5-数的整除之性质与求法强化篇

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页数的整除之性质与求法数的整除之性质与求法1．整除的定义所谓“一个天然数a能被另一个天然数b整除”就是说“商是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个天然数c，使得abc。这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“b|a”。2．常用的数的整除特征常用的异常天然数的整除特征⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证实以上两个系列的性质。假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x，那么该数1000xabc，因为8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕。⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除我们以三位数为例来证实被9整除只需看各位数字之和这一性质。假设该三位数为abc100a10bc(99a9b)(abc)，很显然第一个括号里的数是9的倍数，因此只要abc，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。推广到随意位数的天然数，该证实主意依然成立，请大家自己尝试一下。⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现711131001，正巧比1000大1，由此我们可以得到如下证实：和2系列的证实类似，我们依然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证实的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abcx能否被7，11，13整除。因为该数1000xabc1001x(abcx)，又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abcx能否被7，11，13整除，证毕。异常的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然。3．整除的性质⑴传递性若c|b，b|a，则c|a⑵可加性若c|a，c|b，则c|(a±b)【例1】173□是一个四位数。数学教师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，所得到的3个四位数依次可被9，11，6整除。”问：数学教师先后填入的3个数字的和是多少？【拓展】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。⑴请随意填出一种，并检查自己填的是否准确；⑵一共有多少种满意条件的填法？【例2】(2008年全国小学数学资优生水平测试试题)资优测试测优资是一个七位回文数，其中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。已知这个七位数第1位能被2整除，前2位组成的2位数能被3整除，前3位组成的3位数能被4整除，…，前7位数组成的七位数能被8整除。那么资优测试测优资。【巩固】用1，2，3，4，5，6组成一个六位数ABCDEF，要求AB是2的倍数，ABC是3的倍数，ABCD是4的倍数，ABCDE是5的倍数，ABCDEF是6的倍数，那么这样的六位数有多少个？【例3】从5、6、7、8、9五个数中取出三个数字组成被18整除的三位数，这样的三位数有几个？分离是？【巩固】已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？【例4】已知两个三位数abc与def的和abcdef能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除。【巩固】倘若abcde能被6整除，那么2(abcd)e也能被6整除。【例5】三位数的百位、十位和个位的数字分离是5，a和b，将它延续再重复写2008次成为：5ab5ab…5ab。倘若此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？2009个5ab【巩固】一个19位数77…77○444…44能被13整除，求○内的数字。9个9个〖答案〗【例1】19【拓展】⑴43326，⑵12【例2】4285824【巩固】2【例3】两个576，756【巩固】200731212【例4】abcdefabc1000defabc999(abcdef)因为999能被37整除，所以abc999能被37整除而(abcdef)也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef能被37