2023年江苏省苏州市中考数学考前模拟试卷（四）（含答案）

2023年苏州中考数学考前模拟（四）

一、选择题（每题3分，本题满分24分，共8小题）

在数上,

1.-π,0.314,√2.-√64,5中，无理数的个数有（)

7

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列运算中，正确的是（）

A.（/）3=x5B.J?。/=/

C.3Λ2+2Λ3=5X5D.（X+y）2-x1+y2

3.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（)

@

戴口罩讲卫生勤洗手勤通风

A.©B.

C.有症状早就医少出门少聚集

4.已知一组数据：1,2,0,b,5,8的平均数和中位数都是4Q,人均为正整数），在去掉其中的

一个最大数后，该组数据的（）

A.中位数不变B.众数不变C.平均数不变D.方差不变

5.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B,C两点落在劭，。处，若NAEBI=70。，则/

A.50tan4米B.-ɪ-米C.50Sina米D.李匚米

CG,EF,且AB=CG=ER弯道为以点。为圆心的一段弧，且BC，CD，DE所对的圆心角均为

90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以IOWs的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车

到点O的距离y（,"）与时间X（S）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是

（）

A.甲车在立交桥上共行驶8s；B.从F口出比从G口出多行驶40,〃；

C.甲车从G口出，乙车从F口出；D.立交桥总长为160机。

8.如图，在矩形ABC。中，胆=3,E是边C。上的一动点，以AE为直径的。。经过BC边上的

BC4

一点F.若使乙D4E最小，则出的值为（）

DE

二、填空题（每题3分，本题满分24分，共8小题）

9.2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布，全国人口共141178万人,

则141178万人用科学记数法表示为人.

10.因式分解：3?-12=.

II.如图，正方形ABCo内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针•，则针尖

落在黑色区域内的概率为.

12.一个扇形的半径为10,圆心角是120°,该扇形的弧长是.

13.二次函数y=x2-2X+∕M的图象与X轴只有一个公共点，则，〃的值为.

14.如图，以矩形ABCD的顶点4为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点N；再分

别以点M,N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点R作射线AP，交BC于点E,连

接DE,交AC于点F.若AB=I,AC=2,则DF的长为_____________.

15.如图，在AABC中，BDA.AC于点D,BD=∖,NA=45°,NC=30°,则AC

16.如图，已知AOAB的一边AB平行于X轴，且反比例函数y=K经过AOAB顶点B和04上的一

X

点C,若。C=2AC且AOBC的面积为也■,则后的值为

3

I-1

17.计算：∣V12-2I-(-1)2019+(∙7^)-4Sin60°+(3-兀)')♦

f2(χ-l)≤x+l

18.解不等式组(χ+2χ+3.

.~2~.3

19.先化简，再求值：x+1-,其中χ=4.

x2-lχ-2x+l

20.如图，在AABC中，己知/A8C和AABC的外角NACG的平分线交于点凡过点尸作FD〃8C,

FD分别交AB、AC于点。、E,求证：DE=BD-CE.

21.为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开

设了4、8、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)小亮从A测温通道通过的概率是；

(2)利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率.

22.某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分

享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用

户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据

统计图解决下列问题：

(1)样本容量是,组距是；

(2)补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨~30吨”部分的圆心角度数；

(3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水全部

享受基本价格？

用户用水量频数分布直方图用户用水量扇形统计图

23.两架无人机4、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，无人机A从海拔10米处以5

米/秒的速度匀速上升，无人机B从海拔30米处以〃?米/秒匀速上升.如果这两架无人机同时出发,

经过10秒后都位于同一海拔高度”米.设无人机海拔高度y米与时间X秒的关系如图所示.

(1)In=,n=；

(2)求无人机8在上升过程中，海拔高度y米与时间X秒之间的函数关系式；

(3)当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机8高多少米？

24.如图所示，在BC中，NB=90°,AB=5cm,BC=7cnι,点P从点、A开始沿AB边向点B

以ICm/s的速度运动，点。从点B开始沿BC边向点C以2cm∕s的速度运动.P、Q分别从A、B同

时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动.设运动的时间为fs.(z≥0)

(1)当f为何值时，PQ的长度等于5cs;

(2)求出SABPQ关于，的函数解析式，计算RQ出发几秒时，SABPQ有最大值，并求出这个最大

面积？

C

25.如图，P为C)O外一点，％、PB为。0的切线，切点分别为A、B,直线Po交。。于点。、E,

交AB于点C.

(1)求证：ZADE=ZPAE.

(2)若NAQE=30°,求证：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.

26.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=α(x-3)2+4过原点，与X轴的正半轴交于点A,已

知B点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与X轴交于点D.

(1)求〃的值，并直接写出A、B两点的坐标；

(2)若P点是该抛物线对称轴上一点，且∕8OP=45°,求点P的坐标；

(3)如图2,若C点为线段8。上一点，求38C+5AC的最小值.

27.如图，在正方形ABC。中，N分别是射线CB和射线QC上的动点，且始终∕M4N=45°.

(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、ON之间的数量关

系;

(2)如图2,当点M、N分别在CB、QC的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立，若成立，给

予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；

(3)如图3,当点M、N分别在CB、OC的延长线上时，若CN=CD=6,设8。与4M的延长线交

参考答案,j试题解析，

一、选摺1（每每3分，本割粉24分，共8小题）P

1.（2022秋•兰溪市期末）在数方,-π,0.314,√2,-√64,5中，无理数的个数有（），

Al个R7个C?个D4个"

【•分析】直接根据无理数的定义解答即可∙P-

【解答】解：-√R=-8,-TI,√2,是无理数，共2个.故选：B.。

【点评】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①合

Tr的，②一些有规律的数，③开方开不尽的额."

2.（2021∙兰山区模拟）下列运算中，正确的是（），

A.（x2）3=x5B.x3∙x3=xiP

C.3X2+2ΛJ=5X5D.（x*v）2=x2+v2,

【分析】直接利用票的乘方运算法则以及完全平方公式、合并局类项法则分别判断得出答案.一

【解答】解：，、（？〉3=/,故此选项错误JB、Aj-X3=A正确J，

C、3F+2N,无法计JI,故此选项错误J。、（x+y）2=Λ2∙1T√,故此选项错误J故选：B.，

【点评】此题主要考查了票的乘方运亶以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运凝法则

是解题关键.P

3.（2023・长清区一横）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴刻称图形，又是中心对称图形的

是（），

A.©∙z威□・讲卫生B.y©/勤洗手勤通风〃

C.JZ有症状早就医D.少出门少聚前

【分析】亶接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解,+，

【解答】解：.4、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意J“

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意J"

C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意J，

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意J故选：C.a

【点评】本题考查申心对称图形和轴对称图形的知识，关键是事报好中心对称图形与轴对称图形

的蟹念.轴对称图形的关健是寻找对称轴，图形两部分折总后可K合，中心对称图形是要寻找对

称中心，图形旋转180。后与原图米合."

4.（2023・涪城区模拟）已知一组数据：1,2,0,b,5,8的平均数和中位数都是4（a,b均为正

整数），在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（）"

A.中位数不变B.众数不变C,平均数不变D.方差不变，

r分析】根据该组数据的平均数得出Ab的值，再根据中位数得出。、b的值，讨论去掉一个最

大数后，该组数据的平均数、标准差和中位数、众数的变化情况.P

【解答】解：根据数据1,2,a,b,5,8的平均数为4,得（l+2∙"H5+8）=6X4,a

解得σ+b=8j.∙.α=l,。=7或α=2,b=6或α=3,b=5或α=4,b=4,P

•••中位数是4,.∙.α=b=4或α=3,b=5f去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和方差都交

小，中位数可能是4,也可能是3,当α=b=4时，众数与原来相同，都是力当α=3,b=5时，

众数与原来也相同，都是5.故选：8.一

【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数，方差的

定义以及求解方法，属于基础题."

5.（2022秋•宜春期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折软后，B,C两点落在当，Cl处，若

ZAEBI=70°,则ZSE尸=（）A.70°B.60°C.65°D.55°P

【分析】根据折款的性质可得出NB肝=NB］中,再根据/®1=7O°,即可得出4即的度数・

【解答】解：..・把一张长方形的纸按图那样折叁后，B,C两点落在Bi,Cl处，"

.∖ZBEF=ZBiEF,:乙4EBι=70°,Z∙*Bι+Z3E外ZAEBl=I80°,P

：./BEF=（180°-ZAEB∖）ɪɪ×（180。-70°）=55°.故选：D.

【点评】本题考查的是平行线的性质以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键.

6.（2023∙和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为α,则

楼房BC的高为（）

A.50tan4米B.米C.50Sina米D.米

tanasina

【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得8C、AC的关系，根据Ae即可求得BC的长度,

即可解题.

【解答】解：在直角AABC中，sinα=区∙，cosα=电旦~=tanα,

ABABAC

.∙.BC=4C∙tana=50tana.故选：A.

【点评】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、

AC的关系是解题的关键.

7.（2020秋•承德期末）图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A为入口，F^G⅜⅛

及其中直行道为A8,CG,EF,且AB=CG=ER弯道为以点。为圆心的一段弧，且祕，CD，

箍所对的圆心角均为90°.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10tt√s的速度行驶，从不

同出口驶出，其间两车到点O的距离y（切）与时间X（S）的对应关系如图2所示，结合题目信

息，下列说法错误的是（）

A.甲车在立交桥上共行驶8sB.从尸口出比从G口出多行驶40,”

C.甲车从G口出，乙车从F□出D.立交桥总长为160〃?

【分析】根据题意、结合图象问题可及_______

【解答】解：由图象可知，两车通过前，CD，旗弧时每段所用时间均为2s,通过直行道AB,

CG,EP时，每段用时为3s.

因此，甲车所用时间为3+2+3=8s,故A正确,_个”宜题意；

根据两车运行路线，从F口驶出比从G□多走而，或弧长之和，用时为4s,则走40〃?，故8正

确，不符合题意；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C正确，不符合题意;

根据题意立交桥总长为（3×2+3×3）XlO=I50,",故。错误，符合题意；故选：D.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合.

8.

Oo经过BC边上的一点F.若使ND4E最小，则丝的值为（）

DE

A.1B.AC.ɪD.2

543

【分析】由题意知：当/D4E最小时，以AE为直径的OO与BC相切与点F,设。。与AB交于

点G,连接EG,OF,EG与OF交于点、H,设AB=3Z,则8C=4k,设BG=EC=x,则。E=3k

-x,OF=A(3⅛+x),AE=2OF=3k+x;利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股

2

定理求得X值，则结论可得.

【解答】解：由题意知：当/D4E最小时，以AE为直径的OO与3C相切与点F,如图，

设0。与AB交于点G,连接EG,OF,EG与OF交于点H,

：四边形ABC。为矩形，.∙.∕8=∕C=90°,AO=BC,AB=CD.

;AE为直径，ZAGE=90°,

ΛZBGF=90o,；.四边形BCEG为矩形，―----

：.BG=EC.；BC为。。的切线，4/

.'.OF±BC,OF//AB//CD,"A---------------------ɪ

二O尸为梯形ABCE的中位线，I∖'''>>P)

.∙.OF=L(AB+CE).vʌ^,ɔɪ,∖lTSXs'∖J∕

2BC4GK…-F「一号E

二设A8=3%,则8C=4k,设BG=EC=X,x∖n；›z

则OE=3A-χ,OF=—(3⅛+x),'.AE=2OF=3k+x.BkC

2F

在Rt44。E中，VAD2+DE2=AE2,

二(4k)2+(3k-x)2=(3k+x)2,解得：X=&.：.EC=^-k,：,DE=CD-CE=酿

【点评】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中

位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键.

二、填空题(每题3分，本题满分24分，共8小题)

9.(2022秋•密山市校级期末)2021年5月11日，国务院第七次全国人口普查小组在发布会上公布,

全国人口共141178万人，则141178万人用科学记数法表示为1.41178X1()9人.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中IWial<10,〃为整数.确定〃的值时，

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对

值210时，〃是正整数；当原数的绝对值Vl时，”是负整数.据此解答即可.

【解答】解：141178万=14117800(X)=1.41178XIO、

故答案为：1.41178X1()9.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中IWIal

<10,〃为整数，表示时关键要确定〃的值以及〃的值.

10.(2023•东莞市一模)因式分解：3/-12=3(x+2)(χ-2).

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=3(√-4)=3(x+2)(%-2).故答案为：3(X+2)(X-2).

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

11.(2023•姑苏区校级一模)如图，正方形ABCO内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方

形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为—.

―8一,r∙ι

5^‘7l'a

所以针尖落在黑色区域内的概率——--π故答案为己πL.

4a2ɛ8D

【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件对应的面积与总面积之比.

则AC=_1+V^_.

12.（2023•温州二模〉~÷扇形的半径为10,图^角是120β,该扇形糊6长是_得匚.。

【分析】直接利用兔长公式计算即可.~

【解答】解：扇形的温长==等,故答案为：驾

120J个gQ：1033La

【点评】本题考查了弘长的计算，解答本题的关键是嶷练记忆为长的计算公式."

13.（2023•泸县校级一模）二次跚J=X2-Zvm的蹄与X轴只有一个公共点,则m的值为_1_♦

【分析】根据a=⅛2-S=0时，推锲戋与∙v轴有1个交点得到△=（-2）2-4m=0,然后解

关于m的方程即可.2

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4W=0,解得m=l.故答案为1.。

【点评】本题考查了抛物性与'轴的交点：对于二;煨触J=GJar（α,b,c是常数，fl≠O）,

△=松-S决定抛物线与X轴的交点个数：A=愣-5>0时，抛物线与'轴有2个交点J△

=d-W=O时，抛棚戋与'轴有1个交点；A=N-SrCO时，抛物线与'轴没有交点,"

14.（2023•雁塔区校线模拟）如图，以矩形."CD的顶点/为圆心，适当长为半径作孤，分别交.”，

.4C于点MM再分械点MN为配、，大于为阴胀为半径作孤，两孤交于点力作射线

AP,交BC于点M连接DE,交.4C于点F.若.U=1,.4C=2,则"的长为2

5

OA=OB=OC=LAC=X,ZΛBC=90o,先证明ZUOS为等边三角形得到NAdC=60",再利

2

用基本作图得心平分NK4C,所以4但30°,接着计算出BE√LBE=耳，所以CE=

率，DE=厚，然后利用平行线分线段成比例定理得到瞿二热，最后利用比例的性质可求

33EF2

出D尸的长.“

【解答】解：连接BD交，C于。点，如图，：四边形4BCD为矩形，”

.,.ADIIBC,AD=BaCD=£B=1,OA-OB=OC=XAC=X,^IBC=9Q*,"

2

,,“"=0.4=08,,AMB为等边三角形，,HC=W,.，

由作法得.4P平分NB.4C,JNAdE=1N5/U30.,♦，

一2

22

在RtAABC中，BC=y∣2-l=y[3,在RXAOE中，5£=®U=Yɪ,+，

3____3___

,在R1∆CDE中，^^=VcD24CE2=Jl2+(-^7^)2=2φ-^，

,B=必-争写

VOO

∙∙mm∙∙f唱，嗜=鲁磴3等=看X等=唔•蟠案划唔•"

3

【点评】本麴考查了作图-基本作图：熟练摹握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了角平

分线的性质和矩形的性质.，

15.（2023春•西和县期中）如图，在A∙C中，8Z>1∕C于点D,BD=I,乙4=45°,ZC^30°,

【分析】易彳导AD=BD=1,BC=2BD=2,勾股定理求出C£>,利用A。+Cz）求出AC即可.

【解答】解：VBD±AC,,NADB=NeoB=90°,

VBP=1,ZA=45o,NC=30°,：.AD=BD=\,BC=2BD=2,

CD=VBC2-BD2=√3'∙∙∙AC=AD4CD=1+√3.故答案为：1√^∙

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理.熟练掌握相关

知识点，是解题的关键.

16.（2023•立山区校级一模）如图，已知AOAB的一边AB平行于X轴，且反比例函数y=κ经过△

X

OAB顶点8和OA上的一点C,若OC=2AC且AOBC的面积为也，则k的值为8.

3

【分析】作BD_LX轴，CE_LX轴，AFJ_x轴，得A/〃CE,推比例线段，设点8（K〃），推出

C（逛∙，—n\再根据SC=SaO3θ+S梯形BCED-SzχCOE=S梯形BCED,求出攵的值.

2n3

【解答】解：作BOLC轴，CEIX轴，AFJ_》轴，尸〃CE,.∙.段=里，

AFOA

∖'0C=2AC,.∙.gl=2,设点B（K,〃），：AB〃X轴，点的纵坐标为“，：.CE^n,

AF3n3

∙.∙点C反比例函数y=K,.∙.C（毁，2”），

X2n3

♦：SAoBC=S4θBD+S梆形BCED-S&COE=S秘形BCED,

.∙.L(〃+2〃)(JK-X)=lθ,解得A=8,故答案为：8.

232nn3

【点评】本题考查了反比例函数系数Z的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两

个知识点的应用，由图行推比例线段及C点的表示方法是解题关键.

三、解答题（本题满分。分，共11小题）

1~1

17∙（2O19∙广西模拟）计算：|6-2I-（-1严19+6）-4sin60o+（3-π）0∙

【分析】分别根据绝对值的意义、塞的运算性质以及特殊角的三角函数值化简即可.

【解答】解：原式=3-2-（-l）+2-4xYl+l

2

=2√3-2+l+2-2√3+1=2√3-2√3-2+2+1+1=2.

【点评】本题主要考查了实数的加减运算，熟练掌握幕的运算法则以及特殊角的三角函数值是解

答本题的关键.

2（X-I）＜x+l

18.（2023•莲湖区模拟）解不等式组（x+2、x+3.

2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来.

2（X-I）4x+1①

【解答】解：x+2，解不等式①，得x≤3,解不等式②，得

2AC3②

故原不等式组的解集为0WxW3.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.（2023•盐城一模）先化简，再求值：_+］）+x+1其中χ=4.

X-1X-2x+l

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把刀的值代入计算即可.

).(χ-l)2_χ2+2x+l.(χ-l)2

【解答】解：原式=

x2-lx2-lx+1χ2-lx+1

=(x+])乙.,

l当x=4时，原式=4-1=3.

(x+1)(XT)x÷l

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

20.（2019秋•葫芦岛期中）如图，在AABC中，已知NABe和aABC的外角/ACG的平分线交于

点、F,过点下作E0〃8C,FD分别交A3、AC于点。、E,求证：DE=BD-CE.

【分析】证明B。=尸£>,CE=FE,即可解决问题.

【解答】证明：：/ABC的平分线和外角/ACF的平分线交于点F,

，ZDBF=ZCBF,ZECF=ZGCF；

'：FD//BC,：.ADFB=ZCBF,NEFC=NGCF,

二/DBF=ZDFB,NECF=ZEFC,

JBD=FD,EC=EF;

：.DE=BD-CE

【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等儿何知识点的应用问题：牢固掌握

等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键.

21.（2022秋•商河县期末）为巩固防疫成果，确保校园平安，全市所有学校都严格落实测体温进校

园的防控要求.某校开设了A、8、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机

通过测温通道进入校园.

（I）小亮从A测温通道通过的概率是ɪ；

一3-

（2）利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；

（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得.

【解答】解：（1）小亮从A测温通道通过的概率是工，故答案为：ɪ;

33

（2）列表如下：

ABC

AA9AB,AC,A

BAfBB,BC,B

CA,CB,CC,C

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能,

所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为旦=工.

93

【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.（2023春•海门市校级期中）某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用

水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策,

自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端

点但不包括左端点），请你根据统计图解决下列问题：

（1）样本容量是100,组距是5；

（2）补全频数分布直方图，求扇形统计图中“25吨~30吨”部分的圆心角度数；

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地20万用户中约有多少用户的用水

全部享受基本价格？

【分析】（1）根据用水量在10吨~15吨的用户数和所占的百分比，可以计算出样本容量，再根

据直方图中的数据，可以计算出组距；

（2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，可以计算出用水量15吨~20吨的用户数，然后即

可将直方图补充完整，然后再计算出扇形统计图中“25吨~30吨”部分的圆心角度数即可；

（3）根据直方图中的数据，可以计算出该地20万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格.

【解答】解：（1）样本容量是：10÷10%=100,组距是15-10=5,故答案为：100,5：

（2）用水量15吨~20吨的用户为：100-10-36-25-9=20（户）,

补全的频数分布直方图如右图所示，

扇形统计图中“25吨~30吨”部分的圆心角度数为：360oX_25_=90°；

100

（3）20×10+20+36=11.2（万户），

100

23.（2022秋•朝阳区校级期末）两架无人机A、B准备在120米高空完成“美丽贤城”拍摄任务，

无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升,无人机B从海拔30米处以加米/秒匀速上升.如

果这两架无人机同时出发，经过10秒后都位于同一海拔高度八米.设无人机海拔高度y米与时

间X秒的关系如图所示.

（1）m=3,n=60；

（2）求无人机8在上升过程中,海拔高度），米与时间X秒之间的函数关系式；

(3)当两架无人机都上升了20秒时，无人机A比无人机B高多少米?

y(米)

12θT----------------r-7--------------

30Γ∕：

K)K1

-IO^秒)

【分析】(1)根据题意和图象中的数据，可以计算出，小〃的值；

(2)根据题意和(1)中团的值，可以写出无人机B在上升过程中，海拔高度〉米与时间X秒之

间的函数关系式；

(3)根据题意，可以写出相应的算式，然后计算即可.

【解答】解：(1)由题意可得，10+5X10=30+10m,解得，〃=3,

n=10+5×10=60,故答案为：3,60；

(2)由(1)知：无人机B的速度为3米/秒，

.∙.无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间X秒之间的函数关系式是y=30+3x;

(3)当尤=20时，(10+5X20)-(30+3X20)

=(10+100)-(30+60)=IlO-90=20(米)，答：无人机A比无人机B高20米.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

24.(2022秋•河西区校级期末)如图所示，在AABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=Ian,点、P

从点A开始沿AB边向点B以∖cm!s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以Icmls的速

度运动.P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动.设

运动的时间为此(r⅞0)

(1)当r为何值时，PQ的长度等于5c∕m

(2)求出S她也关于，的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，SMPQ有最大值，并求出这个最

大面积？

【分析】(1)利用，的代数式分别表示出线段AP,PB,BQ,利用勾股定理在RtZ∖PBQ中列出关

于f的方程，解方程即可得出结论；

(2)利用(1)中的结论和三角形的面积公式即可得到SMPQ关于f的函数解析式，再利用配方

法和二次函数的性质解答即可得出结论.

【解答】解：(1)由题意得：AP—tcm,BQ-Item,ɑ

∖"AB=5cm,：.PB^AB-AP^(5-r)cm.∕∖

在RtAPBQ中，∖'PB2+BQ2^PQ1,/I

Λ(5-Z)2+(2r)2=52,解得：f=2或f=0,/

答：当f为0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm.//

(2)由(1)知：AP=tern,BQ=Itcm,//

Y当RQ两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，//

zJθ<t<5,.∙.oww工.Z_——Z--------1

lθ<2t<72A—APB

1

.".SΔBPQ=-χPB∙BQ--×(5-t)∙2t--t+5t,

22

；.SABPQ关于t的函数解析式为SABPQ=-P+5f;

12

YSABPQ=-i+5t=-(t-∣-)+-^-,V-1<0,

.∙.当f=8秒时，SABPQ有最大值，最大值为空.

24

，P、Q出发a秒时，SMPQ有最大值，这个最大面积为至SJ2.

24

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，二次函数的极值，勾股定理和一元

二次方程分应用，本题是动点问题，利用■的代数式分别表示出线段AP,PB,的长度是解题

的关键.

25.(2022•恩施州)如图，尸为。。外一点，PA,尸8为00的切线，切点分别为A、B,直线尸。交

。。于点。、E,交AB于点C.

(1)求证：ZADE^ZPAE.

(2)若NADE=30°,求证：AE=PE.

等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质

和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=X,P1∣JDE=CD+CE=6+x,OA=OE=更岂，OC=OE

2

-CE=OP=O£+PE=IIt邑，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论.

22

【解答】(1)证明：连接。A，如图，

为。。的切线，.".AOlPA,：.ZOAE+ZPAE=90o.

YOE是。。的直径，：.ZDAE=90°,ΛZADE+ΛAED=90Q.

"：OA=OE,.".Z0AE=ZAED,：.ZADE=ZFAE；

(2)证明：由(1)知：∕AOE=∕∕¾E=30°,

VZDAE=QOo,：.ZAED=90c-ZADE=60°.

VZAED=ΛPAE+AAPE,：.ZAPE=ZPAE=30°,：.AE=PEi

(3)解：设CE=X,则。E=CZ)+CE=6+x,.∖OA=OE^-^-,

2

OC=OE-CE=且匹，OP=OE+PE=控区.

22

V∕¾>PB为C)O的切线，.∖PA^PB,Po平分N4P8,ΛPOlAB.

6+x14+x

为。。的切线，：.AOLPA,：.AOAC^ΛOPA,ʌɔʌɔɔ?.,,

OCOA±ɪ