2021年中考数学考点归类复习-七十五：平行四边形

2021中考数学考点归类复习——专题七十五：平行四边形

1.如图，AM//BN,C是册上一点，劭平分乙谢且过4c的中点。，交AM于点、D,DELBD,交融于点反

(1)求证：XADgXCBQ.

(2)求证：四边形被笫是菱形.

(3)若DE=AB=2,求菱形屈力的面积.

2.已知：如图，在长方形被笫中，AB=4cm,BC=6cm,点、E为AB中点、,如果点尸在线段用1上以每秒2c必

的速度由点8向点C运动，同时，点0在线段冲上由点。向点〃运动，设点尸运动时间为1秒，若某一时

刻△族与△朋全等，求此时力的值及点0的运动速度.

3.如图，在菱形侬刀中，0是对角线加上中点，尸为线段初上一点，连接尸。并延长交加于点0.

(1)求证：XODgXOBP；

(2)连结DP,若DPLBC,BC=4,NA力=60°,求尸0的长.

4.如图，已知正方形侬力，0为物的中点，BE平分4DBC,交加于点£,延长比到点£使CF=CE,连

结DF,交物的延长线于点G,连结华.

(1)求证：XBC瞄XDCF.

(2)求证：BF=20G.

5.如图，四边形被力为菱形，£为对角线ZC上的一个动点(不与力，C重合)，连接应并延长交射线四

(1)求证：XDC昭XBCE；

(2)求证：2AFg4EBC;

(3)若/必归=90。，当△颇为等腰三角形时，求N&方的度数.

6.如图在△上中，/胡。=120°,以优1为边的外作等边三角形△比4把△板绕点。按顺时针方向旋

转60。到△员。的位置，若止=3c〃，AC=2cm.

(1)求NBA。的度数

(2)求9的长.

7.如图，已知AABC,直线N垂直平分4C,与边形交于瓦连接出过点C作CF平行于54交收于点尸,

连接加：

(1)求证：XAEI运XCFD；

(2)求证：四边形侬尸是菱形.

(3)若4=3,A£=5,则菱形4瓦产的面积是多少？

0\

8.如图，在四边形眼如中，AB=AD,CB=CD,E是切上的点，BE交AC于热F,连接砒

(1)求证：/BAF=/DAF,/AFD=/CFE；

(2)茏ABHCD、试证明：四边形极力是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定点£的位置，恨得/EFD=/BCD,并说理由.

B

9.已知。=或，CD=CE,NACB=NDCE=9Q°,连劭，AE,产为形的中点，逐CF.

'F=^BD,且CFLBD；

(1)如图1,点。，E分别在。，龙上，求证：C

(2)如图2,将aa应绕点c顺时针旋转一个锐角,其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立？并证

明你的结论.

/a

BECBC

图1图2

10.如图，菱形屈力中，对角线4G切交于。点，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形比黝为矩形；

(2)在比1上截取gCO,连接阳若力0=16,川=12,求四边形冰切的面积.

11.在平面直角坐标系*0中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称

这个三角形叫“和谐三角形"，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离

(1)已知4(2,0),8(0,4),<7(1,2),DC4,1),这个点中，能与点。组成“和谐三角形”的点是,

“和谐距离”是;

(2)连接BD,点必〃是班上任意两个动点(点胴〃不重合)，点£是平面内任意一点，AEMN是以MN

为“和谐边”的“和谐三角形”，求点£的横坐标t的取值范围；

(3)已知。。的半径为2,点尸是。。上的一动点，点0是平面内任意一点，△"?是“和谐三角形”，且

“和谐距离”是2,请描述出点0所在位置.

12.如图，在菱形的>中，4。和即相交于点。，过点。的线段厮与一组对边相，切分别相交于点区F.

(1)求证：AE=CF；

(2)若四=2,点£是相中点，求郎的长.

13.综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置(其中NA45°,NO=30°),PA、PB与直线MN

重合，且三角板为C,三角板加均可以绕点P逆时针旋转.

(2)4DPC=；

(2)如图②，若三角板板保持不动，三角板NR4C绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角

板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有尸加仍成立；

(3)如图③，在图①基础上，若三角板为。的边刃从现处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3°/秒，同

时三角板的的边依从掰处开始绕点尸逆时针旋转，转速为2°/秒，(当尸C转到与掰重合时，两三角

板都停止转动)，在旋转过程中，当/。少=/喇求旋转的时间是多少？

14.如图，在矩形的?中，作对角线切的垂直平分线跖垂足为点0,分别交池，初于点E,F,连接

BE,DF.

(1)求证：四边形班班■是菱形；

(2)若AE=OF,BF=2,连接飨求比'的长.

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点力为x轴正半轴上一点，点8在第一象限，点6的坐标为(4,

4),连接阳动点尸在射线40上(点尸不与点0、点Z重合)，点C在线段5。的延长线上，连接阳、PC,

PB=PC,设8的长为x.

(1)填空：线段处的长=,线段①的长=；

(2)求死的长，并用含x的代数式表示.

16.在△胸中，过力作纪的平行线，交NZ龙的平分线于点，，点£是比'上一点，连接阳交四于点

F,NDE济NCAD=18Q".

(1)如图1,求证：四边形4的是菱形；

(2)如图2,G是四的中点，〃是〃'边中点，连接EG、EH,若NZ龙=90°,BC=2AC,在不添加任

何辅助线的情况下，请直接写出图中与△物全等的三角形(不含△糊本身).

17.【猜想】如图1,在平行四边形被切中，点。是对角线ZC的中点，过点0的直线分别交地.死于点反尸.若

平行四边形松力的面积是8,则四边形点印的面积是.

D

【探究】如图2,在菱形的?中，对角线相交于点0,过点。的直线分别交血，BC于点E,F,若/。=5,

〃二10,求四边形侬F的面积.

【应用】如图3,在Rt△板中，N540=90°,延长a1到点。，便DC=BC,连结必若40=3,仍=2万,

则△板的面积是.

2021中考数学考点归类复习——专题七十五：平行四边形参考答案

1.如图，AM//BN,C是册上一点，劭平分乙谢且过4c的中点。，交AM于点、D,DELBD,交融于点反

(1)求证：XADgXCBQ.

(2)求证：四边形被笫是菱形.

(3)若DE=AB=2,求菱形屈力的面积.

【答案】解：(1)证明：•.•点。是ZC的中点，

：.AO=CO,

'：AM//BN,

：.4DAC=4ACB,

，ZDA0=ZBC0

在△/如和△颂中，，A0=C0,

ZAOD=ZCOB

:.XADO^XCBO(AS4)；

(2)证明：由(1)得△"修△必0,

：.AD=CB,

又：：AM"BN,

：.四边形侬力是平行四边形，

'：AM//BN,

：./LADB=ZCBD,

■:BD平分NABN,

:.NABg/CBD,

:.NABD=NADB,

：.AD=AB,

.•.平行四边形的?是菱形；

(3)解：由(2)得四边形被力是菱形，

：.ACLBD,AD=CB,

头DE1BD,

：.AC//DE,

'：AM//BN,

二四边形ACED是平行四边形，

：.AC=DE=2,AD=EC,

：.EC=CB,

•.•四边形侬》是菱形，

：.EC=CB=AB=2,

：.EB=\,

在Rt△丽中，由勾股定理得切=而贰修=值多=2次,

••­S菱形ABCD4AC'BD=iX2x2«=2«.

2.已知：如图，在长方形侬力中，AB=4cm,a-6颂，点£为四中点，如果点尸在线段a'上以每秒2颂

的速度由点8向点C运动，同时，点0在线段如上由点C向点〃运动，设点P运动时间为1秒，若某一时

刻△鹿1与全等，求此时t的值及点0的运动速度.

【答案】解：设点0的运动速度为vcm/s,则BP=2t,CP=6-2t,BE=2,CQ=vt.

由题可分两种情况：

(7)/\BPE^/\CPQ,则BP=CP,BE=CQ,

•*.2t=6-2t,2=vt,

,t=曰，…（5分）

（2J）XBP瞄XCQP,贝！IBP=CQ,BE=CP,

'.2t=vt,2=6-2t.

：.t=2,v=2.•••（10分）

综上所述，t的值为■1•秒时，0点的速度为日cWs；或t的值为2秒，。点的速度为2cm/s.-（11分）

3.如图，在菱形四切中，。是对角线加上中点，尸为线段返上一点，连接尸。并延长交地于点0.

（1）求证：△如®△阚

（2）连结DP,若DP工BC,於=4,N比7=60°,求尸0的长.

【答案】证明：（1）I•四边形屈力是菱形

：.AD//BC,

：.^ADB=ZDBC,且B0=D0,ZD0Q=ZB0P

二△汝匣△酒（ASA}

（2）•四边形屈力是菱形

：.BC=CD,且/及力=60°

...△A笫是等边三角形

'：DPLBC,BC=4

：.BP^PC=2

'：/XODQ^/XOBP

：.QD=BP=2

：.PC=QD=2,豆AD"BC

：.四边形比附是平行四边形，

,CD=PQ=4

4.如图，已知正方形侬力，0为助的中点，BE平分4DBC,交加于点£延长a1到点E便CXCE,连

结DF,交座1的延长线于点G,连结田.

(1)求证：XBC3XDCF.

(2)求证：BF=20G.

【答案】解：(1)•.,四边形松必是正方形,

：.ZBCE=ZDCF=9Q°,BC=DC,

在工BCE和4DCF中

'BC=CD

<ZBCE=ZDCF

CE=CF

:ZC昭ADCF(S4S).

(2)，：ABC瞄ADCF,

:./CBE=4FDC,2F=NBEC,

,:BG斗分4DBC,

：.2DBG=NCBE=4FDC,

：.4BEC=4DB伊2BDC=4FDC+4BDC=ZBDF,

：.ABDF=^F,

<NBCE=9Q°,

:.NEBONBEC=9Q°,

，：2FDC=/CBE,Z.DEG=^BEC,

：.NFDaNDEG=90°,

:.NBGD=180°-90°=90°,

：.BGLDF,

"：BD=BF,

：.GD=FG,

又•：BO=OD,

：.BF=20G.

5.如图，四边形侬刀为菱形，后为对角线〃1上的一个动点(不与4C重合)，连接应1并延长交射线四

于点凡连接班1.

(1)求证：4DCE叁4BCE；

(2)求证：4AFD=4EBC；

(3)若NZMQ90°,当△啊'为等腰三角形时，求的度数.

【答案】解：(1)证明：•.•四边形似力是菱形，

ACD=AB,NACD=NACB,

在△腔■和△aE1中，

fDC=CB

'ZDCE=ZBCE»

EC=EC

；.△及碎△况F(5^S),

(2),:△DCE^XBCE,

：.^CDE=ACBE,

'：CD//AB,

：.4CDE=4AFD,

：.^EBC=^AFD,即NF=NEBC；

(3)解：分两种情况：

①如图1,当月在四延长线上时，

D______________C

用户为钝角，

:.只能是BE=BF,

设NBEF=NBFE=x0,

可通过三角形内角形为180°得：90+X+A+X=180,

解得：x=30,

:.NEFB=3Q°；

②如图2,当尸在线段初上时,

图2

<NEFB为锐角,

,只能是阳=用，设NBEF=NEBF=x°,则有N"Z)=2x。，

可证得：ZAFD=ZFDC=ZCBE,

得A+2X=90,

解得：x=30,

:.NEF4120".

综上：N430°或120°.

6.如图在△被7中，N的户120°,以a'为边的外作等边三角形△及笫，把△板绕点。按顺时针方向旋

转60°到△瓦》的位置，若AB=3cm,AC=2cm.

(1)求N5切的度数

(2)求助的长.

【答案】解：(1)•.,把△板绕〃点按顺时针方向旋转60°,到△町位置,

■:NBAa/BDC=l80°,

二乙奶出4gl80°,

■:NDCE=2ABD,

：.ZACI^-ZDCE=18Q°,

：.A,C,£共线，

：.^ADE=^°,AD=DE,

.•.△4应是等边三角形，

：.ZEAD=ZE=60°,

'：ZBAC=120°,

:.NBAD^NE=60°；

(2)由旋转知，NDCE=NABD=NCB讣NABC=60°+NABC,

•:NMGN4cs=180°-120°=60°,

:.NDC拱ZACmNBCD=60°+NMGN力朋60°=180°

.•.点2、C、£在一条直线上，

：./BAD=/BAC-/DAE=\2Q°-60°=60°.

•.•点力、C、£在一条直线上，

:.AE=AC+CE.

•△板绕着点。按顺时针方向旋转60°后得到△£5，

/.CE=AB,

：.AE=A&AB=2+3=5.

•••△4歌为等边三角形,

：.AD=AE=5cm.

7.如图，已知△被7,直线尸0垂直平分HC,与边AB交于E,连接您过点C作CF平行于54交尸0于点尸,

连接小

(1)求证：XAE阳XCFD；

(2)求证：四边形幽才是菱形.

(3)若4)=3,四=5,则菱形4&F的面积是多少？

B

【答案】解：(1)由作图知：可为线段ZC的垂直平分线,

：.AE=CE,AD=CD,

'：CF//AB,

：.2EAC=NFCA,/LCFD=Z.AED,

在△力切与△口叨中，

"ZEAC=ZFCA

<AD=CD，

,ZCFD=ZAED

:ZE哈ACFD；

(2),:XAE咯XCFD,

：.AE=CF,

•.•即为线段47的垂直平分线，

：.EC=EA,FC=FA,

：.EC=EA=FC=FA,

...四边形侬声为菱形.

(3)'：AD=3,AE=5,

二根据勾股定理得：切=4,

:.EF=8,AC=6,

=

,.S裳赘ABCF=8X6~224,

二菱形四CF的面积是24

8.如图，在四边形的如中，AB=AD,CB=CD,£是切上的点，四交然于点凡连接加

(1)求证：NBAF=/DAF,NAFD=/CFE；

(2)羌ABHCD、试证明：四边形的?是菱形；

(3)在(2)的条件下，试确定点后的位置，使得/⑸叨=/65，并说理由.

【答案】证明：(1)在△板1和△被7中

'AB=AD

,<CB=CD，

AC=AC

二△四屋△血

：.ZBAC=ZDAC,

在4ABF和AADF中

AB=AD

,ZBAF=ZDAF,

AF=AF

:.XAB阳XADF,

:"AFB=4AFD,

•：£CFE=^AFB,

,NAFD=NCFE,

：、/BAF=/DAC、/AFD=4CFE;

(2)*：AB//CD.

：・KBAC=4ACD,

V/BAC=/DAC,

"BAC=/ACD,

：・£DAC=&CD,

：.AD=CD.

•:AB=AD,CB=CD,

：.AB=CB=CD=AD,

・••四边形侬》是菱形；

(3)・・•四边形松力是菱形,

：.BC=CD./BCF=4DCF,

“：CF=CF,

，△为冷△姐

:•/CBF=/CDF,

'：BEVCD,

:.NBEC=』DEF=9N,

:.NEFD=/BCD.

9.已知。=傲CD=CE,NACB=NDCE=90°,连BD,AE,尸为熊的中点，连CF.

(1)如图1,点。，E分别在田上，求证：CF=^BD,且CF1BD；

(2)如图2,将△碗'绕点C顺时针旋转一个锐角，其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立？并证

明你的结论.

【答案】解：(D在4ACE和4BCD中,

'CA=CB

■:ZACE=ZBCD=90°,

CE=CD

:.AACEqXBCDQSAS)、

：.AE=BD,NCAE=NCBD,

•尸为力£中点，N4390。，

:.FC=AF=\AE,

：.CF=^BD,ACAE=AACF,

：.^CBD=AACF,

：.ACBD^ABCF=Z.ACF^ZBCF=ZBCD=90°,

:.CF1BD；

(2)此时仍有CF=^BD.CFA.BD,

延长"'至G,使R7=CF,连接而，

在△届C和△/石■中,

fEF=AF

；ZEFC=ZAFG.

CF=GF

:ZF微XAFG(.SAS),

：.GA=CE,4FEC=/FAG,

：.AG//EC,AG=CD,

而GNg=180°,

又•:ZBCD^ZECA=NBCA+NACD^NECA=NBC9NECD=180°,

：.ZGAC=ZBCD,

在△败和AOG中，

'BC=CA

；ZBCD=ZCAG.

CD=AG

:ZC哙ACAG(545),

/.CG=BD,ACBD=AACG,

：.CF=^BD,NCB决ZBCF=2BCA=W,

:.CF工BD.

10.如图，菱形侬7?中，对角线47、劭交于0点，DE//AC,CE//BD.

(1)求证：四边形况9为矩形；

(2)在比'上截取连接阳若4^=16,侬=12,求四边形阪刀的面积.

【答案】(1)证明：'：DE//AC,CE//BD,

二四边形况初为平行四边形，

又•.•四边形期小是菱形，

：.ACYBD,

：.ZDOC=90°,

二四边形况勖为矩形；

(2)解：作■FHL0C千悬H,如图所示：

•.•四边形被》是菱形，

：.AC1.BD,0D=0B=—BD=&,0A=0C=—AC=8,

22

•5AW="^0D*0C=24,

在Rt△败'中，^VOB2-K)C2=1O>sinZft^=-1^-=-|,

在Rt2\CR7中，CF=C0=8,sin^HCF=—=—,

FC5

394

：.FH=—CF=—,

55

96

••S^OCF=-10C'FH=

~5

11.在平面直角坐标系x处中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称

这个三角形叫“和谐三角形"，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离

(1)已知4(2,0),8(0,4),C(l,2),以4,1),这个点中，能与点。组成“和谐三角形”的点是,

“和谐距离”是;

(2)连接BD,点必〃是加上任意两个动点(点必〃不重合)，点£是平面内任意一点，AEMN是以MN

为“和谐边”的“和谐三角形”，求点£的横坐标1的取值范围；

(3)已知。。的半径为2,点尸是。。上的一动点，点0是平面内任意一点，△0W是“和谐三角形"，且

“和谐距离”是2,请描述出点0所在位置.

【答案】解：(D由题意得，当4(2,0),B(0,4)与原点。构成三角形时，满足圆周角定理，即点儿

方能与点。组成“和谐三角形”

•：22+42=2^/^,

二和谐距离”是、而，

故答案为：A,B；逐；

(2)根据题意作图如图1,以劭为直径，线段加的中点为圆心，当点后在如图的所示的位置时,

求得力的值为：■或

...点£的横坐标方的取值范围为：

(3)如图3,当尸0为“和谐边”时，点。在以点。为圆心，2我为半径的圆上；

当OQ为“和谐边”时，点。在以点。为圆心，4为半径的圆上.

12.如图，在菱形的?中，4C和即相交于点0,过点0的线段跖与一组对边相，切分别相交于点£,F.

(1)求证：AE=CFx

(2)若四=2,点£是四中点，求郎的长.

【答案】(1)证明：•.•四边形协切是菱形，

：.A0=C0,AB//CD,

:.乙EA0=4FCO,Z.AE0=Z.CF0.

在和户中，

"ZEA0=ZFC0

,A0=C0,

ZAE0=ZCF0

:ZQE^XCOF,

:.AE=CF；

(2)•••£是四中点，

：.BE=AE=CF.

'：BE//CF,

：.四边形啊T是平行四边形，

'：AB=2,

：.EF=BC=AB=2.

13.综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置(其中NA45°,ZC=30"),PA、PB与直线MN

重合，且三角板*C,三角板加均可以绕点尸逆时针旋转.

(2)2DPC=；

(2)如图②，若三角板板保持不动，三角板NB4c绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角

板为C就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有尸勿如成立；

(3)如国③，在图①基础上，若三角板玄。的边必从刚处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3°/秒，同

时三角板加的边阳从掰处开始绕点夕逆时针旋转，转速为2。/秒，(当尸C转到与掰重合时，两三角

板都停止转动)，在旋转过程中，当/CPD=2BPM,求旋转的时间是多少？

【答案】解：(1)•:NBPD=ND=钳,ZAPC=60°,

：.ZDPC=180°-45°-60°=75°,

故答案为：75°；

(2)如图1,此时，切〃R?成立，

'：PC//BD,N班产=90°,

：.2LCPN=ADBP=^°,

VZ<?=30o,

.,.ZCR4=60",

：.ZAPN=30°,

•..转速为10°/秒，

二旋转时间为3秒；

如图2,PC//BD,

'：PC//BC,NPBD=9Q°,

:.NCPB=NDBP=90",

"：ZC=30°,

：.ZCPA=60°,

：.ZAPM=3Q°,

•.•三角板为C绕点尸逆时针旋转〃的角度为180°+30°=210°,

•.•转速为10。/秒，

二旋转时间为21秒，

综上所诉，当旋转时间为3或21秒时，PC//DB成立;

(3)设旋转的时间为大秒，由题知，匕APN=3t",^BPM=2t°,

:./BPN=\8y-Z^=180°-2t°,

.,.ZCRP=360o-NBPD-NBPN-NAPN-NAPC=360°-45°-(180°-2t°)-(3t°)-60°=75°

-t0,

当4CPD=4BPM,即2广=75°-t°,

解得：t=25,

，当NCPD=NBPM,求旋转的时间是25秒.

14.如图，在矩形屈笫中，作对角线班的垂直平分线跖垂足为点。，分别交初，死于点区F,连接

BE,DF.

（1）求证：四边形冰场1是菱形；

（2）若AE=OF,BF=2,连接做求比1的长.

【答案】（1）证明：I•四边形侬力是矩形,

：.AD//BC,

：.ZADB=ZCBD,

:跖垂直平分劭，

:.BgDO,

在△次花1和△呼中，

<ZADB=ZCBD

<BO=DO,

ZDOE=ZBOF

:.△DO昭XBQF3倒），

：.EO=FO,

：.四边形砌力是平行四边形，

■:EF1BD,

二四边形砌刃是菱形；

•.•四边形侬》是矩形，

.•.N4=N3=90°,

由（1）得：四边形质宏是菱形;

：.EO=FO,NEBO=/FBO,

■:AE=OF,

：.AE=EO,

♦；AE上AB,EOLBO,

：./ABE=/OBE,

:.NABE=N0BE=NFBO=//应C=3Q。,

在Rt△胸中，BF=2,

:.0B=V3，

•.•在Rta8应中，宓是斜边加上的中线，

：,OC-|BD=V3-

15.如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点/为X轴正半轴上一点，点8在第一象限，点夕的坐标为(4,

4),连接阳动点尸在射线40上(点户不与点0、点4重合)，点C在线段加的延长线上，连接/KPC,

PB=PC,设。的长为x.

(1)填空：线段处的长=,线段如的长=；

(2)求比1的长，并用含x的代数式表示.

【答案】解：(1)'：B(4,4),四边形而切是正方形,

：.0A=AB=DB=0D=4,Z04B=90°,

：-0B=7OA2+AB2=3+42=4近,

故答案为4,4&.

(2)当点尸在线段如上时，作PH工0B千H.

,：AP0H=45°,Z/W=90",

：.^P0If=A0PH=^>°,

V2

：,0H=PH=-^0P=

2

：.BH=0B-0H=4

"：PC=PB,PHLBC,

:.BC=2BH=8e1-近x.

当点尸在ZO的延长线上时，同法可得比=8后

16.在△腕中，过力作6。的平行线，交的平分线于点〃，点£是比上一点，连接应，交四于点

F,NDE济/CAD=18G°.

(1)如图1,求证：四边形/