（江苏专用）高考数学总复习 第十一篇《第67讲　互斥事件的概率 》理（含解析） 苏教版

A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是________(写出一个即可)．答案2次都不中靶2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为________．解析由对立事件的概率可求该同学的身高超过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3答案0.33．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________．解析记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案0.924．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B、D、E的概率的并集．P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．解析依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.答案0.406．(2011·浙江)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．解析法一(直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取③个球的取法共有10种，所以所求概率为eq\f(9,10).法二(间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则出现奇数点或2点的概率为________．解析因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)二、解答题(每小题15分，共45分)8．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队的概率；(2)至少2人排队的概率．解记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，A、B、C彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E，则P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D.“少于2人排队”为事件A＋B，那么事件D与事件A＋B是对立事件，则P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为eq\f(1,4)，得到黑球或黄球的概率是eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率是eq\f(1,2)，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A、B、C、D.由于A、B、C、D为互斥事件，根据已知得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋PB＋PC＋PD＝1，,PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(1,6)，,PD＝\f(1,3).))∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3).10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个奇数的概率．解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).所以两数之和为5的概率为eq\f(1,9).(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件．所以P(B)＝1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).所以两数中至少有一个奇数的概率为eq\f(3,4).B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出满足AB的非空集合A，B，以下四个命题中正确的为________(填序号)．①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．解析由AB可知A中元素必在B中，反之不成立，故①，③，④正确．答案①③④2．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是eq\f(3,7)和eq\f(1,4)，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．解析P＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案eq\f(19,28)3．两个射击，甲射击一次，中靶概率是P1，乙射击一次，中靶概率是P2，已知eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0.则甲射击一次，不中靶概率为________；乙射击一次，不中靶概率为________．解析由Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0，得P1＝eq\f(1,2)，因为eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq\f(1,P1)·eq\f(1,P2)＝6，所以P2＝eq\f(1,3)，因此甲射击一次，不中靶概率为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，乙射击一次，不中靶概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案eq\f(1,2)eq\f(2,3)4．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为eq\f(1,10)，响第二声时被接的概率为eq\f(3,10)，响第三声时被接的概率为eq\f(4,10)，响第四声时被接的概率为eq\f(1,10)，则电话在响前四声内被接的概率为________．解析这是四个互斥事件，所以概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)5．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P(A＋B)＝________.解析记事件C为“朝上一面的数为2”，则A＋B＝A＋C，且A与C互斥．又因为P(C)＝eq\f(1,6)，P(A)＝eq\f(1,2)，所以P(A＋B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．解析圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，当d＜eq\r(2)时，直线与圆相交，则有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))＜eq\r(2)，得b＞a，满足题意的b＞a，共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)二、解答题(每小题15分，共30分)7．国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即eq\x\to(B)表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.8．有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站……，第100站，一枚棋子开始在第0站，参与者每掷一次硬币，若硬币正面向上，棋子向前跳一站(从k到k＋1)，若硬币反面向上，棋子向前跳两站(从k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束时．设棋子跳到第n站的概率为Pn.(1)P0，P1，P2的值；(2)试寻找Pn，Pn－1，Pn－2三个概率之间的关系，其中n∈N，2≤n≤99.解(1)因为棋子开始在第0站，棋子在第0站为必然事件，所以P0＝1.若第一次掷硬币出现正面向上，则棋子跳到第1站，其概率为eq\f(1,2)，所以P1＝eq\f(1,2).棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面向上，其概率为eq\f(1,4)；②第一次掷硬币出现反