第一章高等数学（二十六）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第11章概率论与数理统计第一节随机事件的关系及运算1．随机事件（1）随机实验：具有以下3个特点的实验称为随机实验1）实验的可能结果不止一个，并且能明确知道所有可能实现的结果。2）举行实验前不能决定那一个结果会浮上。3）在相同条件下可重复举行。（2）样本空间：随机实验可能浮上的每一个结果称为样本点（基本领件），样本点的全体构成的集合称为该实验的样本空间，通常记为。（3）随机事件：样本空间的任一子集称为随机事件，常用字母A，B，…表示。只含单个样本点的集合称为基本领件，空集为不可能事件，为必然事件。2．随机事件间的关系和运算（1）事件的包含:若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作或.（2）事件相等:若事件A和事件B互相包含，即,，则称这两个事件相等，记作.（3)事件的和（并）：称“两个事件A与B中至少有一个发生”这一事件C为事件A与事件B的和（或并），记作.（4)事件的积（交）：称“两个事件A与B同时发生”这一事件D为事件A和事件B的积（交），记作.（5)事件的差：称“事件A发生而事件B不发生”这一事件E为事件A和事件B的差，记作。注：（6）互不相容（或互斥）事件：若事件A与事件B不可能同时发生,即满意，则称事件A与B互不相容（或互斥）.（7)对立事件：“事件不发生”的事件称为事件的对立事件（或逆事件），记为.且有1）2）.（8）对偶原理（德摩根定律）：【例题11-8】重复举行一项实验，事件表示“第一次失败且第二次胜利”，则事件表示（A）两次均失败（B）第一次胜利且第二次失败（C）第一次胜利或第二次失败（D）两次均胜利解：用表示第次胜利，则，利用德摩根定律，，即事件表示事件表示，故应选（C）。第二节随机事件的概率1．概率的统计定义（1）频率：在相同的条件下，举行了次实验，倘若事件在这次重复实验中浮上了次，则称比值为事件发生的频率，记为，即=（2）频率具有随机波动性和稳定性，频率的稳定值称为概率。2．概率的基本性质（1）若是两两互不相容事件，则.（2).（3）若，则.（4).3．古典概型（等可能概型）（1)古典概型的定义：若随机实验具有以下特点：1）实验的样本空间惟独有限个元素；2）实验中每个基本领件发生的可能性相同。则称实验为等可能概型，也称为古典概型。（2)计算公式:若是实验的样本空间，为的事件，且包含个基本领件，则事件的概率为包含的基本领件的个数）/（基本领件的总数）【例题11-9】将3个球随机地放入4个杯子中，则杯中球的最大个数为2的概率是：（A）（B）（C）（D）解：将3个球随机地放入4个杯子中，各种不同的放法有种，杯中球的最大个数为2的不同放法有种，则杯中球的最大个数为2的概率是，故应选（C）。【例题11-10】则等于：(A)(B)(C)(D)解：，，应选(B).4.条件概率（1）条件概率定义：设为随机实验E的两个事件，，则称为事件发生的条件下，事件发生的条件概率。普通计算条件概率可以有两种主意：一是将看成样本空间，在缩减后的样本空间中计算，二是在原样本空间中由条件概率定义计算。（2）乘法定理：设，则有，或。乘法定理通常用于求积事件的概率。【例题11-11】设与是互不相容的事件，，则下列式子一定成立的是：(A)(B)(C)(D)解：因与互不相容，，所以，应选B。其它三个选项都不一定成立。答案：B5．事件的自立性设是实验的二事件，，普通有，但当时，说明事件的发生对事件发生的概率没有影响，这时称事件与事件自立。由，可得，于是有如下定义：（1）定义：设的随机实验的两个事件，倘若成立，则称事件与事件互相自立。普通地设是随机实验的个事件，倘若满意等式则称互相自立。（2）性质1）若事件与事件互相自立，则与，与，与也分离互相自立。2）倘若个事件互相自立，则有【例题11-12】设有事件和，已知且，则下列结论中准确的是：A．与自立 B.与互斥C． D.解：由，知和互相自立，答案：A【例题11-13】三个人自立地去破译一份密码，每人能自立译出这份密码的概率