高一平面向量讲义

/平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))；(2)求\o(,\s\6(→))|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，\o(,\s\6(→))＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，则称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点O，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，则向量a－b＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．例如：\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))＝.5．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下：(1)|λ＝.(2)λa(a≠0)的方向\b\\{\\(\a\4\\1(当时，与a方向相同,当时，与a方向相反))；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝或λ0＝.6．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝.(2)(λ＋μ)a＝.(3)λ(a＋b)＝.特别地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝.7．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．8．向量的线性运算向量的、、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝.考点一运用向量加法法则作和向量例1如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.变式训练1如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.考点二运用向量加减法法则化简向量例2化简：（1）\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)).（4）(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))．(5)(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))；（6）(\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→)))－(\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→)))．变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(2)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(3)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝；(4)\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，\o(,\s\6(→))＝c，求证：b＋c－a＝\o(,\s\6(→)).考点三向量的共线例3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝\f(1,2)变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))，则()A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若\o(B,\s\6(→))＝a＋b，\o(C,\s\6(→))＝2a＋8b，\o(D,\s\6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且\o(,\s\6(→))＝a＋2b，\o(,\s\6(→))＝－5a＋6b，\o(,\s\6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D变式训练6已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))＋\o(,\s\6(→))，则x＋y＝.§2.3平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，则对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝.(2)基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和b，作\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，则＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是．②当θ＝0°时，a与.③当θ＝180°时，a与.(2)垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝，则叫作向量a的坐标，叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则\o(,\s\6(→))＝，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则\o(,\s\6(→))＝.4．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．5．两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当a∥b时，有．(2)当a∥b且x2y2≠0时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若\o(P1P,\s\6(→))＝λ\o(2,\s\6(→))，则P与P1、P2三点共线．当λ∈时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈时，P位于线段P1P2的延长线上；当λ∈时，P位于线段P1P2的反向延长线上．考点一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②变式训练1设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例2如图，梯形中，∥，且＝2，M、N分别是和的中点，若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b试用a，b表示\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→)).变式训练2如图，已知△中，D为的中点，E，F为的三等分点，若\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b，用a，b表示\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→))，\o(,\s\6(→)).考点三平面向量基本定理的应用例3如图所示，在△中，点M是的中点，点N在边上，且＝2，与相交于点P，求证：∶＝4∶1.变式训练3如图所示，已知△中，点C是以A为中点的点B的对称点，\o(,\s\6(→))＝2\o(,\s\6(→))，和交于点E，设\o(,\s\6(→))＝a，\o(,\s\6(→))＝b.(1)用a和b表示向量\o(,\s\6(→))、\o(,\s\6(→))；(2)若\o(,\s\6(→))＝λ\o(,\s\6(→))，求实数λ的值．考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)\o(,\s\6(→))－\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))＋2\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))－\f(1,2)\o(,\s\6(→)).变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)\f(1,2)a－\f(1,3)b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知▱的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断\o(,\s\6(→))与\o(,\s\6(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且\o(,\s\6(→))|＝2\o(,\s\6(→))|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量\o(,\s\6(→))与a＝(2,3)同向，\o(,\s\6(→))|＝2\r(13)，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且\o(,\s\6(→))＝\f(1,2)\o(,\s\6(→))，连接，点E在上，且\o(,\s\6(→))＝\f(1,4)\o(,\s\6(→))，求E点坐标．§2.4平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝θ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是，向量b在a方向上的投影是．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(结合律)；(3)(a＋b)·c＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.6．平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则＝.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则\o(,\s\6(→))|＝.7．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则θ＝＝.考点一求两向量的数量积例1已知＝4，＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．变式训练1已知正三角形的边长为1，求：(1)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))；(2)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))；(3)\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→)).考点二求向量的模长例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为\f(π,3)，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求\o(,\s\6(→))|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△，∠B＝90°，求点B和\o(,\s\6(→))的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，则它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))＝\o(,\s\6(→))·\o(,\s\6(→))，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)