专题04轨迹方程的求法（讲义）教师版

专题04轨迹方程的求法1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程定义法：定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。例1、（2022上·安徽芜湖·高二校考期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义求出、，即可求出，从而得到椭圆方程.【详解】因为、且，由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且、，解得，，所以点的轨迹方程是.故选：B例2、（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两圆位置关系分析可得，结合椭圆的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；因为，可知圆与圆内切于点，显然圆心不能与点重合，设圆的半径为，由题意可知：，则，可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外），且，可得，所以点的轨迹方程为.故选：D.1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】C【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.【详解】方程变形为，表示动点到点和直线的距离相等，所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线，故选：C.2．（2023上·山东聊城·高二统考期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，分析的值，结合椭圆定义可解.【详解】由题知，，记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，则点A在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，如图所示：则有，可知，所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以，所以点的轨迹方程，即折痕围成轮廊的圆锥曲线的方程为.故选：.3．（2023上·四川成都·高二校联考期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）利用两圆内外切的充要条件可求出动点到两定点的距离，再运用椭圆的定义判断动点的轨迹，最后对轨迹上的特殊点进行检测，去除不符题意的点即得；（2）利用椭圆的中点弦问题运用“点差法”即可求出弦的斜率即得直线方程.【详解】（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，，且，于是，

动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，故，，椭圆方程为

又因当M点为椭圆左顶点时，动圆M不存在，故不合题意舍去，故动圆圆心M的轨迹C的方程为；（2）设，由题意，显然，则有，，两式作差可得，即有，又Q为线段AB的中点，则有，代入即得直线l的斜率为，

直线l的方程为，整理可得直线l的方程为.4．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用动圆与圆外切，与圆内切可得动圆圆心满足的几何性质，再根据椭圆的定义可得的轨迹方程.（2）根据点中x,y的关系，代入消去x，转化为关于y的二次函数求最值.【详解】（1）设动圆圆心，设动圆的半径为r，由题意有，，消r得到：，动圆圆心P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，故，，故轨迹的方程为：.（2）因为点为（1）所求轨迹上任意一点，则，且，所以，当时，取最大值为.题型【二】、直接法求曲线的轨迹方程直直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。例3、（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意列出方程，化简，即得答案；（2）利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质，求出弦长的表达式，结合题意列式计算，求得k的值，即可得答案.【详解】（1）设动点P的坐标为，则由点，动点P满足，得，化简得，即动点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C为圆心为，半径为2的圆，由于直线与轨迹C交于E，F两点，故到的距离为，则，解得，此时，满足直线与轨迹C交于E，F两点，故直线的方程为或，即或.例4、（2021上·四川成都·高三石室中学校考期末）已知点S是圆上任意一点，过S作x轴的垂线，垂足为H，点T满足，记点T的轨迹为C．(1)求轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴的交点分别为，，与y轴正半轴的交点为B，M是轨迹C上任意一点，且M不在坐标轴上．若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q．试判断的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）设，根据向量关系得到，代入中，求出轨迹方程；（2）先得到，设直线方程为，联立求出，设直线的方程为，联立求出，根据点坐标特点得到，并求出，得出的形状.【详解】（1）设，则，设，因为，则，故，，将代入中，得，轨迹C的方程为；（2）为等腰三角形，理由如下：由（1）可知，，设，则，则，，故，设直线方程为，直线方程为，联立与，可得，，故，直线方程为，直线的方程为，联立与，可得，，故，可以得到，且，则，又因为，故，其中，故，故，综上，为等腰三角形.【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广：椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则，推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足；双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为，则，推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足.1．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知直线，，动点满足，且到和的距离之积为.(1)求的轨迹的方程；(2)已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程；（2）直线斜率不存在时，不合要求，设出的方程为，联立，根据根的判别式得到的取值范围，并设，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，分三种情况考虑，表达出，求出三种情况下的取值范围或最值，得到答案.【详解】（1）到的距离为，又，化简得，即；（2）当过的直线斜率不存在时，直线与双曲线无交点，舍去，故直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，，则，解得，设，，，则，由得，，当，即，解得，此时分别位于双曲线两支上，故，故，即，因为，所以，此时，即两点重合，因为，所以为定值；当，即时，如图所示，此时分别位于双曲线右支上，故，故，即，因为，所以，解得，，故，令，因为，所以，，则，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，当，即时，此时分别位于双曲线左支上，故，故，即，同理可得，令，因为，所以，，则，令，，则在恒成立，故在单调递增，，因为，所以，综上，因为且，所以的最小值为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．题型【三】、参数法求曲线的轨迹方程参数法：参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。例5、（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．（i）求证：为定值；（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）设出点的坐标，利用给定的向量关系，借助坐标代换法求出轨迹方程.（2）（i）求出曲线C的方程，并分别与直线方程联立，求出点的坐标，利用向量共线计算即得；（ii）由（i）的结论求出点的轨迹方程，借助反比例函数图象确定直线、即可计算得解.【详解】（1）设点，则，，由，得，，由P是上的动点，得，即有，整理得，所以点Q的轨迹C的方程为.（2）（i）当时，由（1）知，曲线C的方程为，显然点，在曲线C上，设，直线方程为，直线方程为，由，消去y得，则，，由，消去y得，则，，令点为，，而点共线，即有，，整理得，，化简得，即，观察图形知，直线的斜率同号，即，于是，即，所以为定值为定值3.（ii）设，则，由（i）知，即，整理得，显然函数的图象是函数的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位而得，函数的图象是以x轴、y轴为渐近线的双曲线，因此函数的图象，即点的轨迹是以直线为渐近线的双曲线，此双曲线上任意点到直线的距离分别为，显然，令直线分别为，所以存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．例6、（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，结合中点坐标公式即可求解曲线C的方程为（2）将代入双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线的距离公式求解面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）由于点P和Q分别在直线和上，所以可设，，由，得，所以，根据点P，Q在y轴同侧，得，所以．设，则于是得，即，故曲线C的方程为．（2）设，，把代入，得，故，，，所以，又点O到直线的距离，所以的面积令，则，令，则，因为，所以，由，得，由，得，由，得，当且仅当，即，即，即时等号成立，故面积的最小值为．【点睛】方法点睛：解决解析几何中与面积有关的最值或范围问题的一般步骤：一是求出面积的表达式（常用直接法或分割法）；二是明确自变量及自变量的限制条件（如方程根的判别式大于0等）；三是利用配方法、基本不等式、函数单调性等求出面积的最值或取值范围．1．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.【答案】(1)，双曲线(2)证明见解析【分析】（1）由题意消去后求解，（2）由条件设出和方程，与双曲线方程联立后由弦长公式求解后证明．【详解】（1）由题意知，故，所以E的方程为.由方程得，，所以E是以，为焦点，实轴长为的等轴双曲线.（2）证明：当直线垂直于x轴时，则AB为通径，故；为x轴，此时为实轴长，故，所以.当直线不垂直x轴，设：，：，，与E联立方程，消去x并整理得，因为与E交于两点，故，此时，所以，同理，所以.2．（2024上·贵州贵阳·高三统考期中）圆：与轴的负半轴和正半轴分别交于两点，是圆与轴垂直非直径的弦，直线与直线交于点，记动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)在平面直角坐标系中，倾斜角确定的直线称为定向直线．是否存在不过点的定向直线，当直线与轨迹交于时，；若存在，求直线的一个方向向量；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）设出后，表示出直线、的方程即可（2）先讨论倾斜角为90°的情况，倾斜角不为90°时先设出直线方程，联立后结合韦达定理和，运用坐标运算即可得解【详解】（1）由题意得，设，则直线的方程为，直线的方程为所以轨迹的方程为题型【四】代入法（相关点法）代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。例7、（2022上·甘肃陇南·高二校考期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点.(1)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；(2)过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦点与顶点坐标可得椭圆方程，再利用相关点法可求得点的轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，不成立，当斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而可表示面积，列方程即可解得.【详解】（1）由已知得椭圆的短半轴，焦半距，则长半轴，又椭圆的焦点轴上，则椭圆的标准方程为，设线段的中点为，点的坐标是，由，得，由点在椭圆上，即得，线段中点的轨迹方程是；（2）当直线斜率不存在时，的方程为，此时，因此的面积，不成立；当直线斜率存在时，设该直线方程为，联立方程组，得，，则，，所以，又点到直线的距离，的面积，即，解得.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例8、（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【分析】（1）由相关点代入法求轨迹方程即可；（2）先由特殊位置确定定点在轴上，设定点，由相切求出切点满足的关系式，再由垂直的坐标条件求解.【详解】（1）设，则，由题意线垂直于轴，与交于两点，知，过点且平行于轴的直线方程为：，直线的方程为：，令，得，即，由得，因为在抛物线上，即，则，化简得，由题意知不重合，故，所以曲线的方程为（2）由（1）知曲线的方程为，点在直线上运动，当点在特殊位置时，两个切点关于轴对称，故要使得，则点在轴上．故设，曲线的方程为，求导得，所以切线的斜率，直线的方程为，又点在直线上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，，当时，恒成立，所以存在定点，使得恒成立．1、双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。【解析】设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴∴已知双曲线两焦点为，∵存在，∴由三角形重心坐标公式有，即。∵，∴。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。题型【五】、交轨法交轨法：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。例9、（2023上·北京·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，.(1)求动点的轨迹方程；(2)若直线的倾斜角为，求直线的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由过动点向轴作垂线，垂足为，可得，继而由可得，列式化简即可得到动点的