备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第7讲函数的零点与方程的解

第7讲函数的零点与方程的解课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解函数零点与方程解的关系.2.了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.判断函数零点所在区间本讲是高考的热点，主要考查函数是否存在零点，判断函数的零点个数，利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，题型以选择题、填空题为主，有时与导数等知识综合考查，一般难度较大.备考时，要掌握函数零点存在定理及数形结合思想.判断函数的零点个数2021北京T15；2019全国卷ⅢT5函数零点的应用2023天津T15；2022天津T15；2020天津T9；2019浙江T91.函数零点的概念对于函数y＝f（x），我们把使①f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.注意零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间⑤（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⑥f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解.注意（1）函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.（2）对于连续函数f（x），在[a，b]上，f（a）·f（b）＜0是f（x）在（a，b）上存在零点的充分不必要条件.规律总结（1）若图象连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则函数f（x）至多有一个零点.（2）图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.4.二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的⑦零点所在区间⑧一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思维拓展给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤：1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0.2.求区间（a，b）的中点c.3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.4.判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.1.下列说法正确的是（D）A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B.若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0C.二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点D.函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解2.函数y＝3x－lnx的零点所在区间是（BA.（3，4） B.（2，3） C.（1，2） D.（0，1）解析因为y＝3x在（0，＋∞）上单调递减，y＝－lnx在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝3x－lnx在（0，＋∞）上单调递减.又当x＝2时，y＝32－ln2＞0；当x＝3时，y＝1－ln3＜0，两函数值异号，所以函数y＝3x－lnx的零点所在区间是（23.已知函数f（x）＝x2＋x－2，x≤0，－1+ln解析当x≤0时，由x2＋x－2＝0，得x＝－2.当x＞0时，由－1＋lnx＝0，得x＝e.所以f（x）的零点为－2，e.4.已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.解析依题意，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，根据零点存在定理可知，f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有1个零点，故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.研透高考明确方向命题点1判断函数零点所在区间例1（1）[2024海南模拟]函数f（x）＝x＋sinx－2的零点所在区间为（B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析因为f'（x）＝1＋cos≥0，所以f（x）在定义域内单调递增.因为f（1）＝－1＋sin1＜0，f（2）＝sin2＞0，所以函数f（x）的零点在（1，2）内.故选B.（2）函数f（x）＝log3x＋x－2的零点所在的区间为 （B）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析解法一函数f（x）＝log3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝log32＞0，根据零点存在定理可知，函数f（x）＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.故选B.解法二将判断函数f（x）的零点所在的区间转化为判断函数g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.方法技巧确定函数零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点存在定理：先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.（2）数形结合法：画函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.训练1若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（A）A.（a，b）和（b，c）内B.（－∞，a）和（a，b）内C.（b，c）和（c，＋∞）内D.（－∞，a）和（c，＋∞）内解析因为f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0，所以f（a）·f（b）＜0，f（b）·f（c）＜0，所以函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内.故选A.命题点2判断函数的零点个数例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析f（x）＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx（1－cosx），令f（x）＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.（2）[2024江苏苏州常熟中学模拟]设定义域为R的函数f（x）＝｜lgx|,x>0，－x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2fA.3 B.7 C.5 D.6解析根据题意，令2f2（x）－3f（x）＋1＝0，得f（x）＝1或f（x）＝12.作出yf（x），y＝1，y＝12由图象可得f（x）的图象与直线y＝1和y＝12分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为方法技巧判断函数零点个数的方法（1）直接法：令f（x）＝0，解方程可得.（2）利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）判断.（3）图象法：将判断函数f（x）零点个数转化为判断函数f（x）的图象与x轴交点的个数，或将函数f（x）拆成两个函数h（x）和g（x）的差的形式，判断函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象的交点个数.训练2（1）定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2.若函数g（x）＝｜lgx|,x>0，ex，x≤0，则函数[－6，6]内的零点个数为（B）A.14 B.13 C.12 D.11解析易得函数y＝f（x）是周期为2的函数，因为x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2，所以作出y＝f（x）的图象，如图所示.再作出函数g（x）＝｜lgx|,x>0，[2023河南省部分学校押题信息卷]设f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，f（3）＝0，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是（D）A.4 B.6 C.7 D.9解析因为f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，所以f（0）＝f（5）＝f（10）＝0.又f（3）＝0，所以f（3）＝f（8）＝0，f（－3）＝f（2）＝f（7）＝0.f（－52）－f（52），f（－52）＝f（－52＋5）＝f（52），所以f（－52）＝f（52）＝0，f（152）＝f（52＋5）＝f（52）＝0，故零点至少有0，2，52，3，5，7，8，152，10，则f（命题点3函数零点的应用角度1根据函数零点个数求参数的范围例3函数f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2，g（x）＝A.（22－6，0） B.（23－6，0）C.（－2，0） D.（25－6，0）解析作出函数f（x）＝4－x2，x≤2，log3（x－1),x>2的图象，如图所示.g（x）＝kx－3k＝k（x－3），故g（x）过定点（3，0），设过（3，0）且与y＝4－x2相切的直线为l，切点为P（x0，4－x02），x0＜2，因为y'＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0＝4－x02x0－3，解得x0＝3－5或x0＝3＋角度2根据函数零点的范围求参数的范围例4已知函数f（x）＝3x－1+axx.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（BA.（－∞，43） B.（0，4C.（－∞，0） D.（43，＋∞解析由f（x）＝3x－1+axx＝0，可得a＝3x－1x.令g（x）＝3x－1x，x∈（－∞，－1）.由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则函数g（x）的值域即为实数a的取值范围.因为函数y＝3x和y＝－1x在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以g（x）＝3x－1x＜3－1＋1＝43，且g（x）＝g（x）的值域为（0，43），因此，实数a的取值范围是（0，43方法技巧已知函数零点情况求参数取值范围的方法（1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.（3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解.角度3函数零点（或方程根）的和例5[2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x.则方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为（A）A.14 B.12 C.10 D.8解析由f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）可得f（x）为奇函数，且图象关于直线x＝1对称，且易得f（x）的周期为4.当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x，此时f'（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－13）2＋23＞f（x）＝x3－x2＋x在[0，1]上单调递增.综上，可画出y＝f（x）的部分图象如图所示.方程7f（x）－x＋2＝0的根，即y＝f（x）与y＝17（x－2）的图象的交点的横坐标，作出直线l：y＝17（x－2），易知直线l也关于点（2，0）对称且y＝f（x）与[－5，2），（2，9]上均有3个交点，且关于点（2，0）对称，加上点（2，0）共7个交点，所以方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为3×2×2＋2＝14.故选A.方法技巧解函数零点（或方程根）的和的问题的方法（1）把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些根的和.（2）作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出这些零点的和.训练3（1）[2023湖北省沙市中学模拟]若函数f（x）＝lnx＋x2＋a－1在区间（1，e）内有零点，则实数a的取值范围是（A）A.（－e2，0） B.（－e2，1）C.（1，e） D.（1，e2）解析函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为函数y＝lnx与y＝x2在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝lnx＋x2＋a－1在（0，＋∞）上单调递增，则由函数f（x）在区间（1，e）内有零点知f（1）f（e）＜0，即a（e2＋a）＜0，解得－e2＜a＜0，故选A.（2）[2024江西抚州模拟]已知函数f（x）＝2x+3，x≤[f（x）]2－f[f（x）]的所有零点之和为（D）A.2 B.3 C.0 D.1解析令t＝f（x），则h（t）＝t2－f（t），令h（t）＝0，可得t2＝f（t），当t＞0时，由t2＝f（t），可得t2＝（t－2）2，即－4t＋4＝0，解得t＝1；当t＜0时，由t2＝f（t），可得t2＝2t＋3，即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去），所以t＝±1，即f（x）＝±1.当x＞0时，令（x－2）2＝1或（x－2）2＝－1（舍去），解得x＝1或x＝3；当x＜0时，令2x＋3＝1或2x＋3＝－1，解得x＝－1或x＝－2，所以函数g（x）＝[f（x）]2－f[f（x）]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.（3）[多选/2023廊坊模拟]已知函数f（x）＝｜x2＋3x＋1｜－a｜x｜，则下列结论正确的是（AC）A.若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0）B.若f（x）恰有2个零点，则a∈（1，5）C.