2023年江西省赣州市高考数学二模试卷（理科）

2023年江西省赣州市高考数学二模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合P={x∣l<2X<18,xez},Q={y∖y=-x2+4x-l},则PnQ=（）

A.{x∣0<%≤3}B.{x∣0<X<log218}

C.{1,2,3.4）D.{1,2,3）

2.等差数列{a7l}满足a?=—14,α12=-4,则（⅛3=（）

A.5B.7C.9D.11

3.已知复数Z满足∣z+i∣=l（i为虚数单位），则|z—i∣的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.给出下列四个结论：

①曲线2川=X的焦点为0,0）：

（2）“若与是函数/（x）的极值点，则/（Xo）=0”的逆命题为真命题；

③若命题P：<0>则rp：r-ɪ-j-≥0：

2

④若命题p：mx°6R,XQ—x0+1<0,贝Ij*：VX任R,X—%+1≥0.

其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

（2x-y-2≤0

5.设实数x,y满足约束条件卜+2y-ll≤0,则z=χ2+y2-6y+9的最小值为（）

（3x+y-8≥0

A.<5B.IC.5D.y

6.已知数列{<⅞}的前n项和为Sn,满足的=*,αn+1=Sn,则a9=（）

A.1B.2C.4D.8

πι

7.已知曲线y=ex-在％=2处的切线与坐标轴围成的面积为会则m=（）

A.1B.2C.3D.4

8.把正整数集合排列成如图所示的三角阵，在第3列与第5列中各任取一个…“

数，则取到的两个数之积是6的倍数的概率为（）、?’

9.仇章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者

的删补才最后成书.在《九章算术/中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖腌.在三棱

锥P-4BC中，PA_L面ABC,是以4C为斜边的直角三角形，过点4作PC的垂面分别交PB,

PC于D,E,则在P,A,B,C,D,E中任选四点，能构成鳖席的有()

A.4种B.3种C.2种D.1种

10.若函数/(x)=2sin(<υx+9)(3>0,0<a<兀)在脸,专上单调，且满足/(-W)=

ɪzʒɔ

照)=一/(争，则3=()

AWB.JC.§D.居

11.在棱长为4的正方体4BC0-4当口久中，点P满足瓯=49，E,F分别为棱BC,CD

的中点，点Q在正方体ABCO-&BlGDl的表面上运动，满足力IQ〃面EFP,则点Q的轨迹所

构成的周长为()

AqB.<37CqD3

3233

12.已知函数/(X)的图像既关于点(一1,1)对称，又关于直线y=X对称，且当X∈[-LO]时，

f(X)=X2,则f(%=()

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.下表是甲同学在某学期前四次考试中某科的考试成绩X与其所在班级该科平均分y的情

况：

X87859197

y77747984

已知y与X呈线性相关，若甲同学在第五次考试中该科的考试成绩为90,根据回归分析，预计

其所在班级该科平均分为(用数字作答).

14.已知。为锐角，满足siMe+s讥JCoSe—3cos2j=5,则tαnθ=.

15.在平行四边形4BC。中，点E,F分别满足玩=2DE=4EF，BC=2BG，若存=AAE+

μAG>则4+4=-

16.已知双曲线E：盘一'=l（α>0,b>0）的左右焦点分别为Fi，F2,点P在E上，满足△

"PF2为直角三角形，作OMlPFl于点M（其中。为坐标原点），且有两=2而1，则E的离心

率为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

设AABC的内角4、B、C所对的边长分别为a、b、c,且3bcosC=a+3ccosB.

求誓的值；

''tanC

（2）若COSa=奇，且AABC的面积为2,求a的值.

18.（本小题12.0分）

在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,ABLAD,△PAB是以4B为斜边的等腰直角三角形，且平

面PAB平面ABCD,AB=2,AD=DC,二面角D-PB—4的正切值为唱.

（1）证明：平面PBCI平面PAD；

（2）求直线CD与平面PBD所成角的正弦值.

19.（本小题12.0分）

3D打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末

状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.中国的3D打印技术在飞

机上的应用己达到规模化、工程化，处于世界领先位置.我国某企业利用30打印技术生产飞机

的某种零件，8月1日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的

某项质量指标，得到下面的检测结果：

质量指标叵7)[7,8)[8,9)[9,10)[1041)[11,12)[12,13]

频率0.020.090.220.330.240.080.02

(1)根据频率分布表，估计8月1日生产的该种零件的质量指标的平均值]和方差s2(同一组的数

据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标X〜N(〃R2),其中4近似为样本平均数

Overlinex,接近似为样本方差52.

①若P(X≥a)=0.9772,求α的值；

②若8月1日该企业共生产了500件该种零件，问这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最

有可能是多少？

附参考数据：门之2.45,若X〜NO,d),则p(〃—c<χ≤"+o)=0.6827,P(μ-2σ<X≤

μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973.

20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex~1+bxlnx+ax2.

(1)当b=1,α=-l时，讨论g(x)=的单调性；

(2)当b=-l时，是否存在实数α,使/(x)≥αx+1恒成立？若存在，求α的值；若不存在，

说明理由.

21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系XOy中，F1(-1,0),尸2(1,0),点P为平面内的动点，且满足/居。尸2=20，

32

∣∕F11∙∖PF2∖COSΘ=2.

(1)求IPFll+∣PF2∣的值，并求出点P的轨迹E的方程；

(2)过FI作直线，与E交于4、B两点，B关于原点。的对称点为点C,直线AFz与直线CFI的交点

为T.当直线，的斜率和直线OT的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线，的方程.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系Xoy中，曲线C：{y=]+sina(a为参数，且。≤α≤兀).以坐标原点为点，X轴

为极轴建立极坐标系.

(1)求C的普通方程和极坐标方程；

(2)设点P是C上一动点，点M在射线OP上，且满足∣0P∣∙∣0M∣=4,求点M的轨迹方程.

23.(本小题12.0分)

设函数/(x)=IX-II+2∣x+5|.

(I)求函数/(%)的最小值；

(2)若IalV3闻V3求证：∣α+6∣+∣α—6∣</(x).

答案和解析

1.【答案】D

x

【解析】解：由题意可得：P={x∣l<2<18,X∈Z}={x∣0<x<log218,xGZ)={1,2,3,4},

Q={y∖y=-X2+4x-1}={y∖y=-(x-2)2+3]=(y∖y≤3},

所以PnQ={1,2,3}.

故选：D.

根据指数函数单调性求集合4,根据二次函数求集合B,进而可求交集.

本题考查指数函数单调性，以及交集的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：设等差数列{斯}的公差为d,

因为Iod=%2—解得d=1,

所以cι23=αi2+IId——4+11×1=7.

故选：B.

根据等差数列的性质运算求解.

本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：设复数Z在复平面中对应的点为Z,

由题意可得：∖z+i∖=∣z-(-Ol=1,表示复平面中点Z到定点C(0,-l)的距离为1,

所以点Z的轨迹为以C(O,—1)为圆心，半径r=1的圆，

因为IZ-i∣表示表示复平面中点Z到定点8(0,1)的距离，

所以IZBl≤∣BC∣+r=2+l=3,即∣z—i∣的最大值为3.

故选：C.

根据复数的几何意义结合圆的性质分析求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：对于①，由2y2=χ,得丫2=；%,所以其焦点为g,0),故①正确;

对于②，“若久。是函数/(x)的极值点，则/'(X。)=0”的逆命题为

若/'(4)=0,则称是函数f(x)的极值点，

若/(x)=X3,则f'(%)=3x2≥0,所以函数f(x)=久3为增函数，

而((0)=0,所以x=0不是函数”乃=%3的极值点，

所以“若&是函数f(x)的极值点，则/(g)=0”的逆命题为假命题，故②错误;

对于③，命题P：工_1V即0V%V

1

X≥或X<O

「P

2--

而不等式Σ⅛20的解为X>T或X≤°，故③错误；

对于④，若命题p：3x0∈R,%o—X0+1<0,则-∣p:VxeR,/—χ+ι2。，故④错误，

所以正确的个数为0个.

故选:A.

将抛物线方程化为标准方程即可求出其交点坐标，即可判断①；举出反例，如/(X)=X3,结合极

值点的定义即可判断②；根据分式不等式的解法即可判断③；根据存在量词命题的否定为全称量

词命题即可判断④.

本题考查抛物线的几何性质，利用导数研究函数的极值，含一个量词命题的否定，化归转化思想，

属中档题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意画出可行域，如下图,

Z=X2+y2-6y+9=%2+(y-3)2,表示可行域中一点(Xy)与O(0,3)之间距离的平方,

则。(0,3)到直线3x+y-8=0的距离的平方为Z的最小值,

则d=篝=苧，所以ZjnijI=(3A=|・

故选:B.

由题意画出可行域，Z表示可行域中一点(x,y)与D(0,3)之间距离的平方，由图可知D(0,3)到直线

3x+y-8=0的距离的平方为Z的最小值，求解即可.

本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：因为αn+ι=Sn,则%+I-Sn=Sn,整理得与+ι=2Sn,

且Sl=α1=±≠0,所以数列｛S“｝是以首项Sl=ɪ,公比q=2的等比数列，

则Sn=£x2时1=2nf

2

所以的=S8=2=4.

故选：C.

根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列｛Sn｝是以首项Si=*，公比q=2的等比数列，结合

等比数列运算求解.

本题主要考查数列递推式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意可得：y=ex~m,y'=ex~m,则y∣χ=2=e2-m,y%=2=e2-rn,

即切点坐标为(2,e2-m),斜率k=e2→n,

切线方程为y—e2~m=e2~m(x—2),

令χ=0,解得y=-e2-%即切线与y轴交点坐标为(0,_e2-m)；

令y=0,解得X=1,即切线与X轴交点坐标为(1,0)；

可得与坐标轴围成的面积：×1×∣-e2f∣=与=|,解得Tn=1.

故选：A.

求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而求切线与坐标轴的交点，根据题意列式求解即可.

本题考查利用导数求函数的切线，方程思想，化归转化思想，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可得：第3列的数依次为5,6,7,8,9,共5个；第5列的数依次为17,18,

17,20,21,22,23,24,25,共9个；

若第3列与第5列中各任取一个数，如下表，

171819202122232425

5向√由0团0团√圈

6V√V√V√√√√

7团√⑦Ξ⑦冈伺√El

8目√Ξ√团山√EI

9团√团√团√皆√0

共有5×9=45种,

若两个数之积是6的倍数，共有2+9+2+3+4=20种，

所以取到的两个数之积是6的倍数的概率P=黄=9

故选：C.

根据题意利用列表法处理古典概型.

本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于基础题.

9.【答案】A

【解析】解：根据题意作出图象:

在三棱锥P-ABC中，PaI面ABC,

因为4B,AC,BCU面4BC,

所以Pal4B,PA1AC,PA1BC,

△ABC是以ZC为斜边的直角三角形，

所以ABIBC,PAΩAB=A,PA,ABU平面P4B,则BCJL平面P4B,

PBU平面PA8,所以BC_LPB,所以四面体PABC四个面都为直角三角形，能构成鳖膈:

过点A作PC的垂面分别交P8,PC于。，E,所以Pel平面40E,

所以AELDElACu5FjSUDE,则力EIPC,DE1PC,ADɪPC,

因为BC_L平面PAB,ADU平面PAB,

则BCIaD,ADJLPC,BCCPC=C,

BC,PCU平面PBC,

所以ADI平面PBC,DE-LPBU平面PBC,

所以力。1DE,AD1PB,

所以四面体PADE四个面都为直角三角形，

即四面体PAOE是一个鳖臊；

同理四面体ABCD,ACCE都是鳖蠕.

故选：A.

根据题意找出四个面都是直角三角形的四面体即可.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：函数/⑸在强争上单调，则彳≥与一雪=工，可得7≥.,

因为八冶）=4），且合（冶）=∕<r,

所以/（x）的对称轴为X=当鱼ɪ-ɪ,

又因为个）=—/（争，且〃X）在送,争上单调，

所以/（x）的对称中心为（孝,°）,即砥,0），

注意到对称轴为X=与对称中心（工,0）相邻，可得J=⅛-（-⅛=ɔ

则T=奇=2兀，且3>0,解得3=1,

因为/（%）的对称轴为%=-ɪ,则一色X∖+（P=kττ+^,kEZ,

解得@=∕σr+*,A∈Z,

且O<<p<兀，取％=0,则（P=工.

故选：D.

根据题意结合三角函数的性质分析可得r≥%,对称轴为X=-与对称中心为（驾,0）,运算求解

即可.

本题考查三角函数的性质，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：延长4D,AB,交EF的延长线与H,G,连接PG,PH,分别交DDl于R,T,

过点必作4K〃PG交BBl于点K,过点4作4N〃P，交DDI于点N,

因为AlKC平面EFP,PGU平面EFP,所以&K〃平面EFP,

同理可得AN〃平面EFP,因为AiKn&N=&,

所以平面EFP〃平面&KN过点N作NM〃/IK交CG于点M,

连接MK,则MK〃&N则平行四边形&KMN点除外）为点Q的轨迹所构成的图形，

因为正方体棱长为4,E,尸分别为棱BC,CD的中点，

AA1=4AP，所以4P=1.BR=DT=g,

因为AlP=KR=NT=3,所以BIK=Z）IN=4-3—右=3

Q

过点N作N/1CCI于点/,则CJ=D1N=

则由几何关系可知=BIK=|,所以CIM=I÷I=|,

22

由勾股定理得41K=A1N=MN=MK=√NJ+JM=J16+g=K卫，

所以点Q的轨迹所构成的周长为史M∙

B

故选：D.

作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.

本题考查空间几何体的性质，考查轨迹问题，属中档题.

12.【答案】B

【解析】解：用0表示函数y=f(x)的图像，对任意的沏∈[-1,0],

令y0=xo9则(XoJo)W。,旦y0θ[0/1]»

又函数f(%)的图像既关于点(一1,1)对称，且关于直线y=%对称，

所以(yθ1%o)Wθ则(一2-Vo,2—%o)∈/2，则(2一%。,一y0一2)∈Q

则(-4+XQ,4+y0)∈Ω»则(4+y0,—4+XO)∈Ω»

令4+y0=7,即y()=此时&=或XO=X舍去)，

此时—4+X0=-4+(―ɪ)=—2,

即(％-Q∈O,因此/(9=-∣.

故选：B.

用。表示函数y=∕(x)的图像，设(XO,y°)e0根据中心对称性与轴对称性，得到(-4+x0,4+

yθ)∈Ω›令4+y0=?,求出y0,即可求出x0,即可得解.

本题考查了抽象函数的对称性，也考查了逻辑推理，属于难题.

13.【答案】78.5

【解析】解：依题意7=*87+85+91+97)=90,亍=；(77+74+79+84)=78.5,

因为回归直线方程必过样本中心点Gj),即必过(90,78.5),

所以当甲同学在第五次考试中该科的考试成绩为90时，可预计其所在班级该科平均分为[55X

0.005+65×0.025+75×0.02+85X0.03+95×0.02]×10=78.5.

故答案为：[55X0.005+65×0.025+75×0.02+85×0.03+95×0.02]×10=78.5.

求出春y,根据回归直线方程必过样本中心点GJ),即可判断.

本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题.

14.【答案】2

【解析】解：因为Sin2。+sinθcosθ-3cos2θ=s«0+s联。s"3c*e=处笋n好=|

si√0+cos2Θtanz⅛+l5

整理得2t0"2g+stanθ-18=0,解得tern。=2或tern。=-∣,

又因为。为锐角，

则S九8>0,

所以tan。=2.

故答案为：2.

根据齐次式法运算求解即可.

本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题.

15.【答案】7

O

【解析】解：以｛四,同｝为基底向量,

--->,>>R■>>>>>1,>>>>,,>>1>

AF=AD+DF=^AB+ADtAE=AD-VDE=^AB+ADtAG=AB+BG=AB+^ADt

因为彳？=A芯+〃南，

I_...,.......’1“一”,......>...i.1”■一””,1.――,1一…”,

BPΛF=λAE+μAG=λ(^AB+AD)+μ(<AB+^AD)=()+〃)AB+(A+F)AD,

3

lɪλ÷

⅛-〃-

24

可

1两式相加的5U+4)=T可得4+4

lλ÷-1

2〃

7

答

为

故⅛

:-

6

以｛荏,而｝为基底向量，求通,荏,同，结合平面向量基本定理分析运算.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题.

16.【答案】今N

【解析】解：由题意可知：显然4PF∕2≠90°，

若ZFlPF2=90°,贝IJoM〃/3Fz,

X

因为。为FIF2的中点，则点M为PFl的中点，这与丽=2而（I相矛盾，不合题意；

,212??oɔ

所以NPF2尸1=90°,可得∣PF2∣=?,IPFll=2a+^∙=^^-^,∖MF1∖=WIPFll=

（j2+c2

因为APF1F2~AOF1M,则鬻jɪ=鬻|，即∙⅛∙=N^,

1z1

∖PF∖IIoblla"+"C

a

整理得e2-Ce+1=0,解得e=%C或e="尹<1（舍去），

所以E的离心率为求*.

故答案为：匚竽I

根据题意分析可得NPFzFi=90。，根据双曲线的定义结合通径以及三角形相似列式求解即可.

本题主要考查了双曲线的性质，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由正弦定理可得:3sinBcosC=SinA+SsinCcosB,

由Sma=Sin(B+C),所以3s)8cosC=SinBcosC+CosBsinC+3sinCcosB,

整理可得：SinBcosC=ZsinCcosB,所以CQTIB=2tanC,

故誓=2；

tanC

(2)由CoS4=得，SiziA=3^θ10>于是tατM=3,

tanβ+tanC

又tanA=—∩(B+C)=

tal-tanBtanCf

再结合（I）可得：3=-二累：五,则2tα∏2c—tαnC-1=0,

解得：tanC=1或CcmC=—夫舍去），

所以t0zιB=2tcmC=2,则C=45。，sinB=ɪ,

QbQbɔ/—ɔ

由正弦定理可得：而ξ=而=任=壬，则b=当α,

"ɪ~3

〔r__

由=2得Qb=4√-2,

所以α=y∕~6∙

【解析】（1）由正弦定理和两角和的正弦定理化简已知式，即可得出答案；

（2）由同角三角函数的基本关系求出Si几4,tanA,由两角和的正切公式可求出temC=1,则ternB

2,即可求S勿8,再由正弦定理和三角形的面积公式代入计算即可得出答案.

本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

18.【答案】解：⑴因为平面PAB1平面力BCZ),平面24Bn平面ABCC=

AB,AB1AD,ADU平面ABC0,

所以4。1平面P4B,

又因PBU平面PAB,所以ADlPB,

因为△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以PB1PA,

又PAnAO=4，PA,AoU平面P40,

所以PB，平面P4D,

因为PBU平面PBC,

所以平面PBC1平面P4D；

(2)由(I)得PB1.24,PB1PD,

则ZAPO即为二面角。-PB-4的平面角,

在等腰直角APHB中，AB=2,贝∣JP4=PB=√^1,0P=1,

在RtAPAC中，tan4AP0=笑=空，则AD=I=CD,

PA2

取AB的中点。，连接OP,OC,则OPIaB,OA=CD,

因为4B〃C。，ABLAD,所以四边形4。CD为矩形，故OCI4B,

因为平面/MB_L平面4Be0,平面PABn平面4BC0=4B,OP1AB,OPU平面Λ4B,

所以。P，平面ABCD,

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

则P(0,0,l),B(IoO),C(O,1,O),。(一1,1,0),

故前=(-1,0,1),BD=(-2,1,0),DC=(1,0,0)>

设平面PBD的法向量为元=(x,y,z),

则有空―X+Z-θ>令X=1,则y=2,z=l,所以元=(1,2,1),

(71∙BD=-2x+y=0

则3(元，函=⅛⅞=7⅛=?'

所以直线CD与平面PBD所成角的正弦值为华.

6

【解析】(1)根据面面垂直的性质可得AD1平面PAB,从而有ADJLPB,再根据线面垂直的判定定

理证明PB，平面PaD,再根据面面垂直的判定定理即可得证；

(2)由PBd.PA,PB1PD,可得乙4PC即为二面角C-PB-A的平面角，从而可求得AD,取AB的

中点0,连接OP,0C,根据面面垂直的性质可得OPI平面ABCD,以点。为原点建立空间直角坐

标系，利用向量法求解即可.

本题考查利用空间向量法解决线面角问题相关知识，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由题意可得：x=6.5×0.02+7.5X0.09+8.5×0.22+9.5X0.33+10.5X

0.24+11.5×0.08+12.5X0.02=9.5,

2222

S=(6.5-9.5)2X002+(7.5-9.5)×0.09+(8.5-9.5)X0.22+(9.5-9,5)X0.33+

(10.5-9.5)2×0.24+(11.5-9.5)2X0.08+(12.5-9.5)2X0.02=1.5

(2)由(I)可得：μ=X=9.5,σ2=1.5,σ=√1.5=2≈1.22,

即X〜N(9.5,1.5).

①因为P(X≥μ-2σ)=i÷∣P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9772,

所以α=〃-2<τ=9.5-2X1.22=7.06.

②由①可知：P(X≥7.06)=0.9772,

设这500件零件中质量指标不少于7.06的件数为丫，则Y〜8(500,0.9772)，

ksoo-k

可得P(Y=k)=Cξ00X0.9772×(1-O.9772),fc=0,1,-,500,

4JP"=k)≥P(Y=k+l)

YIP(Y=k)≥P(Y=k-iy

FIJfC%Xθ∙09772k×(1-O.9772)so°-fc≥C龈X0.9772k+1×(1-0.9772)4"-fc

kk1501k

'(C⅛oX0.9772×(1-0.9772)5。"">ck-ιXo.9772^×(1-0.9772)^'

解得488.62≤k≤489.58,

且k∈N,则k=489,即当々=489时，概率最大，

所以这500件零件中质量指标不少于7.06的件数最有可能是489.

【解析】(1)根据题意结合平均数和方差的公式运算求解；

(2)①根据正态分布的性质运算求解；②根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可..

本题考查平均数与方差的概念，二项分布的概率，不等式思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)当b=l,a=-1时,则/(x)=ex-1+xlnx-x2,g(x')=竽=?+Inx-％，

1

可得g(X)的定义域为(O,+8),g，Q)=α?XT+i-ι=a-*；",

构建0(%)=e*τ-%>0,则d(%)=e*T-l,x>0,

令d(x)>O'解得X>l;令w'(x)<0,解得O<X<1;

则WX)在(1,+8)上单调递增，在((U)上单调递减，

可得MX)≥9(1)=0，当且仅当X=I时，等号成立

当x>l时，%-1>O,ex~1-X>0,则d(X)=(XT)(：TT)〉0；

x1

当0<X<1时，x-l<0,e--1>0,则“(x)=(XT)T)<0.

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减.

(2)不存在，理由如下：

当b=-1时.，则f(x)=ex~1—xlnx+αx2,

x12

构建g(%)=/(%)—ax-1=e~—xlnx+ax—ax—I9

则g'(%)=e"T—Inx+2ax2—α—1,

注意到g(l)=0,由题意可得g'(l)=Q=0,

当Q=0时,则g(%)=ex~1—xlnx—1,g'(x)=ex~1—Inx—1,

构建九(%)=g'(x),则九'(工)=ex~1-p

可知∕√(x)在(0,+8)上单调递增，且Zf(I)=0,

当%>1时，h,(x)>0；当0<X<1时，h!(x)<0；

则八(%)在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减，可得九(E)≥∕ι(l)=0,

即g'(%)≥O在(O,+θo)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

当％∈(0,1)时，则g(x)<g(l)=0,不合题意；

故不存在实数a,使/(%)≥αx+1恒成立.

【解析】(1)求导，利用导数判断原函数单调性；

(2)构建g(%)=/(x)-ax-1,注意到g(l)=0,可得g'(l)=0,求得α,再代入g(x)检验即可结

果.

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能

力及运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)①当28≠0时，在^PF∕2中，由余弦定理可得：

222

∣F1F2∣=IPFlI2+∣PF2∣-2∣PF1∣∙∣PF2∣∙cos2θ,则∣F∕2∣2=(IPFll+∣PF2∣)-2∣PFll•

∣PF2∣(1+COS2Θ),

2

所以4=(IPaI+IPF2D-4∣PF1∣∙∖PF2∖cos2θ=(IPFIl+∖PF2∖Y-8,

所以PFll+IPF21=2y∏>

②当20=O时，点P在久轴上，不始设点P在X轴的正半轴上，则PFll-IPF2∣=2,

∣PF1∣∙∣PF2∣=2,由PF/+∖PF2∖=√QPF1∖-∖PF2∖y+4∖PF1∖=2，3，

综上：∖PF1∖+∣PF21=2y∏,

因为PFll+∣PF2∣=2Λ∕~3>∣F1F21，所以点P的轨迹是以RF?为焦点且长轴长为2/耳的椭圆,

a=y∕~3,b=y[~2,c=1,故点P的轨迹E的方程为：≤+^=l;

(2)设，的方程为％=my—1,代入E的方程得：(2m2+3)y2—4my—4=0>

z=,

设A(Xl,yι),B(X2,月)，则y[+)2=2降+3,71-y22m2+3

点B关于原点。的对称点为C,知。(一小，一丫2)，

7n

直线4尸2和CFl的方程为：X=m1y+1,x~m2y—1,其中ι==用士

2

由τ∏ιy+1=m2y-1得y=而有，

从而X=鬻*，所以7(詈产，9=血1)，

r∏2-^m]τn↑m2

所以直线OT的斜率k=工，

2χn"y22（1+2）

而7∏1+m2=丫丫=2