2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数

学试卷

一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共4（）分。每小题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题目要求）

1.（5分）设Z=+2i,则z,2=（）

1

A.0B.1C.-D.2

4

2.（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少

50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高

一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）

A.80B.96C.108D.110

3.（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中

国妇女发展纲要（2011-2020年）》（以下简称（《纲要》）.《纲要》实施以来，我国积极

推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到

有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十

三届（2018年）全国委员会中有女委员440人.第一到十三届历届全国人大女代表、政

协女委员所占比重如图：

历届全国人大女代表、政协女委员所占比'K

%

四五六七八九卜十一卜二卜三届

一*一女代表女委员

下列结论错误的是（）

A.第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点

B.第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上

C.从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%

D.第十三届全国人大代表的人数不高于3000人

4.（5分）设非零向量工，的夹角为。，定义运算Z/=向•山I∙s讥。.下列叙述错误的是

（）

A.若a*b=0,则αIlb

B..α*(ð+c)=α*ð+ɑ*c(K为任意非零向量)

C..设在AABC中，AB=a,AC=b,则2SfBc=3*b

D..若IaI=IbI=1,则G*b）r∏ɑx=l

5.（5分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,若be=4百，SinA+2SinBCoSC

=0,则AABC面积的最大值为（）

A.1B.√3C.2D.2√3

6.（5分）如图，四棱锥P-ABC。的外接球的球心为0,其中底面ABCD为正方形，若平

1

面ABCD过球心。，且∕PM=45°,tan∕PAC=右则异面直线以，CO所成角的余

7.（5分）有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取两次，每

次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球

的数字之和是6"，则（）

A.甲与丙相互独立B.乙与丁不相互独立

C.甲与丁相互独立D.乙与丙相互独立

8.（5分）如图，正方体ABeD-A181C1。中，AN=NA1,AζM=MD1,彘=咸C,当

直线Od与平面MNE所成的角最大时，入=（）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多

个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

（多选）9.（5分）给定组数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则这组数据的（）

O

A.中位数为3B.方差为g

C.众数为2和3D.第85%分位数为4.5

（多选）10.（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选

项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分已知某道多项选择题

的正确答案是ABC,且某同学不会做该题，下列结论正确的是（）

1

A.该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是5

4

B.该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是一

11

1

C∙该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是一

4

4

D.该同学随机选择选项，能得分的概率是：

15

（多选）11.（5分）如图，直角梯形ABCD,AB//CD,AB±BC,BC=CD=∣AB=1,E

为AB中点，以。E为折痕把AQE折起，使点A到达点P的位置，且PC=√5,则（）

A.平面PEQ_L平面EBCQ

B.PC与平面PEz）所成角的正切值为√Σ

Tt

C.二面角P-QC-3的大小为一

4

D.PCLED

（多选）12.（5分）设aABC的内角A,B,C所对的边分别为a,h,c,下列结论正确的

是（）

Tr

A.若〃=1,b=2,则A可以是三

B.若4=[,a=l,c=√3,则b=l

C.若aABC是锐角三角形，a=2,匕=3,则边长C的取值范围是（西，√13）

D.⅛sin2A≤sin2B+sin2C-sinAsinC,则角A的取值范围是（0,金

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）设复数Z满足IZl=IZ-2-24，则IZl的最小值为.

14.（5分）如图，在AABC中，AN=^NC,P是线段BN上的一点，^AP=mAB+^AC,

则实数Zn=.

15.（5分）在正三棱柱ABC-4B∣Cι中，D,E,F分别为AiBi,BICi，G4的中点，AB

=2,例为80的中点，则下列说法正确的是.

①AF,BE为异面直线；

②EM〃平面AOF；

③若BELCF,则A4=孝；

④若∕BEC=60°,则直线4C与平面BCCIBl所成的角为45°.

16.（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场A8C,NA8C=90°,且

在广场外修建一块三角形草地BC。，满足BO=2,CD=].

①若=*则AD=；

②欲使A、。之间距离最长，则CoSNBoC=.

C

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文

字说明过程或演算步骤)

17.(10分)已知向量Z=(1,√3),b=(-2,0).

(I)求之一甘的坐标以及Z—％与之之间的夹角；

1TT

(II)当f∈［-l,］］时，求佃一班|的取值范围.

18.(12分)随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将

A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.

(1)求”的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数：(结果用小数表

示，小数点后保留两位有效数字)

(2)现按照分层抽样的方法从年龄在［40,50)和［60,70J的投资者中随机抽取5人，再

从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在［60,70］的概率.

19.(12分)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为mb,c,已知(ɑ2-卅+c2)tcmB=√3αc.

(1)求角B的大小；

(2)当角8为钝角时，若点E满足族=2R，AB=√3,BE=I,求BC的长度.

20.(12分)为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，

每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在

53

第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为7-；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概

65

23

率分别为1甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(I)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

21.(12分)如图，在等腰直角BC中，∕A8C=90°,腰长为2,尸为aA8C外一点,

NBPC=90°.

(1)若PC=√3,求以长；

(2)若NAPB=30。，求tan∕P8A.

22.(12分)己知在长方形ABC。中，AD=2AB=2√2,点E是AO的中点，沿8E折起

平面ABE,使平面ABE_L平面8C£)E.

(1)求证：在四棱锥A-BCDE中，AB1AC；

(2)在线段AC上是否存在点F,使二面角A-BE-F的余弦值为为孚？若存在，找出

13

点厂的位置；若不存在，请说明理由.

D

BB

2022-2023学年湖南省长沙麓山国际实验学校高二（上）入学数

学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分,共40分。每小题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题目要求）

1.(5分)设Z=:fɪ;+23则z∙2=()

1

A.0B.1C.-D.2

4

l-iɪɔ.(l-02ɪɔ..ɪɔ..

【解答】解:z=T+l+2t=(i+0(l-0+2ι=-ι+2ι=ι,

则Zz=i∙(―i)=1.

故选：B.

2.（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少

50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高

一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）

A.80B.96C.108D.110

【解答】解：设高二X人，贝Ux+x-50+500=1350,x=450,

所以，高一、高二、高三的人数分别为：500,450,400

因为拦=三，所以，高二学生抽取人数为：450×⅛=108,

5002525

故选：C.

3.（5分）为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中

国妇女发展纲要（2011-2020年）》（以下简称（《纲要》）.《纲要》实施以来，我国积极

推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到

有力保障和加强.2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十

三届（2018年）全国委员会中有女委员440人.第一到十三届历届全国人大女代表、政

协女委员所占比重如图：

-Mi全国人大女代表、政协女委员所占比币:

%

ʊ.t

一二三四五六七八九十十一十二十三届

一♦一女代表女委员

下列结论错误的是()

A.第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点

B.第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上

C.从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%

D.第十三届全国人大代表的人数不高于3000人

【解答】对于A,第十三届全国人大女代表所占比重为24.9%,

第十一届为21.3,提高3.6个百分点，故A正确；

对于第十三届全国政协女委员所占比重为20.4%,第四届为9%,

提高11.4个百分点，故B正确；

对于C,从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为：

—(6.7+11.4+8.1+9.0+13.1+12.8+13.9+13.7+ɪ5.5+16.7+17.7+17.8+20.4)%=13.6%,高于

13

12%,故C错误；

724

对于。，第十三届全国人大代表的人数约为——≈2979A,不高于3000人，故。正

0.249

确.

故选：C.

(分)设非零向量工而勺夹角为。，定义运算蜘•山。.下列叙述错误的是

4.5Z/=I∙sin

()

A.若a*b=0,则α||b

B..a*(b+c')=a*b+a*c(C为任意非零向量)

C..设在AABC中，AB=a,AC=b,则=

D..若Ial=Ibl=I,则(α*b)7nαx=l

【解答】解：对于选项A,定义运算％*b=而I•闻∙s讥氏又若3*b=0,则sinθ=O,

即θ=0,即京^同向共线，即M人即选项A正确；

对于选项B,不妨取b=-cf且Q1b,则Q*（b+c）=α*b+Q*c（C为任意非零向量）

显然不成立，即选项B错误；

TTTTITTTT

对于选项C,设在AABC中，48=a,AC=b,则SAABC=∕∣α∣∣b∣s讥仇则25&谢=a*b,

即选项C正确；

对于选项D,若Ial=Ibl=1,又α*b=∣α∣∙∣fe∣∙sinθ,sinθ∈[O,1],则（α*b）max=1,

即选项。正确，

故选:B.

5.(5分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,若be=4√5,SinA+2SinBCOSC

=0,则AABC面积的最大值为（）

A.IB.√3C.2D.2√3

【解答】解：∙.∙sinA+2sinBcosC=0,

'α+2bx≡⅛⅛^=0,化简得"+/Ac?=。，即展平，

由余弦定理知,

.∙.0<¼≤*

.∖sinA∈（0,5

-11

/.ΔABC的面积S=2bcsinA≤不be=遮.

故选：B.

6.（5分）如图，四棱锥P-ABCz）的外接球的球心为O,其中底面ABC。为正方形，若平

面ABCO过球心0,且NPBQ=45°,tanZPAC=ʌ,则异面直线∕¾,CD所成角的余

弦值为（)

√103√10

C.—D.

IO10

【解答】解：•；四边形ABC。为正方形,

・・・A3〃C。，.∙∙N∕½3即为所求异面直线与CD所成角,

由14R

P∕+pc2=4R2,tan乙PAC=）可得PA=AB=√2R,

又NPBD=45°,

：.PB=PD,：.P01.BD,：.PB=√2∕?,

2R

C.cosZPAB=^p-=√10

42R~∙

故选：B.

7.(5分)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回的随机取两次，每

次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二次取出的球

的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球

的数字之和是6"，则()

A.甲与丙相互独立B.乙与丁不相互独立

C.甲与丁相互独立D.乙与丙相互独立

【解答】解：设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为尸(A),P(B),P(C),P(D),

1AAς1

则尸(A)=P(B)=F，P(C)=FTTF=oς,P(D)=rr=F>

ɔɔ^ɔ4Dɔ^vɔɔ

对于A,P(AC)=0≠P(A)P(C),...甲与丙不是相互独立事件，故A错误；

11

对于B,P(M)=*=表=P(B)P(D)乙与丁相互独立，故3错误；

ɔXɔ乙5

11

对于C,P(AZ))=*=表=P(Z)P(D),；.甲与丁相互独立，故C正确；

ɔ^ɔ乙J

对于。，P(BC)=⅛=⅛≠P(B)P(C),.•.乙与丙不相互独立，故。错误.

故选：C.

8.（5分）如图，正方体ABCf>-AIBICIOI中，AN=NA1,A^M=MD1,B^E=λB^C,当

直线。G与平面MNE所成的角最大时，入=()

【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCn-AIBICIDI的棱长为1,

TTTlITl

.∙.B]E=入BIC=入(7,0,-1),E(I-入，1,1-入)，MN=(”，-ɪ),ME=(--λ,

1,-入)，

设平面MNE的一个法向量为£=(x,yfz),

则匕®V=O,卜X2z~0,令X=I,可得£=(1,2λ-∣,1),

'-n∙ME=0((]-2)x+y-z=0

又血=(0,0,1),

设直线DD\与平面MNE所成的角为θ,

→T

则sin。=∣cos<n,DD1>∖=4空∣=∣1,

ImIDDllJ(2Λ-∣)+2

当2人一2=0,即入=⅛t,sin。有最大值，即直线。Z)I与平面MNE所成的角最大.

L4

故选：C.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的四个选项中，有多

个选项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分）

（多选）9.（5分）给定组数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则这组数据的（）

8

A.中位数为3B.方差为g

C.众数为2和3D.第85%分位数为4.5

【解答】解：将数据从小到大排序为1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,

3+3

故中位数为---，故A正确；

2

数据中2,3,出现次数最多，.∙.众数2和3,故C正确；

方差为上[（1-3）2+（2-3）2×3+（3-3）2X3+（4-3）2+（5-3）2×2]=∣,故B

105

正确；

第85百分位数是数据中至少有85%的数据小于或等于该数，

二从小到大第9个数字5为该组的第85百分位数，故D错误.

故选：ABC.

（多选）10.（5分）在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选

项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分已知某道多项选择题

的正确答案是ABC,且某同学不会做该题，下列结论正确的是（）

A.该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是:

、4

B.该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是K

11

C.该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是:

4

4

D.该同学随机选择选项，能得分的概率是T

175

【解答】解：该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为A,B,C,D.

随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD.

随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为A8C,ABD,ACD,BCD.

随机选四个选项，共有1个基本事件，即ABCD

仅随机选一个选项，能得分的概率是士故A错误.

4

随机至少选择二个选项，能得分的概率是*-=土，故B正确.

6+4+111

仅随机选三个选项，能得分的概率是3故C正确.

4

3+3+17

随机选择选项，能得分的概率是，一=工,故。错误.

4+6+4+115

故选：BC.

（多选）11.（5分）如图，直角梯形ABCD,AB//CD,ABlBC,BC=CD=^AB=∖,E

为AB中点，以。E为折痕把AQE折起，使点A到达点P的位置，且PC=√5,则（）

A.平面PED_L平面EBCD

B.PC与平面PE。所成角的正切值为√Σ

Tt

C.二面角P-OC-8的大小为一

4

D.PCLED

【解答】解：对于4,"：AB//CD,BCLAB,CD=BC=^AB=BE,

四边形BCQE是正方形，J.DEVAE,DELBE,

故翻折后。E_LPE,,：PE=AE=I,EC=√2,PC=√3,

.,.PE1+EC1=PC2,故PE_LEC,XDEQEC=E,DE.ECc5FffiBCDE,

.,.PE，平面BCDE,又PEU平面PDE,

：.平面PEQ_L平面BCDE,故A正确，

对于B,由CZ），平面PDE可得NCPD为PC与平面PDE所成角，

AtanZCPD==ɪ=ɪ,故3错误.

对于C,由PE_L平面Ba）E可得PE_LC£>,又CDLDE,PECDE=E,

：.CD-L平面PDE,故COJ_P。，

ZPDE为二面角P-DC-B的平面角，

,."PE=DE=∖,PEA-DE,；.NPDE=%故C正确；

对于。，：£>E〃BC,二NPCB为异面直线PC与。E所成的角，

'：DEYPE,DE1.BE,PECBE=E,PE、BEu平面PBE,ΛDE±5F≡PBE,

：.DEA.PB,XDE//BC,.,.BC-LPB,

.∖ZPCB<^,故。错误;

故选：AC.

（多选）12.（5分）设448C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列结论正确的

是（）

n

A.若。=1,b=2,则A可以是三

B.若A=J，α=l,c=√3,则。=1

O

C.若aA3C是锐角三角形，a=2,b=3,则边长C的取值范围是（通，√13）

D.若sin2A≤sin2B+sin2C-sinΛsinC,则角A的取值范围是（0,刍

【解答】解：对选项A,~Γn=-T-∑y解得SmB=W>1,故A错误；

sm-SinB

3

对选项B,l=62+3-2×6×√3×^,解得人=1或人=2,故B错误.

对选项C,因为aABC是锐角三角形,

‘b2+c2-a2

COsA-----ɔ-r----->0

2bcp+c2-4>0

整理可得14+C2-9>0,解得√^VC<√T5,

所以<CosB=U——>0,

2ac

(4+9-C2>0

乐+庐一

cosC=—ɔ-r—>0

I2ab

故C正确.

对选项D,因为sin2A≤sin2θ+sin2C-SinASinC,

ɪʌ2I2_Λ2-1

所以β2≤fe2+c2-etc,⅛2+c2-a2,^ac---------≥一，

f2ac2

1_TT

即cos4≥],又因为O<A<τt,所以Ov4≤g,故£>正确.

故选：CD.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）设复数Z满足IZI=IZ-2-2/|,则团的最小值为»一

【解答】解：设z=α+"a,⅛∈R,

V∣z∣=∣z-2-2z∣,

.".∖a+bi∖=∖(α-2)+(6-2)z∣,

.,.a2+b2=(α-2)2+(h-2')2,

∙>∙a+b=2,

Λ∣z∣=√02+b2=ʌ/ɑ2+(2—ɑ)2=√2ɑ2—4α+4=√,2(α—l)2+2,

当α=l时，IZl取得最小值√Σ

故答案为：√2.

14.(5分)如图，在AABC中，R=帝加,P是线段BN上的一点，若而="源⅛+,兄,

则实数m—I.

【解答】解：因为局=^加，则h=3茄，

所以筋=mAB+∣∕1C=〃族+∣×3AN=mAB+∣47V,

Q7

因为点8,P,N三点共线，所以优+g=l,则加=(,

故答案为：|.

15.(5分)在正三棱柱ABC-AlBICl中，D,E,尸分别为AιB∣,BiCi,ClAl的中点，AB

=2,例为80的中点，则下列说法正确的是②③.

①AF,BE为异面直线；

②EM〃平面4OF；

③若3ELCF,则441=当；

④若∕BEC=60°,则直线4C与平面BCCiBi所成的角为45°.

【解答】解：对于①：如图，连接ER由题意得E尸〃A8,所以A,B,E,尸四点共面，

所以AF,BE不是异面直线，①错误；

1

对于②：取D4的中点N,连接FMMN,得MNHAB,MN=-^AB,

所以EF〃MN,EF=MN,则四边形EFMW是平行四边形，

所以EM〃FN,因为FNU面AFQ,所以EM〃面AOF,②正确；

对于③：取AB的中点。，连接C。，FQ,由E尸，QB平行且相等知：四边形EFQB为

平行四边形，

则有FQ〃BE,又BE上CF,即NQFC=90°,

设A4ι=x,则QF2=BE?=1+%2,CF2=1+X2,CQ=®

.∙.2√+2=3,解得X=孝，③正确；

对于④：由NBEC=60°,BE=CE,可知48CE为正三角形，CE=BC=2,

连接AiE,易知AiEL平面BCCIBl,故NAICE即直线AIC与平面BCClBI所成的角,

tan^A1CE==ɪ,乙ʤCE=泉所以④错误；

C1

故答案为：②③.

16.（5分）如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场ABC,∕ABC=90°,且

在广场外修建一块三角形草地BCD,满足BO=2,CD=I.

①若/BDC=泉则Ao=√7+2√3；

②欲使A、。之间距离最长，则CoSNBnC=-瞪.

-----------------------------C

【解答】解：①在ABCD中，由BO=2,CD=1,NBDC=鼻,

得BC=JBD2+CD2-2BD-CD-cos^=J4+1-2×2×1×∣=√3,

J.BCλ+CD1=BD1,即NBCn=协

在等腰直角三角形ABC中，可得AC=√^BC=√δ,

又/BCA=?ʌZACD=ɪ,

由余弦定理可得，AD=JAC2+CD2-2AC-CD∙cos-

=J6+1-2×√6×1×(-^)=√7+2√3;

Tl___________

②设∕OBC=α,则αe(0,一)，ZBDC=Q,贝∣JAB=BC=√5-4cos8,

2

在AABO中，由正弦定理可得：—=-^=Sina=警=∣

sιnasιnθʊɑ√5-4cos6

Tr

在AABC中，由余弦定理可得，AD1=AB2-^-BD2-2AB∙BD∙cos(-÷a)

2

=9-4cosθ-2×√5-4cosθx2X(-Sina)=9-4cosθ+4√5-4cos0sina

=9-4cosθ+4sinθ=9+4√2sin(θ-≡).

q

当e=,π时，AO取最大值9+4√Σ

,,3π√2

此l时COSN8。C=CoS—=——

42

四、解答题(本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文

字说明过程或演算步骤)

17.(10分)已知向量Z=(1,√3),7=(-2,0).

(1)求Z-Z的坐标以及最一。与最之间的夹角；

1TT

(II)当f∈[-l,m时，求∣α-tb∣的取值范围.

【解答】解：⑺Va=(1,√3),b=(-2,0),

.'.a—b—(3,V3),

设2—Z与段之间的夹角为0,θ∈[0,π],

G-b)∙Z_6_/3

.∖cosθ=

∖a-b∖∖a∖4√32

=看.

TTTTTT1

(//)∖a-tb∖2=a2-2ta-b+t2b2=4t2+4t+4=4(t+1)2+3,

当te[―1r时，lɑ—tb∖^∈[3>7]>

故而一面的取值范围为[√5,√7].

18.(12分)随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将

A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.

(1)求α的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；(结果用小数表

示，小数点后保留两位有效数字)

(2)现按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人，再

从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在［60,70］的概率.

【解答】解：(1)由频率分布直方图的面积之和为1知，

IOX(0.007+0.0ɪ8+A+0.025+0.020)=1,

解得α=0.030;

VlOX(0.007+0.018)=0.25<0.5,

10×(0.007+0.018+0.030)=0.55>0.5,

•••把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数为40+0θ~θθ5≈48.33;

(2)V0.030：0.020=3：2,

从年龄在［40,50)的投资者中抽取3人，记为A、B、C,

从年龄在［60,70］的投资者中抽取2人，记为1,2；

则从这5人中随机抽取2人进行投资调查，

有(A,B),(A,C),(A,I),(A,2),(B,C),(B,I),(.B,2),(C,1),(C,2),

(1,2),共10种情况；

至少有1人年龄在［60,70］的有(A,1),(A,2),(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),

(1,2),共7种情况；

7

故至少有1人年龄在［60,70］的概率为R∙

19.(12分)在三角形ABC中，角4,B,C的对边分别为4,b,c,己知(c?-b2+c2)tanβ=√3αc.

(1)求角8的大小；

(2)当角8为钝角时，若点E满足4E=2EC,AB=√3,BE=I,求BC的长度.

【解答】解：(1)V(a2—b2+c2)tanB=y∕3ac

(a2—b2+c2)slnB=WaCCOSB,

.^.(α23-b2+c2')sinB=WaCa号Cb,

：.StnB=去而O<B<ττ,.∙.B=g或8=呈

(2)由(1)知当B为纯角时，B=等，

(解法一)∙.∙½⅛=2J⅛,

：.BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^(BC-BA)=^BA+^BC,

T[T?TIT4T4TT

.∙.(BE)2=^BA+^BCY=^∖BA∖2+^∖BC∖2+^∖BA∖■∖BC∖cosB,

44T4Tι

∙*∙1=g÷g∖BC∖2^÷gV3*∖BC∖×(-2)

整理得：2∣5C∣2-√3∙∣6C∣-3=0,BP(2∣δC∣+√3)(∣BC∣-√3)=0

：.\BC\=√3

故BC的长度为H.

(解法二)'：AE=2EC,设EC=，"，则AE=2"i,设BC=x,

ii∆ABC有：AC1^AB2+BC2-2ABBCcosB,

；.9m2=3+/+u丫，①

AE2+AB2-BE2_AC2+AB2-BC2

又在△中有：

aABE,ABCCoSA-2AE∙AB=_2ACAB-

4m2+3-l9m2+3-x2

4√3m6√3m

.∙.∕=3,"2②

②代入①有：2x2-√3x-3=O

解得x=√5(舍去负值)

故BC的长度为代.

20.(12分)为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮,

每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在

53

第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为:，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概

65

23

率分别为f甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

34

(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大?

(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

【解答】解：（1）设4="甲在第一轮比赛中胜出”，A2="甲在第二轮比赛中胜出”,

Bl="乙在第一轮比赛中胜出''，B2=''乙在第二轮比赛中胜出”，

≡AiA2="甲赢得比赛”,BiB2="乙赢得比赛”，

5233

,：P(Ai)=∣,P(A2)=∣.P(Bi)=F，P(BG=1,

：.P(AiA)=P(AI)P(A)=i×∣=f.

22639

同理尸(BiB2)=P(Bi)P(&)=g×^=⅛,

59

..•一>—，

920

派甲参赛获胜的概率更大.

(2)由(I)知，设C=”甲赢得比赛”，D="乙赢得比赛”，

—54—911

•；P(C)=1-尸(AI√⅛2)=1—g=g>P(Z))=I-P(B1B2)=1-2^Q=ɪθ,

于是CUO="两人中至少