2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第四章 第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 学案

第四章三角函数、解三角形

第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

知识梳理

知识点一角的有关概念

(1)从旋转的角度看，角可分为正角、.负角和一零角.

(2)从终边位置来看，角可分为.象限角，与轴线角.

(3)若α与α是终边相同的角，则夕用α表示为6=2E+α,Z∈Z.

知识点二弧度制及弧长、扇形面积公式

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

(2)角α的弧度数

如果半径为r的圆的圆心角ɑ所对弧的长为I,那么角α的弧度数的绝对值

是IaI=L∙

(3)角度与弧度的换算

Φlo=⅛ad；②Irad=(罩L

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为α(rad),半径为r，则I=IaIr,扇形的

面积为5=37=告成户.

知识点三任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(X,y),那么Sina

(2)三角函数的符号

三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：一全正、二正弦.、三正

切、_四余弦∙.

(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点

都在龙轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(L0).如图中有向线

段MP,OM,AT分别叫做角α的金逑_，.余弦线和一正切线.

归纳拓展

1.终边相同的角与对称性拓展

(l)β,α终边相同仁力=α+2E,A∈Z.

(2)或，α终边关于X轴对称台尸=—α+2E,Z∈Z.

(3)或，α终边关于y轴对称0夕=兀-α+2E,攵∈Z.

(4)或，α终边关于原点对称台夕=兀+α+2E,Z∈Z.

2.终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角ɑ终边

相同的角时，单位必须一致.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)小于90。的角是锐角.(X)

(2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等∙(X)

⑶若Sina>0,则α终边落在第一、二象限.(X)

JT

(4)角6(=%兀+］(^^2)是第一象限角.(×)

JlJl

(5)若sina=sin,,则α=1.(X)

［解析］根据任意角的概念知(1)(2)(4)(5)均是错误的.sina>0,α也可落在y

轴正半轴上，故(3)也不对.

题组二走进教材

2.(必修1P.T3改编)一2024。的角的终边所在的象限是(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］-2024。=-6X360。+136。，-2024。和136。的终边相同，所以一2

024。的终边在第二象限.

9Ti

3.(必修1P∣76T5改编)下列与Z的终边相同的角的表达式中正确的是(C)

9

A.2H+450(⅛∈Z)B.匕360。+甲I(ZeZ)

5兀

C.⅛∙360o-315o(⅛∈Z)D.E+R∈Z)

［解析］由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为

JT

4÷2⅛π或A∙360°+45°(Z∈Z).

4.(必修1P182T4改编)若角θ满足tanθ>0,sinθ<0,则角θ所在的象限是(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］由tanGO知，。是一、三象限角，由sinO<O知，。是三、四象限

角或终边在y轴非正半轴上，故。是第三象限角.

5.(必修1P□6T11改编)一钟表的秒针长12cm,经过25s,秒针的端点所走

的路线长为(C)

A.20cmB.14cm

C.10πcmD.8兀Crn

［解析］秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为副2兀=芸因

5TT

此，秒针的端点所走的路线长为χ^X12=10兀(Cm).故选C.

题组三走向高考

6.(2020•课标II,2)若α为第四象限角,则(D)

A.cos2a>0B.cos2a<0

C.sin2α>0D.sin2α<0

TT

［解析］解法1：∙O.是第四象限角，—2~^~2⅛π<ot<2⅛π,kGZ,—π+

4kπ<2a<4kτι,kGZ,：・角2a的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，「.sin2a<0,

CoS2a可正、可负、可零.故选D.

解法2：sin2a=2sinacosa<0.

7.(2019.浙江，14)已知角α的顶点与原点O重合，始边与X轴的非负半轴

4

=

重合，它的终边过点P(—|，一,),-5

[解析]由角α的终边过点K一§得Sina=一之,所以sin(α+τι)=-Sin

4

5-

•互动探究

考点一角的基本概念——自主练透

例1⑴若角。的终边与牛的终边相同，则在区间。2兀)内终边与冬的终边相同

(3)若角α的顶点为坐标原点，始边在龙轴的非负半轴上，终边在直线y=√5

X上，则角α的取值集合是(C)

A.IG(a=2kπ-j,Z∈z]

B.∣ot∣α=2^π÷^,⅛∈Z∣

[Jl]

C.]aa=E+q,⅛≡Zj

f兀]

DAaa=⅛π-ɜ,ZeZj

(4)(多选题)已知角a的终边在第二象限，则卷的终边必在第几象限(Ae)

A.-B.二

C.三D.四

[解析](1)：^=^y÷2⅛π(⅛∈Z),Z).

依题意，0＜万+左兀〈2兀，Λ∈Z,

311

解得一］WN^y,Z∈Z.

.∙.k=0,∖,即在区间［0,2兀)内终边与自同的角为与，竿

JTTr

(2)当攵=2〃(〃eZ)时，2〃兀WaW2〃Ti+a(〃eZ)，此时a的终边和OWaWa的

JT

终边重合，当％=2〃+1(〃WZ)时，2〃兀+兀〈1〈2〃兀+兀+a(〃£Z),此时α的终边

Tr

和兀Wαr≤ττ+a的终边重合.

(3)因为直线y=√lr的倾斜角是会所以终边落在直线y=√5无上的角的取值

集合为｛aα=E+$Z∈z｝,故选C.

(4)由角α的终边在第二象限，

Tr

所以/+Z∙2兀Va＜兀+/?2兀，keZ,

所以^+了2兀〈于｝+］。兀，k∈Z,

兀aTi

当k=2m,m^Lr时，1+〃2・2兀＜/＜/+/7?2兀，m£Z,

所以］终边在第一象限；

当％=2m+1,AneZ时,牛+zn∙2πv?V:+zn∙2π,m∈Z,

所以卷终边在第三象限，综上，今的终边在第一或三象限.故选A、C.

［引申］(1)本例题(4)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？

［答案］垓的终边在第二或第四象限.

(2)在本例题(4)中，条件不变，W的终边所在的位置是在第一、二或四象限

(3)在本例(4)中，条件不变，则π-a是第二_象限角，2a终边的位置是_

第三或第四象限或V轴负半轴上.

名帏点拨MINGSHIDIANBO

1.迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知

识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成

2E+α(0Wα<2兀)∕∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断，这里要特别

注意是π的偶数倍，而不是兀的整数倍.

2.终边相同角的表达式的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角

的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数Ml∈Z)赋值来求得所需

角.

3.确定%∈N*)的终边位置的方法

(1)讨论法：

①用终边相同角的形式表示出角ɑ的范围.

②写出•的范围.

③根据上的可能取值讨论确定彳的终边所在位置.

K

(2)等分象限角的方法：已知角α是第加(加=1,2,3,4)象限角，求上是第几象限

K

角.

①等分：将每个象限分成左等份.

②标注：从X轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4,直至回

到X轴正半轴.

③选答：出现数字机的区域，即为彳所在的象限.

K

如∙f判断象限问题可采用等分象限法.

考点二扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研

例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为/.

(1)若夕=60。，R=10cm,求扇形的弧长/；

TT

(2)若a=§,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积；

(3)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角ɑ为多少弧度时，这个扇形的面

积最大？

πTT1OTr

［解析］(l)a=60o=2，∕=10×2=-^-(cm).

2冗

(2)设弓形面积为S号.由题知/=竽cm.

S弓=S而影一S二角形=；X午X2-gx22XSinW=信一小)enʌ

(3)由已知得，l+2R=20,

所以S=3∕R=f(2O—2H)H=IOR-R2=-(Λ-5)2+25.

所以当R=5时，S取得最大值25c∏Λ

此时/=10,a=2.

名帏A披MINGSHIDIANBO

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.但要

注意圆心角的单位是弧度.

(2)从扇形面积出发，在瓠度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次

函数求最值的方法确定相应最值.

(3)记住下列公式：①∕=αR;②S=界；③S=TaR2.其中R是扇形的半径，/

是弧长，α(0<α<2τr)为圆心角，S是扇形面积.

〔变式训练1〕

(1)(多选题)(2023•青岛质检)已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能

正确的是(ABC)

A.圆的半径为2

B.圆的半径为1

C.圆心角的弧度数是1

D.圆心角的弧度数是2

⑵(2022・莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名

强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近

似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为［米，整个肩宽约为今

4O

米.“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数

据：√2≈1.414,√3^1.73)(B)

A.1.612米B.1.768米

C.1.868米D.2.045米

［解析］(1)设扇形半径为「，圆心角弧度数为公

2r+αr=6,

r=2,

则由题意得《解得或＜

Ia=4«=1,

可得圆心角的弧度数是4或1.

(2)由题意得，“弓”所在的弧长为

5π-

8兀

，其所对的圆心角α=(=5-2一

-

K4

二两手之间的距离d=y∣R2+R2=√2×1,25≈1.768.

考点三三角函数的定义——多维探究

角度1定义的直接应用

例3已知角a的终边经过点P(~x,—6),且cosa=—/,

1JSlIl(ΛIdIl(A

2

3・

［解析］因为角α的终边经过点P(—x,—6),且COSa=一看,

5

所以cosa=

13,

解得X=I或无=—去舍去),

所以4一1，一6),

12

所以sinα=一百，

Sinα12

所以

tana=cosa5^,

则」一+——=——+ɪ=—-

'sinɑɪtana12^r123'

角度2三角函数值符号的应用

例4(1)(多选题)下列各选项中正确的是(AB)

A.sin300o<0B.cos(-305o)>0

C.tan(一专兀)>0D.sin10>0

COSOC

(2)若sinatana<0,且；∙∙-<0,则角是(C)

IanCka

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］(1)300°=360°—60°,则300。是第四象限角,故sin300。<0,-305°

ɔɔɔ

=—360°+55°,则一305。是第一象限角，故cos(-305o)>0,而一8兀+于

所以一事是第二象限角，故tan(一喇<0,因为3兀<10<:，所以10是第三象

限角，故SinIO<0.故选AB.

(2)由SinatanaVO可知Sina,tana异号，则α为第二或第三象限角.由J

Iana

<0可知COSa,tanα异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限

角.故选C.

名帏点拨MINGSHIDIANBO

定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离∣OP∣=r,然

后利用三角函数的定义求解.

(2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此

点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论.

〔变式训练2〕

(1)(多选题X角度2)在平面直角坐标系xθy中，角X的顶点为原点。，以X

轴非负半轴为始边，终边经过点P(l,m)(〃z<0),则下列各式的值恒大于0的是

(AB)

ASinaC.

At-a-n--a-B.CoSa-Sma

C.sinαcosaD.Sina+tanα

⑵(角度1)已知角a的终边与单位圆的交点为K^^T,则Sinα∙tana等于

(C)

A.TB∙±坐

C3r3

C.—2D.±2

解析］⑴由题意知.选项；选项

fsinα<O,COSa>0,tanα<OA,~Ld~ne>x.0B,

cos«—sina>0；选项C,SinaCOSa<0；选项D,Sina+cos1的符合不确定.故

选AB.

(2)解法1：因为点P(一/))在单位圆上，

所以(一02+y2=ι,解得

当y=半时，Sina=乎，tana=-y∣3,

、3

所以sina∙tana=-

当y=一半时，Sina=—乎，tana=y∣3,

3

所以sina∙tana=—ɔ.

,3

综上知，sin«tana=~^.

解法2：因为点从一y）在单位圆上，所以COSa=一；,又因为sin%+cos2α

3

.…，3.sinasin2a43

所以

=1,sinα=τ4>sɪn(z∙tanα=sm«--c-o-s--a-="cos^a=—Tɪ=-2∙

-2

■后l⅛截杼

•素养提升HljlANGTΛNSUYANGTlSH

利用三角的教线解三角不等式

例5⑴不等式sinx2乎的解集为

IWl2⅛π+βWXW2kτι~∖~^,keLr

(2)不等式COS九2的解集为

|x2⅛π-γ≤尤忘2&兀+⅜,^∈Z∣.

［解析］（1）过点（0,由作平行于X轴的直线，交单位圆于点p［；,坐）,

Tr2冗ʌ/ɜ

则以OP、OP2为终边的角分别为］+2依、w+2E∕∈Z）,其正弦值为¥，

终边落在阴影部分的角的正弦值不小于坐，/.sinx2乎的解集为

Ix2⅛π÷2≤Λ≤2⅛π+ɪ,⅛∈Z∣.

⑵过点（一g,0）作垂直