现代控制理论第三章

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第三章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基础。能控性和能观性是分离分析对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力。§3－1能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用的作用下，状态矢量的转移情况，而与输出无关。矢量的线性无关与线性相关：倘若式中的常数满意,则把向量叫做线性无关。例如向量便是线性无关。若向量中有一个向量为其余向量的线性组合，即：则称向量为线性相关。例如向量便是线性相关。又例如在式中,式中系数并不全为零。故为线性相关。具有约旦标准型系统的能控性判据1．单输入系统先将线性定常系统举行状态变换，把状态方程的阵和阵化为约旦标准型,再按照阵决定系统的能控性。具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为，或。其中：，各根互异。其中：（特征值有重根的），下面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。例：1）从上式看出与无关，即不受控制，因而惟独一个异常状态。是能控制状态，故为状态不彻低能控的，因而为不能控系统。例：2）（为约旦型）固然与无直接关系，但它与是有联系的，而却是受控于的，所以系统的各状态彻低能控的。几点结论：1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵和控制矩阵。系统矩阵是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵是与控制作用的施加点有关的。因此系统的能控性彻低取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点。2）在为对角线型矩阵的情况下，倘若的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与无关。这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时光内，衰减到零状态。从状态空间上说，是不彻低能控的。3）在为约旦标准矩阵的情况下，因为前一个状态总是受下一个状态的控制，故惟独当中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不彻低能控的。4）在结构图中与无关的孤立方块，其自由解是，故为不能控状态。(见p84例题)一．线性延续定常系统的能控性定义设线性定常系统能控性定义：倘若存在一个分段延续的输入，能在有限时光区间内，使系统由某一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态彻低能控的。几点说明：1．在线性定常系统中，为简便，可以假定初始时刻，初始状态为，而随意终端状态就指定为零状态，2．假定，而为随意终端状态，若存在一个无约束控制作用，在有限时光内，能将由零状态驱动到随意。3．在研究能控性的同时，控制作用从理论上说是无约束的（而实际上是不可能的）其取值并非是唯一的，我们协助的只是它能否将驱动到，而不计较的轨迹如何。二．对于离散时光系统对于单输入的阶线性定常离散系统是标量控制作用，它在区间内是个常值。若存在控制作用序列能将第步的某个状态在上到达零状态，（的有限数）就称此状态是能控的。若系统在第步上的所有状态都是能控的，那么此系统是状态彻低能控的，称为能控系统。三．直接从A与B判别系统的能控性1．单输入系统：线性延续定常单输入系统，倘若能用一个无约束的控制信号，在有限的时光内，使初始状态转移到任一终止状态，这个系统称为可控系统。倘若系统中各个状态都可控，我们称之为彻低能控系统。对状态方程的解：（3—17）对随意的初始状态矢量，应能找到，使之在有限时光内转移到零状态，令，上式得：左边同乘一个（3—18）按照凯莱—哈密顿定理，的任一次幂，可由其幂的和表示（对任何的）故：(3－19)其中：将上式代入式（3－18）有（3－20）其中其中，因为为标量函数，又是定限积分，所以也是标量，将式（3－20）写成矩阵形式（3－21）要是系统能控，则对随意给定的初始状态，应能从式（3－21）解出来。（3－22）的逆存在。因此必须保证系统秩等于（即满秩）即，当系统时，系统为不能控的，单输入系统，其能控的充足须要条件是由，构成的能控性矩阵必须是满秩。例1：不能控例2：为满秩，可控。在单输入系统中，按照和还可以从输入和状态矢量间的传递函数阵决定能控性的充足须要条件。由式（1－64）知间的传递函数阵为状态彻低能控的充足须要条件是没有零点和极点重合（对消）现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。倘若传递函数分子和分母约去一个相同公因子之后，就相当于状态变量减少了一维，系统浮上了一个低维能控子空偶尔一个不能控子空间，故属于不能控系统。例1：有系统如下，试判断是否能控间的传递函数阵为传递函数阵中有一个相同的零点和极点，该极点所对应的天然模式为为不能控的，所以该系统为不能控系统。例2：从输入和状态矢量间的传递函数决定其能控性。中不可能浮上相同的零点和极点，即分子，分母不存在公因子的可能性。故能控标准型的状态方程一定是能控的。2．多输入系统维列矢量控制不是标量，而是为矢量，它是维列矢量，相应的变为也是一个维列矢量。（3－23）它是有个未知数的个方程组，按照代数理论，在非奇次线性方程（3—23）中，有解的充足须要条件是它的系数矩阵和增广矩阵的秩相等。在多输入输出系统中，是阵：考虑到是随意给定的，欲使上式关系成立，的秩必须是满秩。多输入输出系统，因为矩阵与的积是方阵，而它的非神奇性等价于非神奇性，在计算行比列少的阵的秩时，常用的关系，通过计算方阵的秩决定的秩。偶尔不写矩阵，而记证以对或对，满秩时，也可以说是能控的。例3：判别三阶两输入系统的能控性易知非神奇，故满秩。系统是能控的，也可以从的前三列看出。对应（3－23）线性方程组解出有无穷多个。对应也是无穷多个，也是无穷多个。输出可控性：维，维，维（或）惟独当矩阵，是输出彻低可控的条件的秩为时，才是输出彻低可控的。§3－3线性延续定常系统的能观性控制系统大多数采用反馈控制形式，现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但是并非所有的系统状态变量在物理上都能测取到，能否通过对输入的测量获得所有状态变量的信息。这便是系统的能观测问题。一．能观性定义能观性所表示的是输出反映状态变量的能力，与控制作用没有直接关系，在分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发（3－24）倘若对随意给定的输入，再有限的观测时光内，使得按照期间的输出能唯一地决定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是彻低能观测的。对定义的几点说明：1．倘若令，，是非神奇的阵，从齐次状态方程和输出方程运算，，用符号表示。2．普通情况下对于观测时光应满意的要求，倘若时光间隔取得太近，的各值相差无几，保证不了其各方程状态的自立性。3．一旦决定了初始状态，便可按照给定的控制量（输入），利用状态转移方程：求各个瞬时的状态。二．定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别：1.对系统举行坐标变换成约旦标准型，然后按照标准型下的阵，判别其能观性。2.直接按照阵和阵举行判别。1．转换成约旦标准型的判别主意。（3－25）（1）为对角线矩阵：（3－26）（3－27）将式（3－26）代入式（3－27）（3－28）从状态矢量而言，系统矩阵为对角线矩阵时，系统能观测的充足须要条件是输出矩阵中没有全为零的列。若第列全为零与之相应的为不能观的。例：判别系统的能观性所以其中其中：C阵没有全零的列，彻低能观的（2）为约旦标准型矩阵：（以三阶为例）状态方程的解注：（3－29）由以上可知，当输出矩阵中第一列元素不全为零时，中总包含着系统的所有自由分量而为彻低能观。充要条件：1．在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵中，对应每个约旦块开始的一列元素不全为零。2．因为随意系统矩阵经变换后，均可演变为对角线或约旦型，此时只需按照输出矩阵是否有全为零的列，或对应约旦块的的第一列是否全为零，便可以决定系统的能观性。3．直接从阵判断系统的能观性。（3－30）按照在时光区间测量到的，要能从式（3－30）唯一的决定，彻低能观的充要条件是矩阵的秩为。其中为C阵输出的结构或（3－31）例：系统是否可控可观的？的秩为2，所以系统是状态彻低能控的。秩为1，系统输出彻低能控。秩为2，系统彻低能观测。§3－4离散系统的能控性与能观性一．能控性矩阵离散时光系统的状态方程如下：当系统为单输入系统时标量控制作用，控制阵为维列矢量。系统矩阵（）状态向量采样周期为常数按照§3－1能控性定义，在有限个采样周期内，若能找到阶梯控制信号，使得随意一个初始状态转移到零状态，那么系统的状态是彻低能控的。怎样才干判定能否找到控制信号呢？先看一个实例：（3－33）随意给一个初始状态，看能否找到阶梯控制，，在三个采样周期内使，利用递推法，，令，从上式得到三个标量方程，求解，，写成状态方程系数矩阵是非神奇，其逆阵存在，方程有解。在第三步时，使状态转移到零，因此为能控系统，所以有解的充要条件（能控）系数矩阵满秩。对于式（3－33），初始条件为时，其解（3－37）倘若能控时，解得使在第个采样时刻为零从而有：或（3－38）上式有解的充要条件是能控性矩阵的秩等于（3－39）上面例题：秩为3，能控。对于多输入系统，不再是维列向量，而是矩阵，是输入的维数，是一个矩阵。例：满秩，能控。写成式（3－38）它是一个待求变量为9，惟独三个方程的方程组，只要是满秩就有解，而且是无穷多组解，能控协助的是有解，详细是什么样的控制信号，在此无关紧要。在多输入系统中，阶系统初始状态转移到原点，只需要一个采样周期，就能转移到原点。已知，已知，已知，求即可。二．能观性矩阵设离散系统的能观性（3－41）维矢量输出矩阵维倘若知道有限采样周期内的输出，就能唯一地决定随意初始状态矢量，则系统是彻低能观的，现推导能观性条件（3－42）若系统能观，那么在知道，时，应能决定出，式（3－42）可得：写成矩阵的形式，（3－43）有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于，这个系数矩阵称为能观性矩阵。或（3－44）§3－6能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性有其内在关系，即卡尔曼提出的对偶原理，利用对偶关系可以把系统能控性分析转化为对偶系统能观性的分析。一．线性系统的对偶关系两个系统：第一个系统为：第二个系统为：，互为对偶的条件维状态矢量各为与维控制矢量各为与维输出矢量系统矩阵各为与控制矩阵各为与输出矩阵是一个维输入维输出的阶系统，是一个维输入维输出的阶系统。互为对偶的两个系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。为矩阵：为阵：对取转置： （3－56）对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。同样系统的输入—状态的传递函数，与其对偶系统的状态—输出的传递函数阵互为转置。而原系统的状态—输出传递函数与其对偶系统输入－状态的传递函数阵互为转置。注重：互为对偶的系统，其特征方程式是相同的。即：二．对偶原理两个系统互为对偶，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。若是状态彻低能控的（彻低能观的），是状态彻低能观的（彻低能控的）。对能控性判别阵（）的秩为，则系统状态彻低能控，将，，的关系式代入上式。说明的秩也为，从而说明为彻低能观的。同理：若的满秩，为彻低能观时，则的亦满秩即为状态彻低能控。§3－7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型因为状态变量挑选的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。把状态空间表达式化为能控标准型（能观标准型）的理论按照是状态的非神奇变换不改变其能控性（能观性），惟独系统是状态彻低能控的（能观的）才干化成能控标准型。一．单输入系统的能控标准型。设线性定常系统：倘若系统是状态彻低能控的：能控性判别阵中至少有个维列矢量是线性无关的，因此在个列矢量中选取个线性无关的列矢量，以某种线性组合，仍能导出一组个线性无关的列矢量。从而导出状态空间表达式的某种能控标准型。对于单输入单输出系统，在能控判别阵中惟独唯一的一组线性无关矢量，一旦组合逻辑决定，其能控标准型的形式是唯一的。对于多输入多输出系统，在能控性判别阵中，从中选取出个自立的列矢量的取法不是唯一的，因而能控标准型的形式也不是唯一的。显然，当系统是状态彻低能控的，才干满意上述条件。1．能控标准型设线性定常单输入系统：（3－67）能控的，则存在线性非神奇变换（3－69）使式（3－67）化成（3－70）其中：式（3－70）为能控标准型其中为特征多项式。的各项系数，是相乘的结果。即：证实：因假设系统是能控的，故矢量是线性自立的，按下列组合方式构成的个新矢量也是线性自立的。（3－75）其中是特征多项式各项系数。变换矩阵由组成。 （3－76）即：（3－77）将式（3－75）代入（3－77）注：把上述代入式（3－77）有：把式中代入即：将式（3－75）代入其中采用能控标准型的，求系统的传递函数是很方便的。（3－78）传递函数分母多项式的各项系数是的最后一行的元素的负值，分子多项式的各项系数是阵的元素。按照传递函数的分母多项式和分子多项式的系数，便可以直接写出能控标准型的。例：将下列状态空间表达式变换成能控标准型，，，能控。计算系统的特征多项式：即：注：系统的能控标准型为系统的传递函数2．能控标准Ⅱ型（3－79）是能控的，则存在线性非神奇变换相应的状态空间表达式（3－79）转换成（3－81）（3－82）（3－83）（3－84）式（3－81）的状态空间表达式为能控标准Ⅱ型。是系统特征多项式的各项系数。式（3－84）中的是相乘的结果。即：，，…（3－85）上例中已求得：，，注：，二．单输出系统的能观标准型惟独当系统是状态彻低能观时，系统的状态空间表达式才干导出能观标准型。1．能观标准型设线性定常系统是能观的。存在非神奇变换使状态空间表达式化成（3－90）首先构造的对偶系统，， （3－91）然后写出对偶系统的能控标准Ⅱ型，的状态空间表达式能观标准型，即是的能控标准Ⅱ型。即：，，（3－92）式中：－系统的能控标准Ⅱ型对应的系数矩阵－系统的能观标准型对应的系数矩阵－系统的对偶系统的能观控标准型对应的系数矩阵（3－93）式（3－90）为能观控标准型，其中为矩阵的特征多项式的各项系数。取变换阵（3－94）例：将其变换为能观标准型其秩为3，满秩其中：注：即：注：即：注：，，2．能观标准Ⅱ型线性定常单输出系统是能观的。存在非神奇变换（3－95）（3－97）其中：其中：按照状态空间表达式的能观测Ⅱ型可直接写出系统的传递函数例：即：求能控标准Ⅱ型：注：， ，，§3－8线性系统的结构分解倘若一个系统是不彻低能控的，则其状态空间中所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。倘若一个系统是不彻低能观的，则其状态空间中所有能观测的状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。在普通形式下，这些子空间并没有显然地分解出来。本节将研究如何通过非神奇变换（即坐标变换）将系统的状态空间按能控性和能观性举行结构分解。一．按能控性分解设线性定常系统：（3－101）是状态不彻低能控的，其能控性判别矩阵的秩则存在非神奇变换（3－102）将状态空间表达式（3－101）变换为（3－103）其中：（3－104）（3－105）（3－106）能控的其中，所以式（3－103）将系统的状态空间分解成能控的和不能控的两部分，其中维空间是能控的。而（）维子空间系统是不能控的，对不起作用，仅作无控的自由运动。若不考虑（）维子系统，便可得到一个低维的能控系统。对于非神奇变换阵，（3－107）其中个列矢量可以按如下的主意构成，前个列矢量是能控性矩阵，中的个线性无关的列，另外的（）个列在确保为非神奇的条件下，彻低是随意的。例：判别下列定常系统的能控性，若不是彻低能控的，试将该系统按能控性举行分解。系统系统是不彻低能控的按式（3-107）构成非神奇变换阵。随意取得（因不能控）是随意取得但要保证为非神奇矩阵。倘若选取为另一矢量，保证为非神奇阵。于是：把系统分解两部分，二维能控子空间的状态空间表达式是相同的，属能控标准Ⅱ型，能控部分状态表达式为：二．按能观性分解设线性定常系统：（3－108）是状态不彻低能观的，其能观性判别矩阵的秩，则存在非神奇变换将状态空间表达式（3－108）变换为（3－110）其中：（3－111）（3－112）（3－113）其中：能观由：，经上述变换后系统分解为能观的维子系统和不能观的维子系倘若不考虑能观测子系统便得到一个维的能观系统。非神奇变换阵的构成为：（3－114）其中前行矢量是能观性判别阵重的个线性无关的行；另外的个行矢量在确保为非神奇的条件下，彻低是随意的。例：其系统的能观性，若不是彻低能观，将系统按能观性举行分解。系统的秩系统是不彻低能观的取是保证为非神奇的条件下随意选取的。三．按能控性和能观性举行分解1．倘若线性系统是不彻低能控和不彻低能观的，对该系统同时按能控性和能观性举行分解，则可以把系统分解成能控且能观，能控不能观，不能控能观，不能控不能观四部分。并非所有系统都能分解成这四个部分。设线性定常系统：（3－115）不彻低能控，不彻低能观，则存在线性非神奇变换把上式变换为：（3－117）其中：（3－120）能控能观，能控不能观能观不能控，不能控不能观是能控能观子系统。在系统的输入和输出之间，惟独一条唯一的单向控制通道，即。反映系统的输入输出特性的传递函数只能反映系统中能控并且能观的那个子系统的动力学行为。（3－122）传递函数阵只是对系统的一种不彻低的描述。倘若在系统中添加不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数。按照给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有无穷个，但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小实现问题。2．变换矩阵决定之后，只须经过一次变换便可对系统同时按能控性和能观性举行分解。而构造阵太复杂，只推荐逐步分解的主意。（1）首先将系统按能控性分解，故状态变换将系统变换为（3－123）（3－124）其中按照式（3－107）构造的。随意取，只要保证非神奇（2）将上式中不能控子系统按能观性分解，对取状态变换将分解为：由式（3－114）构造的，按能观性分解的变换阵（3－114）（3）将能控子系统按能观性分解，对取状态变换由式（3－124）有：把状态变换后的关系式代入上式有两边左乘有其中：，随意配置保证非神奇。由式（3－114）构造的按能观性分解的变换阵。综合以上三次变换，可导出系统同时按能控性和能观性举行结构分解的表达式。例：将系统按能控性和能观性举行分解将系统按能控性分解：随意取经变换系统分解为：从上式看，不能控子空间仅一维，而是能观，故无需再举行分解。将能控子系统按能观性举行分解：按能观性分解，按照（3－114）构造非神奇变换阵不彻低能观。不能观—一行随意选，保