2022-2023学年七年级数学知识点串讲（北师大版）：全等三角形证明方法：手拉手模型（解析版）

专题06全等三角形证明方法一一手拉手模型

基本模型:

（1）条件：如图，A3E和.ACF均为等边三角形

结论：①，ABbWAEC；②ZBoE=NBAE=60。（“八字型”模型证明）；③。4平分NEoF（全等三

角形的性质+角平分线的判定）.

（2）条件：如图，ABC和CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线,

结论：①.ACDgaBCE；②AD=BE；③NACB=NA03=60°；④.PCQ为等边三角形

(一PCDMQCE)；⑤PQ//AE；@AP=BQ(APC^BQC)；⑦OC平分ZAOE；⑧

OA=OB+OC(在上截取OM=OC,证二AMgqBoC)⑨OE=OC+OD(在OE上截取

OH=OC,证OC四一E7/C).

（3）条件：如图，-ABr）和-ACE均为等腰直角三角形

结论：①一胡年一Q4C；②BE=CD;③BELCD.

（4）条件：如图，四边形AB砂和AC”。均为正方形

结论：①一BADT_E4C;@BD=FC,③B£>_LFC

BC

例题精讲：

例1.(1)问题发现：如图①，一ABC和_£DC都是等边三角形，点8、。、E在同一条直线上，连接AE.

①NAEC的度数为；

②线段AE、B。之间的数量关系为；

(2)拓展探究：如图②，.ABC和一£7)C都是等腰直角三角形、NACδ=ZDCE=90°,点B、D、E

在同一条直线上，CM为右即。中OE边上的高，连接AE,试求ZMB的度数及判断线段。W、AE.

之间的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题：如图③，.ABe和一Ef)C都是等腰三角形，NAC6=/DCE=36°,点8、D,E在同

一条直线上，请直接写出N£4?+NEeB的度数.

【答案】（1）①120°；②A£=即；（2）CM+AE=BM,理由见解析；（3）180°

【详解】解：（1）①YABC和，EZ）C都是等边三角形，

：.CE=CD,C4=CB,NECD=ZACB=60。，

.∙.ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,即ZECA=ZDCB,

在-Ec4和-OCH中，

CE=CD

<ZECA=ZDCB,

CA=CB

.∙.ECAgDCB（SAS）,

.∙.ZAEC=NBDC=T20。,

故答案为：120。；

②•：一ECg-DCB,

.,∙AE—BD,

故答案为：AE=BD;

（2）CM+AE=BM,理由如下:

DC是等腰直角三角形，

NCDE=45°,

：.NCDB=I35。,

由(1)得_反4空DCB,

：.ZCEA=ZCDB=135o,AE=BD,

•：NCEB=45。，

.∙.ZAEB=ZCEA-ZCEB=90°,

：一EQC是等腰直角三角形，CM为一EDC中。E边上的高，

：.CM=EM=MD,

：.CM+AE=BM;

(3)Y.EDC是等腰三角形，Nz)CE=36°,

.∙.NCDE=72。，

.∙.NCDB=IO8。，

•：-ECAaDCB,

.∙.NCE4=NCDB=108。，

.∙.ZE4C+ZEC4=72o,

∙.∙.ABC是等腰三角形，NACB=36°,

.∙.ZCAB=72°,

：.ZEAB+ZECB=ZEAC+ZCAB+ZECA+ZACB+1T+36oɪ180°.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的

性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

例2._ABC与.BDE均为等腰直角三角形，ZABC=ZDBE=90。.

(1)如图1,当D,B,C在同一直线时，CE的延长线与AO交于点R求证：NCE4=90°；

(2)当，ABC与.8。E的位置如图2时，CE的延长线与AO交于点F,猜想NCE4的大小并证明你的结

论；

(3)如图3,当A,E,。在同一直线时(4,。在点E的异侧)，CE与AB交于点G,ZBAD=ZACE,

求证：BG+ABAC.

【答案】（I）见解析；（2）ZCFA=90°,理由见解析；（3）见解析

【详解】（1）证明：•••_ABC和,BaE是等腰直角三角形，

ΛAB^BC,BD=BE,ZABC=NoBE=90。，

在，ABD和.CBE中,

AB=BC

<NABD=NCBE,

BD=BE

：.ABD^CBE（SAS）,

：.NBAD=NBCE,

'：ZBAD+ZAFE+ZFEA=ZBCE+ZABC+ZBEC=180°,

又♦:/FEA=ZBEC,

：.NCE4=ZABC=90。.

（2）解：NCE4=90°.

理由如下：

同理可证，ABD^.CBE（SAS）,

：.ZBAD=ZBCE,

：.NCE4=ZABC=90。.

（3）过点G作GHL4C于点H,同（2）可知/BAD=NBCE,

'：ZBAD=ZACE,

.∙.ZACE=/BCE,

VABlBC,GH上AC,

：.BG=GH,

'：ABAC=45°,

：.NBAC=ZAGH=45。,

：.GH=AH,

：.AH=BG,

在RJBCG和RLHCG中,

CG=CG

BG=HG'

：.RtBCGmRtHCG(HL),

：.BC=CH,

：.AC^AH+CH=BG+BCBG+AB.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与

性质；证明三角形全等是解决问题的关键.

例3.如图1,在一ABC中，NEAC=90°,AB^AC,直线MN过点A且W〃BC,点。是直线MN

上一点，不与点A重合.

（1）若点E是图I中线段AC上一点，且Z）E=A4,请判断线段DE与ZM的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,在（1）的条件下，连接C。，过点。作。P,Cz）交线段AB于点P,请判断线段Co与OP

的数量关系，并说明理由；

（3）如图3,在图1的基础上，改变点。的位置后，连接CD,过点。作OPJ_8交线段84的延长线

于点P，请判断线段CO与。P的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）DEYDA,理由见解析；（2）CD=PD,理由见解析；（3）CD=PD,理由见解析

【详解】解：（I）DE±DA,理由:

在RtABC中，AB=AC,

.∙.NB=NC=45。，

,.∙MN〃BC,

.∖NMAC=45。，

,.∙DE=DA,

：.ZAED=NMAC=45。,

.∙.ZADE=90。，

：.DEVDM

(2)CD=PD,理由：

,.∙DPLCD,

：.NCDP=90°,

∖∙ZADE=90。，

.∙.NCDP=ZADE,

.∙.ZCDP-ZPDE=ZADE-ZPDE,

：.ZCDE=ZPDA,

■：ZDAP=ZMAC+ABAC=135o,ZCED=↑80o-ZAED=↑35o,

：.ZCED=ZDAP,

'∙'DE-DA,

ΛC£D^,7¾D(ASA),

：.CD=PDi

(3)CD=PD,理由：如图3,

过点。作”_LA〃交AC的延长线于F,

：.ZADF=90°,

■：DPLCD,

：.NCf)P=90。，

.∙.AADF=/CDP,

：.ZCDF=ZADP,

由(1)知，ZCW=45°,

.∙.ZF=90°—NCW=45°,ZPAM=900-ZCAM=45°,

：.ZF^ZPAM,

同（1）的方法得，DF=DA,

CZx.Pm（AAS），

.∖CD=PD.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和

性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键.

专练过关：

1.如图，在AAOB和一CoD中，0A=0B,OC=OD,若ZAOB=NeOD=60°.

（.1）求证：AC=BD.

【答案】（1）见解析；（2）60°

【详解】（1）证明：：NAOB=NCQD=60°,

.∙.ZAOC=ZBOD,

在▲AOC和.30□中，

OA=OB

<ZAOC=NBOD,

OC=OD

：.AOC^BOD（SAS）,

AC—BD.

（2）解：V^AOC^BOD,

：.ZOAC=ZOBD,

∙.∙ZOAC+ZBAC=ZOAB,ZABO+ZOBD=ZABP,

：./PAB+ZPBA=ZOAB+ZOBA,

•；OA=OB,ZAOB=60°,

.∙..AaB是等边三角形，

.∙.ZPAB+ZPBA^noo,

：.ZAPB=180o-(ZPAB+NPBA)=180°-120°=60°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握SAS定

理判定三角形全等.

2.如图所示，ABC是一个等腰直角三角形，其中AB=AC.。是斜边BC上一点，连接线段A。，并

逆时针旋转90°至E,连接线段CE.

(1)证明：ABD^..ACE.

(2)判断工OCE的形状.

BDC

【答案】（1）见解析；（2）..OCE为直角三角形

【详解】（1）证明：ABC是一个等腰直角三角形，其中AB=AC,

.∙.ZBAC=90°,

•：线段AD逆时针旋转90°得到AE,

：.ZDAE=90°,AD=AE,

'：ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=90°,

二NBAD=NCAE,

在，ABD和..ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：..ABr^ACE（SAS）.

(2)解：由(1)知，ΔABD^ΔACE,

.∙.NB=ZACE,

∙/OABC是一个等腰直角三角形，

.∙.NB=ZACB=45°,

.∙.NACE=45。，

.∙.ZDCE=ZAC6+ZACE=90°,

：._DCE为直角三角形.

【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质以

及全等三角形的判定与性质是解题关键.

3.如图1,在OABC中，ZBAC90°,AB^AC,ADLBC于点。，NMDN=90°,将/MDN绕

点。顺时针旋转，它的两边分别交48、AC于点£、F.

(1)求证：BDE^ADF；

(2)如图2,若DM=DN,连接技以、NA,求证：BM=NA.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】证明：（I）..∙NB4C=9O°,AB=AC,

：._ABC为等腰直角三角形，

：.NB=NC=45。，

'：ADYBC,

：.ZZMF=45o,BD=CD=AD=-BC,

2

,NB=NDAF=45。,

∙.∙ZBDE+ZADE=ZADB=90o,ZADE+ZADF=ZMDN=90°,

.∙.NBDE=ZADF,

在4BDE和,ADF中，

NB=NDAF

«BD—AD,

NBDE=ZADF

：.BDEmADF(ASA)i

(2)由(1)知，BD=AD,ABDM=ZADN,

在，。和JW)中，

BD=AD

<NBDM=ZADN,

DM=DN

：.MBD^NAD(SAS),

：.BM=AN.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握判定三角形全

等的方法是解题关键.

4.阅读与理解：如图I,等边3。E按如图所示方式设置.

操作与证明：

(I)操作：固定等边-ABC,将3。E绕点B按逆时针方向旋转120。，连接A。，CE,如图2；在图2

中，请直接写出线段CE与AO之间具有怎样的大小关系.

(2)操作：若将图1中的班>£,绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α(60°Vα<180°),连接A£>,

CE,AT>与CE相交于点M,连,如图3；在图3中线段CE与AO之间具有怎样的大小关系？NEMD

的度数是多少？证明你的结论.

猜想与发现：

(3)根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，NZ)MB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明

你的结论.

D

图1图2图3

【答案】（1）CE=AD;⑵CE=AD,NEMD=60。,理由见解析；（3）不变，理由见解析

【详解】解：（1）CE=AO;

∙.∙将BDE绕点、B按逆时针方向旋转120°,

：.ZABD=∕CBE,

在,EBC和右。84中，

BE=BD

<NEBC=NDBA,

BC=AB

：.EBC^,DBA（SAS）,

CE-AD；

（2）CE=AD,NJM）=60°,理由如下：

设AD与BE交于点。，

：将BZ)E绕点2按逆时针方向旋转ɑ度,

NEBC=NDBA=a,

,/二ABC与.3Z)E是等边三角形，

ΛBCAB,BD=BE,

：.EBCmDBA(SAS),

.∙.CE=AD,NCEB=ZADB,

•：ZEOM=ZDOB,

.∙.NEMD=ZEBD=60。,

(3)不变，理由如下：

过点B作B"_LAD于点H,BFΔ.EC于点F,

E

D

'：_EBC—DBA,

.∙Sebc=sdba,AD=EC,

：.BH=BF,

：.MB平分NDMC,

：.ZDMB=-NDMC=60o,

2

.∙.NDMB的度数大小不变.

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，

角平分线的判定等知识，证明aEBCgZ∖O8A是解题的关键.

5.(1)如图1,ABC与ADE均是顶角为40。的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE;

(2)如图2,AeB和,.OCE均为等边三角形，点A、。、E在同一直线上，连接5E.

填空：NAEB的度数为；线段BE与AO之间的数量关系是.

(3)拓展探究

如图3,-AcB和a。。E均为等腰直角三角形，NACB=NOCE=90°,点A、。、E在同一直线上，CM

为一。CE中。E边上的高，连接BE.请判断ZMB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并

说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）60o,BE=AD-.（3）AE=BE+2CM

【详解】(1)证明：'：ABACZDAE40°,

：.ABAC-ADAC=ADAE-ADAC,

即NBW=Ne4E,

在，84。和JC4£中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.^BAD^^CAE,

.∙.BD=CE.

(2)解：：，AeB和,。CE均为等边三角形，

ΛAC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=60。,NcDE=NCfD=60。,

ΛZACB-ZDCB=ZDCE-ADCB,

即ZACD=NBCE,

在dACD和-BCE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.ACD^..BCE,

：.BEAD,ZADC=NBEC,

点4,D,E在同一直线上，

.∙.ZADC=I80°—60°=120°,

.∙.NBEC=I20。,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=120o-60°=60°,

综上，可得

NA的度数为60°；线段BE与AO之间的数量关系是：BE=AD.

故答案为：60°、BE=AD.

(3)解：Y,4CB和二OCE均为等腰直角三角形，

ΛAC=BC,CD=CE,ZACB=NDCE=90°,NCDE=NCED=45。,

：.ZACB-ZDCB=ZDCE-NDCB,

即ZACD=ZBCE,

在qACD和」BCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

.∙..ACD^.BCE,

：.BE=AD,ZADC=NBEC,

：点A,D,E在同一直线上，

.∙.ZADC=I80°-45°=135°,

.∙.NBEC=I35°,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=135o-45o=90o,

VZDCE90°,CD=CE,CMLDE,

：.CM=DM=EM,

：.ED=DM+EM=2CM,

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【点睛】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在

判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角

形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.

6.在_ABC中，AB=AC,点。是直线BC上一点（不与8、C重合），以4。为一边在AD的右侧作」ADE,

使4）=AE,NDAE=/BAC,连接CE.

（1）如图1,当点