（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第43练 几何证明选讲 理

第43练几何证明选讲题型一相似三角形及射影定理例1如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD∶BD＝9∶4，求AC∶BC的值．破题切入点含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．解方法一因为∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，所以由射影定理，得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.所以(eq\f(AC,BC))2＝eq\f(AD·AB,BD·AB)＝eq\f(AD,BD).又AD∶BD＝9∶4，所以AC∶BC＝3∶2.方法二因为AD∶BD＝9∶4，所以可设AD＝9k，BD＝4k，k∈(0，＋∞)．又∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，由射影定理，得CD2＝AD·BD，所以CD＝6k.由勾股定理，得AC＝3eq\r(13k)和BC＝2eq\r(13k)，所以AC∶BC＝3∶2.题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan∠ACD和sinP.破题切入点(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值．(2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．解连结OC，BC.因为PC为⊙O的切线，所以PC2＝PA·PB.故82＝4·PB，所以PB＝16.所以AB＝16－4＝12.由条件，得∠PCA＝∠PBC，又∠P＝∠P，所以△PCA∽△PBC.所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(PC,PB).因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又CD⊥AB，所以∠ACD＝∠B.所以tan∠ACD＝tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(PC,PB)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).因为PC为⊙O的切线，所以∠PCO＝90°.又⊙O直径为AB＝12，所以OC＝9，PO＝10.所以sinP＝eq\f(OC,PO)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).题型三四点共圆的判定例3如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.破题切入点(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边表的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE分别是∠BAC、∠DCF的平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.总结提高(1)证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．(2)证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.证明∵∠BAC＝90°，且AD⊥BC，∴由射影定理得AC2＝CD·BC，∴eq\f(AC,CD)＝eq\f(BC,AC).①∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴eq\f(AE,DF)＝eq\f(AC,CD).又BE平分∠ABC，且EA⊥AB，EF⊥BC，∴AE＝EF，∴eq\f(EF,DF)＝eq\f(AC,CD).②由①、②得eq\f(EF,DF)＝eq\f(BC,AC)，即EF∶DF＝BC∶AC.2.(2014·陕西改编)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，求EF的值．解∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,EF)，∴2＝eq\f(BC,EF)，∴EF＝3.3．(2014·重庆改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的值．解由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝2eq\r(3)，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．解(1)取BD的中点O，连结OE.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO，∴BC∥OE.∵∠C＝90°，∴OE⊥AC，∴直线AC是△BDE的外接圆的切线，即直线AC与△BDE的外接圆相切．(2)设△BDE的外接圆的半径为r.在△AOE中，OA2＝OE2＋AE2，即(r＋2eq\r(3))2＝r2＋62，解得r＝2eq\r(3)，∴OA＝2OE，∴∠A＝30°，∠AOE＝60°.∴∠CBE＝∠OBE＝30°，∴EC＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×eq\r(3)r＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2eq\r(3)＝3.5.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的长．(1)证明连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)解OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延长BO交⊙O于点D，连结DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.6．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，求线段CD的长．解因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．8.如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP，因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.9．(2014·辽宁)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连结BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.10.如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即eq\f(ON,OP)＝eq\f(OM,OK).又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.11．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC＝AE.12.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接