江西省2023届高三下学期二轮复习验收考试数学（理）试卷（含答案）

江西省2023届高三下学期二轮复习验收考试数学（理）试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合A={x∣χ2<2χ},B=Hy=Jlr卜则AB=()

A.(0,l]B.(0,l)C.(l,2)D.(0,2)

2、已知复数Z满足(1—i)(z-2i)=2i,则Z的虚部为()

A.-lB.-iC.3D.3i

ω

3、已知α=sin230。，h=Iog20222023,c=2^,则()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

4、在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和

上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度

涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是

A.在这12个月中,我国居民消费价格月度同比数据的中位数为2.1%

B.在这12个月中，月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C.在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的均值为1.85%

D.在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%

5、已知数列｛q,+2痔为等比数列，π1-¾=l,%=-2,则数列｛α,,｝的前10项和为（）

A.352B.401C.625D.913

6、黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞

口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.

黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm,足径14.4cm,

高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为(附：圆台的侧

面积S=MR+r)/,R,r为两底面半径，/为母线长，其中兀的值取3,

√25.4025≈5.04)()

A.3OO.88cm2B.313.52cm2C.327.24cm2D.344.52cm2

7、已知非零向量4,b,C,满足W=1,a+2b-4c,a∙c-3,b∙c-∖,则卜∣=()

A.夜B.2C.2√2D.4

8、已知定义在R上的函数/(x)满足"x+3)=-〃x),g(x)=/(X)-2为奇函数，则

/(198)=()

A.0B.lC.2D.3

9、已知α>l,b>∖,a%=ιoo,则IOgalO+31OgblO的最小值为()

A.4B.6C.8D.12

10、正割(Secant)及余割(CoSeCant)这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布

尔・威发首先引入，sec,esc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使

用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正害IJSeCa=」一，余割CSCa=」一.已

cosasina

知函数“X)=—1—+」一，给出下列说法：

secXescX

①/(x)的定义域为{x∣x≠Aπ,A∈Z};

②/(x)的最小正周期为2π;

③/(x)的值域为[-√∑,-l)l(-1,1)U(1,√2];

④“力图象的对称轴为直线x=-;+E(%∈Z)∙

其中所有正确说法的序号为()

A.②③B.①④C.③D.②③④

11、已知函数/(x)的定义域为(0,+∞),其导函数为一'(X),/(X)=InX-r(x),

〃1)=27⑴，则/(x)()

A.无极值B.有极大值，也有极小值

C.有极大值，无极小值D.有极小值，无极大值

22

12、已知椭圆U0+^r=l(α>6>θ)的左、右焦点分别为6，K，直线/经过点K交

o

C于A,8两点，点”在C上，AM//FiF2,∖AB∖=∖MFi∖,ZFtMF2=60,则C的离

心率为()

ʌ1R有「近n石

A.—B.——C.——D.—

2322

二、填空题

13、若命题“必,∈R,。=国+1”为真命题，则实数。的取值范围为.

(用区间表示)

22

14、已知双曲线C:二-斗=1(α>(),b>O)的一条渐近线恰好平分第一、三象

ah

限，若C的虚轴长为4,则C的实轴长为.

15、2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体

育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分

配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场

馆，则甲分配到游泳馆的概率为.

16、在平面四边形ABC。中，AD=CD=布,NADC=NACB=90°,NABC=60。，

现将aADC沿着AC折起，得到三棱锥。-ABC,若二面角。-AC-B的平面角为

135°,则三棱锥O-ABC的外接球表面积为.

三、解答题

17^在①3出?SinC=4AB∙AC；②α(3sinB+4cosB)=4c,这两个条件中任选一个,

补充在下面问题中，并加以解答.

已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为4,b,c,.

(1)求SinA的值；

(2)若AABC的面积为2,4=4,求AABC的周长.

18、如图，在多面体ABCEf'中，AE_L平面ABC,AE//BF,。为AB的中

点.AC=BC=26,AB=BF=AAE=A.

B

(1)证明：DE_L平面CO/；

(2)求二面角E-CF-。的平面角的余弦值.

19、为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了A,8两种不同口味的生态戚

风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知A蛋糕的成本为60元/个，B蛋糕的成本为

61元/个，两种蛋糕的售价均为68元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质

期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，A,8两种蛋糕分别在甲、乙两个分店

同时进行了为期一个月(30天)的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到

如下统计表.

A蛋糕的销售量(个)37383940

天数6610~8~

3蛋糕的销售量(个)37383940

蔻4912~5~

(1)以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率；

(2)若每日生产A,B两种蛋糕各〃个，根据以上数据计算，试问当”=38与〃=39

时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？

20、已知抛物线Uy2=2pχ(p>0)的焦点为F,A,B分别为C上两个不同的动点，。

为坐标原点，当AOAB为等边三角形时，14却=86.

(1)求C的标准方程；

(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P,使得点尸满足PA+PB=4Pb,且点

P到直线AB的距离为2?若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请

说明理由.

21、已知函数/(x)=(x-l)e'+"b，其中α≥0.

(1)当α=e时,求/(x)的极值；

(2)若不等式/(x)≥α对任意x∈R恒成立，证明：a≥e.

22、在平面直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为卜=为参数)，以

[y=√2cosa

坐标原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

「(2CoSe+sin。)="，其中0<6<2兀.

(1)求G的普通方程与直线/的直角坐标方程；

(2)直线/与曲线G交于A,B两点,且A,8两点对应的极角分别为4，θ1,求

α+a的值.

23、已知函数/(x)=2∣x+α∣+∣x-a∣.

(1)当α=2时，求不等式/(x)≤7的解集；

(2)若/(x)的最小值为10,求实数α的值.

参考答案

1、答案：A

解析：由题得A={x∣0<x<2},B={x∣x≤l},所以AB={x∣O<%≤l},故选A.

2、答案：C

解析：因为Z=包+2i=?+2i=i—l+2i=-l+3i,所以Z的虚部为3,故选

1-i(l-i)(l+i)

C.

3、答案：D

,90

解析：因为α=sin23O0<O,b=Iog20222023>Iog20222022=1,0<c=2√∙<2=1,所

以α<c<8,故选D.

4、答案：C

解析：在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为0.9%,

0.9%,1.5%,1.6%,1.8%,2.1%,2.1%,2.1%,2.5%,2.5%,2.7%,2.8%,中位数

>12.1%+2.1%.5E+7ΠJ∣⅛⅛

为---------------=2.10%,平均数为

1

——X(0.9%+0.9%+1.5%+1.6%+1.8%+2.1%+2.1%+2.1%+2.5%+2.5%+2.7%+2.8%)≈1.958%

12

.由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的

数据为0.0%,3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据

为负数的个数多3,且众数为0。％,故选项A,B,D正确，C错误，故选C.

5、答案：D

解析：令b,,=a,+2n,设数列也｝的公比为q,因为4-4=1,所以

bi—2—(⅛2—4)=1>即Z>2=b]+1,所以如=4+1.由/=-2，得4=4,所以如？=4,

b.q=/?.+!f⅛=1

联立匕'解得I所以2=2"T,所以外,=2-2〃=2"T-2〃，所以｛q｝的前

.如一=41q=2

…“l-2'°(2+20)

10项和为------ʌ--------^Xlo=913,故选D.

1-22

6、答案：B

解析：设该圆台的母线长为/,两底面圆半径分别为凡r（其中H>r）,则

2R=22.5,2r=14.4,〃=3.8—0.8=3,所以

yh2+[2∖2]="+4.052=√25.402525.04,故圆台部分的侧面积为

S,=π(∕?+r)/≈3×(11.25+7.2)×5.()4=278.964cm2，圆柱部分的侧面积为

2

52=2πr-0.8=6X7.2×0.8=34.56cm,故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为

2

5,÷S2≈278.964+34.56=313.524cm,

故选B.

7、答案：C

解析：由α+28=4c,得c=；(a+20),所以“∙c=∕α∙(a+20)=3,

b∙c=—b∖a+2b^=1»即α+24∙4=12,a∙h+2b-4,两式联立得α-4b=4,所

以4=4+48=8,所以,∣=2∙∖∕∑,

故选C.

8,答案：C

解析：因为/(x+3)=-"x),所以"χ+6)=-∕(x+3)=∕(x),所以/(x)的周期为

6,又g(x)=∕(x)-2为奇函数,所以/(x)—2+∕(τ)-2=0,所以

/(x)+∕(-X)=4,令X=0,得2/(0)=4,所以/(0)=2.所以

/(198)=∕(0+6×33)=∕(0)=2,

故选C.

9、答案：B

解析:因为α%=ioo,所以lgo%=2,即31gα+Igb=2,

所以

13ʧl3).,ʌlf∖gb91gα)

1logι1n0+3a1ιog1ιn0=--+—=--—+—∙(31gβ+lg/?)=-r6+--+——

αfcIgaIgb2(IgaIgbJ2(IgaIgZ?J

≥g6+2=6,当且仅当lgb=31gα,即α=lθ3h=10时等号成立.所以

IOg“10+31OgZ,IO的最小值为6,

故选B.

10、答案：A

解析：/(x)=---+---=cosX+sinX=√2sin∣x+-|,

secxesex14)

由COSxW0,SinXW0,得XWg(Z∈Z),即f(x)的定义域为{x∣∙M∈z},①错

误；“力的定义域关于原点对称，故/(x)的最小正周期与函数y=√∑sin[x+:)的最

小正周期一致，均为2兀，②正确；当X=0,兀，型时，y=√∑sin∣∖+q]的值

22V4)

分别为1,1,-1,1,考虑周期性可知，/(x)的值域为卜"-11(-1,1)U(L√η,③

正确；^x+^=→kπ(keZ),得x=(+E(ZeZ),即/(x)图象的对称轴为直线

x=^+kπ,^k∈Z),④错误，

故选A.

11、答案：D

解析：由题知/(I)+/'(1)=0,又/(1)=2∕'(1),

所以"I)"'⑴=0,令g(x)=e"(x),

则g'(x)=叫/(x)+f(X)]=e*InX'

又/'(X)=InX-/(X)=InX=Inx-g(x)],

令〃(X)=e`lnX-g(x),

所以"(x)=e`+In-g,(x)=ev+In-exInX=—>0,

所以MX)在(O,+∞)上单调递增，XΛ(l)=-g(l)=-e∕∙(l)=0,

所以当x∈(0,l)时，A(x)<O,∕,(x)<0,/(x)单调递减；

当x∈(l,+∞)时，Λ(x)>O,r(x)>O,/(x)单调递增，所以/(x)的极小值为

/(1)=0,无极大值，

故选D.

12、答案：B

11

解析：分别取A,B关于X轴的对称点A',B',连接AG,AF2,B'Fi,BF2,

由椭圆的对称性及几何知识可得IABI=IA'8[,四边形A，耳是平行四边形，

所以NEA鸟=NEs=60。，IMI=IA间，×∖AB∖=∖MFl∖,所以IA阅=IAB[,

所以玛是等边三角形，又AAB的的周长为∣A3[+∣A闾+忸闾=4α,

所以IAEI=弓，IA用=彳，AAKK中，由余弦定理

,,,

∖A'Ftf+∖A'F2f-2∣A^∣∣A^∣cosZ^A^=∣6gf,

4

得÷16Q22幺••史整理得所以

9-9一∙cos'=4c,2,∕=3C2,e=£=—―»

333a3

解析：因为国+1≥1,所以实数α的取值范围为[1,钟）.

14、答案：4

解析：由题意可知，双曲线C的一条渐近线为直线y=x,故α=b,故其实轴长为

2a=2b=4.

15、答案：1

3

解析：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1,1,3时，

甲、乙必在3人组，则方法数为C；A；=18种；（2）场馆分组人数为2,2,1时，其

中甲、乙在一组，则方法数为C；C；A；=18种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为

“=18+18=36.若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为

加=C；A；+C；A；=12,故所求的概率为P=丝=U=L

n363

16、答案：IOπ

解析：如图，取AC的中点EA3的中点R连接E凡Z）E因为AQ=Cr>,所以

DELAC,因为BC_LAC,EF//BC,所以EF_LAC,所以Nf)EF=I35。.过点E作

OEmDAC,过点尸作OF，平面ABC,OEOF=O,因为点E,尸分别是

△D4C和AABC的外心，所以点。是三棱锥。-ABC的外接球的球心.因为

AD=B所以AC=#,BC=0,AB=2垃,所以EF=LBC=业，

22

NoEF=45°,所以OZ7=Ef=也，AF=LAB=JΣ,所以OA=J5W7=，口.则

22V2

三棱锥D-ABC的外接球的半径R=JI，所以外接球的表面积S=4πR?=10π.

(2)4+4√2

解析：(1)若选①，由已知得3"SinC=4〃CCe)SA,所以3。SinC=4ccosA,

由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA,

又Cc(0,π),所以SinC>O,所以3sinA=4cosA,①

又sin?A+cos?A=I,②

联立①，②以及Ae(O㈤，解得SinA=±

若选②，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcos3=4sinC,

所以3sinAsin8+4SinAcos8=4Sin(A+8),

所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB,

所以3sinAsin3=4cosAsinB,

又BW(O,π),所以SinB>0,所以3sinA=4cosA,①

Xsin2A+cos2A=I,②

联立①，②以及A∈(0,τr),解得SinA=∙∣.

17

(2)由AABC的面积为2,^-bcsinA=-bc=2,所以。c=5,

25

由(1)可得cosA=JI-Sin2A=—,

5

由余弦定理得cosA="+C""="±二'=ɜ,

2bc105

所以62+/=22,所以b+c=Jb?+2Λc+<?=4拒,

所以AABC的周长为α+>+c=4+4√Σ.

18、答案：(1)见解析

⑵当

解析：(1)证明：因为AC=BC,。为AB的中点，所以CDLAB,

又AE_L平面ABC,Cr)U平面A8C,所以AE_LCD,

又AE'AB=A,AE,ABU平面ABFE,所以CD，平面ABFE,

又。EU平面ABFE,所以CD_LOE.

由平面几何知识可知。尸=2JLDE=小,EF=5,

所以£>£?+。尸2=E尸2,所以JDEj

MDcDF=D,CD,DEU平面CDR所以OEJ_平面CDE

(2)由题知8=JBC2-BD?=2,过。作DW〃AE交所于M,

则Z)M_L平面ABC,可得ZW_LAB,DMLCD,

以。为坐标原点，向量DB,DC,Z)M的方向分别为尤，y,z轴的正方向建立如图所

示的空间直角坐标系，

则C(0,2,0),E(-2,0,l),尸(2,0,4),所以CE=(-2,-2,l),CF=(2,-2,4),

设平面CE77的一个法向量为m=(x,y,z),

m∙CE=O--2X—2y+z=0

由＜得z《

m-CF=02x-2y+4z=0

取x=-3,则y=5,z=4,所以加=(—3,5,4).

由(1)知平面CDF的一个法向量为OE=(—2,0,1),

设二面角£-b-O的平面角为。，易知。为锐角,

m-DE∣-3×(-2)+5x0+4×l∣√∏)

则cosθ=cos(m,DE

22222

MoEʌʃ(-ɜ)+5+4×λ∕(-2)+0+l5

所以二面角E-b-D的平面角的余弦值为半.

19、答案：(1)一

75

(2)两种蛋糕的获利之和最大

解析：(1)设这两种蛋糕的日销量之和为X,

6510128937

则P(X=78)=——X-------1-------X--------1-------X——

303030303030150

10581273

P(X=79)=——X----1-----×——=-----

30303030450

854

P(X=80)=——×——

303090

所以这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率为

3773434

P=P(X=78)+P(X=79)+P(X=80)=—+-^+:-=三

',v7v,1504509075

(2)当〃=38时，两种蛋糕获利之和为

(37×8-60)×-^+38×8×H+(37×7-61)×^+38×7×H1642一

亍兀;

当〃=39时，两种蛋糕获利之和为

64

(37×8-60×2)×一+(38×8-60)×-^-+39×8×+(37×7-61×2)×一

303030

(38×7-61)×^+39×7χ^l-±-^=^

因为些>国2,所以当〃=38时，两种蛋糕的获利之和最大.

33

20、答案：（I）V=4x

（2）3x+√7y+l=O

解析：（1）由对称性可知当AOAB为等边三角形时，A,B两点关于X轴对称,

当AOAB为等边三角形时，△（?AB的高为左MM=I2,

由题意知点（12,46）在C上，代入V=2px,得（4后Y=24p,解得p=2,

所以C的标准方程为V=4兀

（2）由（1）知F（1,O）,根据题意可知直线AB的斜率不为0,

设直线AB的方程为x=Ay+根，A(xl,y1),B(x2,y2),PK,%),

“、[X=ky+m,.

联立S-1#y'-^ky-4m-0,

y=4x

所以A=16女2+16zn>0,即左之+〃?>。，且χ+%=4A,y↑y2=-4∕n,

所以看+x,=%(y+y,)+2m-4k2+2m

41

由PA+PB=^PF,得(玉-⅞,yl-y0)+(χ2-⅞,γ2-y0)=(-⅞,-⅜)，

+%-4=-2X()c∙r,.l∖xa=2-m-2k^rπz,λ

所以《一,所以〈。，即P(2-W-2AΛ-2A),

/+%=一2%E=一2%

又点P在C上，所以442=4（2-机—242）,gp3k2+m=2,①

所以上2+%=k2+2—3左2=20一左2）>0,解得T<A<1,

又点P在第一象限，所以一2%>0,所以T<A<O.

2—加―2K+2Zτ—/W2∣∕72-11

又点尸到直线AB的距离d=J----------1---------[=2,化简得

∖J↑+k2√l+⅛2

nr—Im-k2,②

11

m=——m=——

m=2

联立①②解得.3或-ɜ(舍去)或〈（舍去）.

,√7k=0

K=——

33

此时点pg,竽J,直线AB的方程为3x+√7y+l=0.

21、答案:(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)当α=e时，/(x)=(x-l)ev+e2-jc,所以

f'(X)=Xe"-e2^jr=e^x(Xe筋—e?),

令g(x)=xe2*-e?,所以/(X)=(2x+l)e",

当尤∈,8,-∙∣]时，g'(x)<0g(x)单调递减；当x∈[-J,+8时，g(x)>O,g(x)单

调递增，

所以g(x*n=g(一g)=—；eT—e2<0,且当x<。时’g(x)<O,g(l)=O,

所以当x∈(-∞,l)时,g(x)<O,∕,(x)<0,/(x)单调递减；

当x∈(l,+∞)时，g(x)>(),./(X)>(),/(x)单调递增，

所以/(x)的极小值为〃l)=e,无极大值.

(2)证明：由题得(x-DeJ/eT-α≥0对任意XeR恒成立，则只需

v2Av

[(%-l)e+«e---«]m,n≥O即可.当α=O时，(x-l)e>O对任意XeR不恒成立，故

0≠0,

令⅛(x)=(x-l)ex+a2e^x-a，则Λz(x)=xex-a2e-x=e~x(Xe-吗,

令Z(X)=xe2v-a2,则/(x)=(2x+l)e2v,

当工6100,-口时，M(X)<0,Z(X)单调递减；当∙X∈(-g,+oo]时，左'(x)>0,Z(X)

单调递增，

所以MXL=4一£|=一*~2<0,

又x<()时，MX)<0,且MO)=—/<0,^(02)=α2(e2α2-lj>O,

由零点定理可得存在Xo∈(0,/),使得MAo)=0,即χ°e2%=/.

当x∈(-∞,Xo)时，Z(X)<0,"(x)vθ,MX)单调递减；

当x∈(j⅛,+oo)时，MX)>0,∕f(x)>O,∕z(x)单调递增，

ZZ2x

所以MX)Inin=(XO)=(X。一l)e"+ae0-a,