《6.2.2组合与组合数》教案、导学案与同步练习

《6.2.2组合与组合数》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习组合与组合数.排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.1.数学抽象：组合的概念2.逻辑推理：组合数公式的推导3.数学运算：组合数的计算及性质4.数学建模：运用组合解决计数问题【重点与难点】重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题难点：组合与排列之间的联系与区别【教学过程】教学过程教学设计问题探究问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？分析：在6.2.1

节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？一、组合的相关概念1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A4这12条有向线段分别为AB

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BA,AC

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CA,AD

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DA,BC（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？二、组合数与组合数公式1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C3从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C4思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Anm来求组合数也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A4第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C4第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33于是，根据分布乘法计数原理有A43即C43=同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出m个，有Cnm第二步将选出的m

个对象做全排列，有Amm由分步乘法计数原理有Anm=Cnm上述公式称为组合数公式.2.组合数公式:Cnm=AnmAm另外,我们规定Cn0=二、典例解析例6.计算：（1）C103；（2解:根据组合数公式，可得C103=AC107(3)

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观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？1.公式Cnm=AnmAm2.公式Cnm=n!m!(n3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cn跟踪训练1.(1)计算:①3C83-2C52(2)求证:Cnm+1+分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.(1)解:①3C83-2C52+②C100(2)证明左边=n=n!=n!=(=Cn+2例7.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即(种).组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解:(1)C12(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C9(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C9(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有C94(5)(方法一直接法)可分为三类:第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32第3类,甲、乙、丙3人均参加,有C33所以,共有C3(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人不能参加的有所以,共有C12变式：若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:第1类,甲、乙、丙都不参加,有C95第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32共有C9(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人全参加的有C92通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有()A.1个B.2个C.3个 D.4个解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.答案:B2.若An2=3A.4B.5C.6D.7解析:因为An2=3Cn答案:C3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为C5答案:54.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有C42·第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C41·第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C83=56(由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个).(方法二间接法)C123-通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。《6.2.2组合与组合数》导学案【学习目标】1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.【重点与难点】重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题难点：组合与排列之间的联系与区别【知识梳理】一、组合的相关概念1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.二、组合数与组合数公式1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm2.组合数公式:Cnm=AnmAm另外,我们规定Cn0=1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？【学习过程】一、问题探究问题1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Anm来求组合数二、典例解析例5.平面内有A，B，C，D共4个点.（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？例6.计算：（1）C103；（2观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？1.公式Cnm=AnmAm2.公式Cnm=n!m!(n3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cn跟踪训练1.(1)计算:①3C83-2C52(2)求证:Cnm+1+例7.在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.变式：若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?【达标检测】1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.若An2=3A.4B.5C.6D.73.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有个.4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?【课堂小结】【参考答案】知识梳理1.例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C3从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C4思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有1.（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。学习过程一、问题探究问题1.分析：在6.2.1

节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.问题2：也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A4第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C4第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33于是，根据分布乘法计数原理有A43即C43=同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出m个，有Cnm第二步将选出的m

个对象做全排列，有Amm由分步乘法计数原理有Anm=Cnm上述公式称为组合数公式.二、典例解析例5.分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A4这12条有向线段分别为AB

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DA,BC（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.例6.解:根据组合数公式，可得C103=AC107(3)

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跟踪训练1.分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.(1)解:①3C83-2C52+②C100(2)证明左边=n=n!=n!=(=Cn+2例7.分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即(种).跟踪训练2.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解:(1)C12(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C9(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C9(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C31=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有C94(5)(方法一直接法)可分为三类:第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32第3类,甲、乙、丙3人均参加,有C33所以,共有C3(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人不能参加的有所以,共有C12变式：解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:第1类,甲、乙、丙都不参加,有C95第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32共有C9(方法二间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人全参加的有CC12达标检测1.解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.答案:B2.解析:因为An2=3Cn答案:C3.解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为C5答案:54.解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有C42·第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C41·第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C83=56(由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个).(方法二间接法)C123-《6.2.2组合与组合数》基础训练一、选择题1．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A．种B．3！C．种D．以上均不对2．下列计算结果是的是（）.A．B．C．D．3．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A．B．C．15D．3604．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A．B．C．D．5．（多选题）若，则x的值为（）A．4B．5C．6D．76．（多选题）已知+0！=4，则m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题7．若，则______.8．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.9．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有_________种．10．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________三、解答题11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.12．一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？答案解析一、选择题1．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A．种B．3！C．种D．以上均不对【答案】C【详解】根据组合数的概念可知C选项正确.2．下列计算结果是的是（）.A．B．C．D．【答案】D【详解】，，，.3．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A．B．C．15D．360【答案】C【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有.故选：C4．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.5．（多选题）若，则x的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】AC【详解】因为，所以或，解得或，故选：AC.6．（多选题）已知+0！=4，则m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【详解】∵+0！=4，∴=6．当m=2时成立；当m=3时也成立．故选：BC．二、填空题7．若，则______.【答案】190【解析】则，所以8．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.【答案】64【解析】正方体的个顶点中任取个共有个，不能组成四面体的个顶点有，已有个面，对角面有个，所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个，故选9．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有_________种．【答案】56【详解】解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有种不同的分法.10．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________【答案】【详解】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．三、解答题11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.【详解】（1）由已知得：，化简得：，解得或，又因为，所以.（2）将代入得.12．一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【详解】解:(1)从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.当取红球个时，取法有种；当取红球个和白球个时，.取法有种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.(2)使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.第一种，红球个和白球个，取法有种;第二种，红球个和白球个，取法有种,根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.《6.2.2组合与组合数》提高训练一、选择题1．若，则的值为（）A．60B．70C．120D．1402．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种3．若成等差数列，则值为（）A．14B．12C．10D．84．《易经》是中国传统文化．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（）A．B．C．D．5.（多选题）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．6.（多选题）某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现选派5人参加一项活动，要求正、副班长至少有1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四种计算方法正确的算法为（）A.；B.；C.；D.．二、填空题7．若，则__________．8.某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是__________．9．已知，则________．10．已知集合，，，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为________.三、解答题11．（1）本不同的书分给甲、乙、丙同学，每人各得本，有多少种不同的分法？（2）从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有多少种选法？12.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）队长中至少有1人参加；（3）既要有队长，又要有女运动员.答案解析一、选择题1．若，则的值为（）A．60B．70C．120D．140【答案】D【详解】，解得或（舍去），.2．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种【答案】B【详解】根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有种不同的分法.3．若成等差数列，则值为（）A．14B．12C．10D．8【答案】A【详解】∵成等差数列，∴，∴，解得：或.4．《易经》是中国传统文化．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线和四根阴线的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】八卦分成四类，A类是：3个卦含1阴2阳，B类是：3卦含2阴1阳，C类1卦含是3阳，D类1卦是3阴．从八卦中任取两卦共有，两卦中含2阳4阴，则可以从B类选2卦，方法数为，或者选D类和A类1的1卦，方法数是3．所求概率为．5.（多选题）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】，A