflF-n=0(2z=0

得一个法向量n=(0/1,0),

AE=(-V3,-1,2),

T->

直线ZE与平面/CF所成角的正弦值sin。=\cos<AE,n>\=|"]

\AE-n\

【点评】本题考查/线面平行的判定，线面角的求法，线面垂直的判定等，属于难题.

3.如图四棱锥PF8C。中，底面力88为菱形，以，底面/8CZ),E是尸C上的一点，PE

=2EC,PC±¥ffiBED,以=2,

(1)求/C的长；

(2)若平面ZP8L平面CP8,试求P8与平面P0C所成角的正弦值.

【分析】(1)设/CC8Q=F,连接EF,通过三角形相似，转化求解即可.

(2)过点A作AGSB于G,推出BCLAB,结合AB=2,设点B到面PCD的距离为d,

说明点/到面尸8的距离即为点2到面尸CD的距离，求出d,然后求解尸3与面尸CD

所成角的正弦值.

【解答】解：(1)^ACHBD=F,连接EF

♦.•PC_L面8。，EFu面BDE,

：.PCLEF,则△hC〜△尸EC,

1,4+4Q2

设/C=2a,RiJCF=a,CE=1PC=—,

CEACe,r~r-

—=—,即a=V2,.".AC=2V2.

aPC

(2)过点/作ZG_LP8于G,'：^APB±CPB,3.APBH^CPB=PB,

故ZG_WPBC,又：8CU面尸8C,

：.BCLAG,又：8C_L以，S.AGHPA=A,JGcj®PAB,以u面为8,

：.BC±W\PAB,平面H8,：.BC±AB,

四边形NBC。为正方形，故42=2,

设点B到面PCD的