2022-2023学年山西省怀仁市高二下学期第二次月考数学（文）试题【含答案】

2022-2023学年山西省怀仁市高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

ɪ.在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（）

A.散点图和残差图B.残差图和列联表

C.散点图和等高堆积条形图D.等高堆积条形图和列联表

【答案】D

【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断

【详解】散点图是研究两个变量间的关系，

列联表是研究两个分类变量的，

残差图是体现预报变量与实际值间的差距，

等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，

故选：D

2.若C；=C；,则m=（）

A.2B.4C.2或4D.以上答案都不对

【答案】C

【分析】根据组合数的性质求解.

【详解】因为C^=C3所以加=2或加+2=6,即加=2或m=4.

故选：C.

3.从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（）

A.10B.20C.25D.32

【答案】B

【分析】用分步计数原理计算.

【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物

给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，

总方法为5x4=20.

故选：B.

112

4.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是:则汽车在这

三处共遇到两次绿灯的概率为（）

【答案】D

【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、

相互独立事件的概率公式计算得解.

112

【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为儿B,C,则P(Z)=§,P(8)=],P(C)=7

汽车在三处遇两次绿灯的事件Λ/,则M=及7+Mc，且/8心，ABC.IBC互斥,而事件

A,B,C相互独立，

———1121121127

则尸(M)=P(NBC)+P(NBC)+P(NBC)=wX-×(1-)+-×(1-)行+(1-)”>%=-.

32Jjλ3ɔ2ɔIo

所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为高7.

Io

故选：D

5.以下说法错误的是()

A.用样本相关系数一来刻画成对样本数据的相关程度时，若卜I越大，则成对样本数据的线性相关

程度越强

B.经验回归方程j=⅛x+A一定经过点(三亍)

C.用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D.用相关指数先来刻画模型的拟合效果时，若川越小，则相应模型的拟合效果越好

【答案】D

【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当M越大，则成对样

本数据的线性相关程度越强，故A正确；

对于B选项，经验回归方程i=⅛c+Z一定经过样本中心点存,亍)，故B正确；

对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；

对于D选项，相关指数笈来刻画模型的拟合效果时，若K?越大，则相应模型的拟合效果越好，故

错误.

故选：D

6.156除以8的余数为()

A.-1B.1C.6D.7

【答案】D

【分析】利用二项式定理求解，即15-=(16-1尸，展开后观察各项值可得.

151515I144I

［详解］15=(16-1)=I6-C,5×16+C⅛×16'-∙∙∙+CI>16-1,

展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，

又T=-8+7,所以所求余数为7.

故选：D.

7.某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X~N(80,25),规定成绩大于或等于85分为N等

级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为4等级的考生数约为()

(附：尸(〃一σ∙≤X≤"+b)≈≡0.6827,尸(〃一2σ≤X≤〃+2b)=0.9545,

f,(∕∕-3σ<AF≤χ∕+3σ)≈0.9973)

A.11B.79C.91D.159

【答案】B

【分析】由正态分布求得A等级学生的概率，从而可得样本容量.

【详解】由题意〃+b=85,P(X≥"+b)=g(l-P(〃-b≤X≤"+b))=匕竽"~0.1587,

人数为0.1587x500B79.

故选：B.

8.设函数/(x)在R上存在导数/'(X),对任意的XeR,有/(x)-∕(τ)=2Sin%,且在［0,+司上

∕,(x)>cosx.若/仁一>/(。>3,7向.则实数，的取值范围为()

A∙(V)B∙(P+∞)C∙D∙⅛+O°)

【答案】A

【分析】先构造函数可得g(x)在［0,+8)上单调递增，在(-",0)上单调递减，将不等式等价转化为

g(∕)<g(5τ),利用函数的单调性和奇偶性得到M<曰一，解之即可.

［详解】因为/(x)-∕(-X)=2sinx,所以/(x)-SinX=/(-x)-sin(-x),

设g(x)=/(X)-Sinx,可得g(x)=g(-x),g(x)为偶函数

在［0,+8)上有∕,(x)>COSX,g'(x)=∕,(x)-COSX>O,

故g(x)在［0,+动上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(-%。)上单调递减,

由/(∣∙-"-f(f)>COSf-Sinf得

/(r)-sinz</

即g（f）＜g]»力1苦一/

即「＜（»），/加＞0,解得y.

故选：A.

二、多选题

9.已知二项式Qx-亡）的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（）

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第5项D.有理项共3项

【答案】AB

【分析】二项式展开式共8项，则〃=7,然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案.

【详解】二项式（2x-%]的展开式中共有8项，则〃=7,

选项A：所有项的二项式系数和为2?=128，故A正确；

2x1-9）=1,所以所有项的系数的和为1,故B正确：

选项B：令x=l,则

选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；

选项D：二项式的展开式的通项为&∣=G（2X）7T（-9）=CK-Dfx7普，

当r=0,2,4,6时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确.

故选：AB.

10.月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计

了月亮出来的时间V（简称''月出时间”，单位：小时）与天数X（X为阴历日数，xeN,且04x430）

的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y关于X的线性回归方程为j＞=0∙8x+G.

X247101522

y8.19.41214.418.524

其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日0:00)才升起.则()

A.样本点的中心为(10,14.4)

B.a=6.8

C.预报月出时间为16时的那天是阴历13日

D.预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4:00

【答案】AD

【分析】先求得75,从而求得样本点中心，故能判断选项A,将样本点中心代入回归方程求得4的

值，故能判断选项B,分别将y和X的值代入即可判断选项C和D.

…>、-2+4+7+10+15+22-8.1+9.4+12+14.4+18.5+24…

［详b解j］X=-------------------------=10,y=--------------------------------------=14.4,

OO

故样本点的中心为(10,14.4),选项A正确；

将样本点的中心为(10,14.4)代入j)=0.8x+&得d=6.4,故选项B错误;

∙.∙j>=0.8x+6.4,当N=I6求得χ=12,月出时间为阴历12日，选项C错误；

；阴历27日时，即x=27,代入亍=0.8x5+6.4=28,日出时间应该为28日早上4:00,选项D正

确；

故选AD.

【点睛】本题主要考查线性回归方程，意在考查学生的逻辑推理能力及数学运算的学科素养，属中

档题.

11.已知函数/⑴卜«-3,句)的导函数为1(力，若/(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是()

B./(x)在［-g,∣)上单调递减

A./(x)在(-2,1)上单调递增

C./(x)在X=-2处取得极小值D./(x)在x=l处取得极大值

【答案】ACD

【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.

【详解】当/(x)>0时,/(x)单调递增，

由图可知X∈(-2,1)时,/C(x)>O,/(x)单调递增，故A正确;

当XeD时，/%x)>0,/(x)单调递增；

当Xe(Iq)时，∕∙'(x)<0,/(x)单调递减，故B错误；

当xe(-3,-2)时，∕,(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(-2,l)时，>0,/(x)单调递增，

所以/(x)在x=-2处取得极小值，故C正确；

当xe(—2,1)时,/(x)>0,/(x)单调递增;

当XqIq)时，r(χ)<o,〃x)单调递减，

所以/(x)在X=I处取得极大值，故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数/(x)=e*-ln(x+”?),则下面对函数/(x)的描述正确的是()

A.当，"=O时，/(x)<0无解

B.当机=3时，/(*)>-；恒成立

C.当机=3时，/(x)=T有解

D.当，"=2时，/(x)>0恒成立

【答案】ABD

【分析】对于A,显然成立；对于B,求导可得/(x)2/(%)=-；,即可得到结果；对于C,由B

中结论即可判断；对于D,求导得/(x)最小值即可判断；

【详解】A选项:当加=0时，显然1>欣，/(0>0,.・./(》)<0无解.

B选项:用=3时，/(x)=er-ln(x+3),定义域为(-3,+α>),所以/(χ)=e'-+，

易知/“(X)在定义域(-3,+8)上是单调递增函数，

又r(T<o,/U0,

所以/'(刈=0在(-3,+8)上有唯一的实根，不妨将其设为％,且Xoe(T

则X=/为/(x)的最小值点，且/'(须)=0，即e&=,两边取以e为底的对数，得Xo=-In(XO+3)

Xo+J

故/(x)≥f(x°)=eJn(Xo+3)=J^∙Tn(XO+3)=—ɪ^+XO,因为XodT—所以

XO+$X。+J

2<X0+3<∣-,故/(x)≥∕(∙⅞)=―!—+(x0+3)-3>2+y-3=-y,即对Vx∈(-3,+oo),都有

_人n]J4乙

/(x)>-∕∙

C选项：当机=3时，由上述可知，/(x)=-l无解.

D选项：机=2时，∕,(x)=et--^,∙.∙∕<(-l)<0J,(0)>0,

故/'(x)=0在(-2,κo)上有唯一实数根%,且XOe(T,0).

当xe(-2,x°)时，∕,(x)<0,当Xe(XO,+∞)时，/小)>0,从而当x=x0时，/(x)取得最小值/(x°),

/(⅞)=e阳-In(XO+2)=&：?>0,@>0,

XO+N

故选:ABD.

三、填空题

13.已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高X(单位：cm)的经验回归方程为j=0.81x+25.82，

当父亲身高每增加1cm,则女儿身高平均增加.

【答案】0.81cm

【分析】根据线性回归方程的意义作答.

【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm,则女儿身高平均增加0.81cm.

故答案为：0.81cm.

14.某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

月份编号X12345

销量y(万件)50a142185227

若y与X线性相关，其线性回归方程为j=45x+5,则。=

【答案】96

【分析】利用样本中心点一定在回归方程上，列方程求解即可.

【详解】由已知，可得嚏=3,代入回归方程，得3=45x3+5=140,

.,.140×5=50+α+142+185+227,

<2=96.

故答案为：96.

15.某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N(4,/),且尸(2≤X≤4)=0.4,若从这

批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为.

【答案】θ,l/ɪ

【分析】由正态分布的性质知P(X≤4)=J,结合尸(万<2)=/3^^4)-尸(24'54)即可求概率.

【详解】由题设〃=4,故尸(X≤4)=;,

所以P(X<2)=P(X≤4)-P(2≤Ar≤4)=0.1.

故答案为：0.1

16.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，〃表示取到黑球的

个数.给出下列各项：

①E(X)=£(;/)=②E(χ2)=E(");③E(T)=E(X);④D(X)=OM)=《.

其中正确的是.(填上所有正确项的序号)

【答案】①②④

【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.

【详解】由题意可知X服从超几何分布，“也服从超几何分布.

又X的分布列

Z)CY)=E/)_[E(R]2=∣-(∣)2=ɪ.

〃的分布列为

44I]X

JE(η2)=∖2×—+22×ɔ+32×ʌ=—,

,7105105

18OO

.∙.E(Λ2)=E5),。(㈤=。(〃)，.I①②④正确.

故答案为：①②④.

四、解答题

17.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球.先从甲袋中随机取出1

个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球.

(1)在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率：

⑵求从乙袋取出白球的概率.

【答案】⑴3

【分析】(1)在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；

(2)把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲

袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得.

【详解】(1)在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概

率为尸=得=；;

(2)从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出臼球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出

黑球，然后从乙袋取出白球，

所求概率为P=34χ25+26χ34=U11.

1010101025

18.已知函数/㈤=-+2x+l.

⑴求曲线y="X)在X=O处的切线方程；

(2)求曲线y=∕(x)过坐标原点的切线方程.

【答案】(l)V=2x+l

⑵N=3X

【分析】(1)对/(X)求导，求得/'(0),/(0),再由点斜式方程即可求出曲线y=∕(χ)在X=O处的切

线方程；

(2)设切点为(x°,∕(x°)),求得/'(x0),/(x0),再由点斜式方程求得切线方程为

^-(⅛-^+2x0+l)=(3⅛-2x0+2)(x-x0),切线过坐标原点，代入可求得XO=1,

回代即可得出答案.

【详解】(I)f'(x)=3x2-2x+2,则/'(0)=2,

又/(0)=1,所以曲线V=∕(x)在X=O处的切线方程为V=2x+1.

(2)设切点为(x0,∕(xo)),则/(Xo)=x；-x；+2xo+l/(Xo)=3x；-2xo+2,

则切线方程为y-卜；-片+2%+1)=(3x；-2x0+2)(x-x0),

切线过坐标原点，则。一(X；-ɪo+2%+1)=(3x；-2x0+2)(O-X(I),

整理可得2x；-X：-1=0,即(Xo-D(2x；+X。+1)=0,

解得%=I,则/'H)=/'⑴=3.

故所求切线方程为V=3x.

19.为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验.采用有放回简单随机抽样的方法

得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂(没有

任何疗效)的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈.

(1)根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2x2列联表；

疗效

疗法合计

治愈未治愈

服用新药

服用安慰剂

合计

(2)依据C=O.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论.

附：/=______MajC)2

(α+8)(c+d)(α+c)(，+“)；

a0.100.010.001

Xa2.7066.63510.828

【答案】(1)列联表见解析

(2)可以认为新药对治疗该种疾病有效

【分析】(1)依题意完成列联表;

(2)根据(1)中的列联表计算出由独立性检验的思想判断即可；

【详解】(1)解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的2x2列联表如下:

疗效

疗法合计

治愈未治愈

服用新药451055

服用安慰剂252045

合计7030IOO

(2)解：零假设“°：假设新药对治疗该种疾病无效，

根据列联表中的数据，可得/=%探空知29>6,635,

根据小概率值的独立性检验，推断出〃。不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率

不超过0.01,

服用新药中治愈和未治愈的频率分别为A9■和2服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为］5和4;，

根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；

20.车辆定位系统由全球卫星定位系统(GPS)和地理信息系统(GIS)组成，可以实现对汽车的跟

踪和定位，某地区通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X~N(g,£|.

^3^

(1)预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在5,3的概率；

(2)记Y表示随机抽取的10辆家用汽车中导航精确度在［1,4］之外的汽车数量，求P(y≥i)及y的数学

期望.

附：若X~N仇σj),贝∣JX≤"+b)≈0.6827,P{μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ<X≤μ+3b)≈0.9973,0.9973l°≈0.9733.

【答案】(1)0.8186

(2)P(y≥l)=0.0267,数学期望为0.027

【分析】(1)根据正态分布的性质计算可得；

(2)根据正态分布的性质得到尸(1≤X≤4),依题意可得y~8(10,0.0027),再根据二项分布的概率

公式及期望公式计算可得；

【详解】(1)解：由易知〃=j,b=；,所以预估该地区某辆家用汽车导航的精确度

^3^

在5,3的概率

0954506827

P^<X<^=P(μ-2σ<X<μ+σ^)≈∙÷∙=o.8ι86,

^3"

则预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在-,3的概率为0.8186.

(2)解：因为P(1≤X≤4)=P(M-3σ≤X≤M+3b)=0.9973,

则y~8(10,0.0027).

所以P(y≥1)=1-0.9973'°≈1-0.9733=0.0267,

故E(Y)==10X0.0027=0.027.

21.2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

(i)若该市E区有2万名外来务工人员，根据(1)的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人

员发放的补贴总金额；

(ii)若N区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为P,2p-lβ<jp<11,该市政府对

甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求P的取值范围.

“

y

∑jχiyi-nχy

参考公式：相关系数ZJ=回归方程/=&+八中斜率和截距的最小二乘估

.yχ,2-∏x2>√-∏72

Yjxiyi-rixy

计公式分别为5=号--------，a=y-hx.

之X；-nx2

1=1

【答案】(1)说明答案见解析，f=0∙7x+0.35

⑵(i)1750(万元)；(ii)IɪI

【分析】(1)根据相关系数，,的绝对值越接近1,线性回归模型的拟合效果越好，即可以根据直接计

算相关系数『的值来判断了与X之间的线性相关程度的强弱；N关于X的线性回归方程直接用参考公

式求解.

(2)(i)将x=2代入(1)中的线性回归方程，即可求出E区就地过年的人数；

(H)由X的所有可能取值为0,1,2,并分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望，

最后列出不等式求出P的取值范围.

_,ʌ,._ɪ∏-3+4+5+6—2.5+3+4+4.5

【详解π】(1)(1)由题λ，X=---------------=4.5,y=---------------------=3.5,

44

>,xji=3×2.5÷4×3+5×4+6×4.5=66.5,

22222

^XI=3+4+5+6=86,

=2.52+32+42+4.52=51.5,

一，，―“，66.5-4×4.5×3.53.5…

所以相关系数r=/,/------T=^77/TτX0∙99>

√86-4×4.52×√51.5-4×3.52√5×√2.5

因为y与X之间的相关系数近似为0.99,说明N与X之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回

归模型拟合y与X之间的关系.

P66.5-4x4.5x3.5._ʌ-

b=——，——=°∙7，a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35，

86-4×4.52J

故y关于X的线性回归方程为夕=0∙7x+0.35.

(2)(2)(i)将χ=2代入5=0.7x+0.35,得夕=0.7x2+0.35=1.75,

故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为1.75x1000=1750(万元).

(H)设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,

尸(X=O)=(l_p)(2-2p)=2p2_4p+2,

P(X=I)=(I-p)(2p-1)+p(2-2P)=-4p2+5p_1,

P(X=2)=P(2p-∖)=2p2-p.

所以E(X)=O+(-4p2+5p-l)xl+(2p2×2=3p-∖,

所以E(1000%)=1000(3P-]),

由IOOo(3p-l)≤1500,得p≤9,

6

又?<p<l,所以]<p≤∙∣,

226

故P的取值范围为俗；.

126J

22.已知函数/(X)='三2+1,g(x)=we'+/(x)(w∈R,e为自然对数的底