高考数学人教B版一轮复习训练2-8函数与方程

核心考点·精准研析考点一判断函数零点所在区间

1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+xb的零点所在的区间是 ()A.(2,1) B.(1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.设函数f(x)=QUOTExlnx,则函数y=f(x) ()A.在区间QUOTE,(1,e)内均有零点B.在区间QUOTE,(1,e)内均无零点C.在区间QUOTE内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间QUOTE内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2020·扬州模拟)设函数y=x2与y=QUOTE的图象交点为(x0,y0),则x0所在区间是 ()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)4.若a<b<c,则函数f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 ()导学号A.(a,b)和(b,c)内 B.(∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(∞,a)和(c,+∞)内【解析】1.选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=ax+xb,所以f(1)=QUOTE1b<0,f(0)=1b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得QUOTEx=lnx.作出函数y=QUOTEx和y=lnx的图象,如图,显然y=f(x)在QUOTE内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=QUOTE的图象交点为(x0,y0),则x0是方程x2=QUOTE的解,也是函数f(x)=x2QUOTE的零点.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=221=3>0,f(1)=12=1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为a<b<c,所以f(a)=(ab)(ac)>0,f(b)=(bc)(ba)<0,f(c)=(ca)(cb)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解T2.考点二确定函数零点的个数

【典例】1.函数f(x)=|x2|lnx零点的个数为 ()A.0 B.1 C.2 D.32.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sinxsin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[1,1]时,f(x)=2|x|1,则函数F(x)=f(x)|lgx|的零点个数是 导学号()A.9 B.10 C.11 D.18【解题导思】序号联想解题1由f(x)=|x2|lnx的零点,想到|x2|=lnx.2由f(x)=2sinxsin2x,想到化简,令f(x)=0求sinx与cosx的值.3由F(x)=f(x)|lgx|的零点个数,想到f(x)=|lgx|.【解析】1.选C.作出函数y=|x2|与g(x)=lnx的图象,如图所示.由图象可知两个函数的图象有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sinxsin2x=2sinx2sinxcosx=2sinx(1cosx)=0,则sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lgx|的大致图象如图,由图象可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)|lgx|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图象的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x32在区间(0,1)内的零点个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+02=1<0,f(1)=3+12=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.已知函数f(x)=QUOTE则函数y=f(x)+3x的零点个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.令f(x)+3x=0,则QUOTE或QUOTE解得x=0或x=1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2.3.已知f(x)=QUOTE则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.

【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=QUOTE或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图象.由图象知y=QUOTE与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用

命题精解读考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图象的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.新趋势:以函数图象与性质为载体,图象与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=QUOTEg(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ()A.[1,0) B.[0,+∞)C.[1,+∞) D.[1,+∞)【解析】选C.画出函数f(x)的图象,y=ex在y轴右侧的图象去掉,再画出直线y=x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图象有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图象有两个交点,即方程f(x)=xa有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足a≤1,即a≥1.已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图象交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零点,则实数a的取值范围是________.导学号

【解析】因为函数f(x)=4x2xa,x∈[1,1]有零点,所以方程4x2xa=0在[1,1]上有解,即方程a=4x2x在[1,1]上有解.方程a=4x2x可变形为a=QUOTEQUOTE,因为x∈[1,1],所以2x∈QUOTE,令2x=t,t∈QUOTE,a=QUOTEQUOTE,0≤tQUOTE≤QUOTE,0≤QUOTE≤QUOTE,QUOTE≤QUOTEQUOTE≤2,所以a=QUOTEQUOTE的范围为QUOTE,所以实数a的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)=2xloQUOTEx的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足 ()导学号A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=loQUOTEx的图象,由图象可知,当0<x0<a时,有QUOTE<loQUOTEx0,即f(x0)<0.与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图象,根据图象所处的上下位置确定.1.若函数f(x)=|2x4|a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为 ()A.(0,4) B.(0,+∞)C.(3,4) D.(3,+∞)【解析】选C.令g(x)=|2x4|,其图象如图所示,若f(x)=|2x4|a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4).2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是()A.x2<x1<x3 B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1【解析】选B.令y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1,因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=xQUOTE1的零点分别为x1,x2,x3,则y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1的图象与y=x的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1=2x,y2=lnx,y3=QUOTE1及y=x的图象如图,结合图象可得x1<x2<x3.3.(2020·南通模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为QUOTE的周期函数,当x∈QUOTE时,f(x)=1|2x1|.若函数y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,则实数a的值为________.

【解析】当x∈QUOTE时,f(x)=1|2x1|=QUOTE,且f(x)是定义在R上且周期为QUOTE的周期函数,因为函数y=f(x)logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,所以函数y=f(x)与y=logax(a>1)在(0,+∞)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图象如图所示,由图可知,当x=QUOTE时,有logaQUOTE=1,所以a=QUOTE.答案:QUOTE4.方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________.

【解析】令函数f(x)=2x+3xk,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5k)(10k)<0,解得5<k<10.又当f(1)=0时,k=5.则方程2x+3x=k的解在[1,2)内,k的取值范围是[5,10).答案:[5,10)1.(2020·包头模拟)已知函数f(x)=lnx+3x8的零点x0∈[a,b],且ba=1,a,b∈N*,则a+b= ()A.0 B.2 C.5 D.7【解析】选C.因为f(2)=ln2+68=ln22<0,f(3)=ln3