第5课（B培优）数列的综合（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第18课：数列的综合教学目标掌握数列与其他章节知识点的综合运用重点数列与其他章节知识点的灵活运用难点数列与其他章节知识点的灵活运用（一）等差与等比数列的综合知识梳理一、等差数列、等比数列①等差数列通项公式：等差数列求和公式：；②等比数列通项公式：等比数列求和公式：例题精讲【例1】已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.【难度】★★★【答案】【解析】解：设等差数列的公差为，则，由已知，即，得，于是，在等比数列中，公比．由为数列的第项，知；由为数列的第项，知，，故.故答案为．【例2】已知数列满足奇数项成等差，公差为d，偶数项成等比，公比为q，且数列的前n项和为，，．，．若，则正整数______．【难度】★★★【答案】2【解析】因为，，所以，，又，，奇数项成等差，公差为，偶数项成等比，公比为，可得，，解得，．①当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，②当为奇数时，由，可得，即，当时，不合题意；当时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；当为偶数时，，可得，解得．综上，．故答案为：2．巩固训练1、已知在等差数列中，，，前项和为，等比数列满足，，前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】法一：设等比数列的公比为，则由题意可得，数列单调递增，又，所以．法二：不妨取，则等比数列的公比，所以，，显然,故选：A．2、已知等差数列和等比数列满足，，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，∴，，∴，.（2）当的前60项中含有的前6项时，令，此时至多有项（不符）.当的前60项中含有的前7项时，令，且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.∴.（二）数列与不等式例题精讲【例3】已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（）A．2008 B．2014 C．2021 D．2022【难度】★★★【答案】B【解析】由题意，，，，又是以4为首项，为公比的等比数列记的前n项之和为，，由于单调递增，单调递减，故关于单调递增由于，由于故满足不等式的最小整数n是2014，故选：B【例4】数列满足：，，，.若，对，不等式恒成立，则实数的最大值为___________.【难度】★★★【答案】【解析】由，可得，∴数列是首项，公差的等差数列，则，∴，由已知有：，当时，显然符合题意，当时，由已知得：.设，则，∴数列递增，则的最小值为，故只需.故答案为：.【例5】若数列满足(，且为实常数)，，则称数列为数列.（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；（2）已知是公比为的等比数列，且，记.若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；【难度】★★★【答案】（1）；（2）；【解析】（1）因为为（3）数列，所以，则，解得，即的取值范围是，；（2）由数列为（4）数列，可得或，当时，由，，所以．则，所以，即；当时，由，，所以．则，所以，即，所以，则的取值范围是；巩固训练1、已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）.A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴当时，有，两式相减得，即，又当时，有，解得.∴，.∵对于任意的，，不等式恒成立，∴.解得，故选：B2、已知等比数列的公比，且，，等差数列的前项和为，且有，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，是数列的前项和，对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；；（2）.【解析】解：（1）等比数列中，，，故，又，所以，故；等差数列中，，即，又，故，所以，故；（2）因为，，故，则，两式作差得：故，所以恒成立，当n是偶数时，不等式即，易见是递增数列，故时取得最小值，所以，当n是奇数时，不等式即，易见是递减数列，故时取得最大值，所以，综上可知，实数的取值范围是.（三）数列与函数例题精讲【例6】已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；（2）若数列满足，求通项公式；（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.【难度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】由数列满足，，，.（1）因为数列是等差数列，，，记公差为，则公差，所以，即，解得.（2）因为数列满足，所以.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（3）因为，且，所以，根据（2），可知当时，，所以，所以.因为数列是等比数列，所以，解得，又因为，所以.【点睛】数列与函数的综合问题的求解策略：1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前项和公式，求和方法等对式子化简变形；3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.【例7】设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式__________________．【难度】★★★【答案】【解析】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,所以,当时得到,,即,∴数列为首项为，公比为的等比数列，∴,即故答案为：.【例8】定义在R上的函数满足，，数列满足，的前n项和为，则=_________．【难度】★★★【答案】337【解析】因为函数满足，所以函数是周期为6的周期函数，，，，，因为，所以故答案为：337【例9】若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的条件下，定义数列（），求的值；【难度】★★★【答案】（1），；（2）；【解析】（1）令，，则，可得；令，，则，则；（2）令，，，则，∴，即，又，∴是首项为，公比为的等比数列，则，则，∴；巩固训练1、已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则______．【答案】45【解析】令，则该函数单调递增且关于点中心对称，则，又数列为等差数列，且公差不为0，所以，所以.故答案为：45.2、记函数的所有零点之和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．有最大值，没有最小值B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最小值0D．有最小值，没有最大值【答案】A【解析】当时，得即当时，得即当时，得或所以所以所以当时取得最大值，没有最小值；故选：A3、已知函数满足，当时，．（1）当时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；（2）当时，求函数的最大值；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）∵函数y＝f（x）满足f（3x）＝3f（x），又∵当x∈[1，3]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：，∴当x∈[31，32]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：，当x∈[32，33]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：，…当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：，此时函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S＝S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝；（2）当时，，，由可得，当时，时取，当时，时取，当，时取，经计算可知，且，所以当时，函数的最大值为：当时的最大值与中较大者，当时，，而，所以当时，函数的最大值为；（四）数列与三角例题精讲【例10】已知函数，当时，把函数的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1<x2<x3<……<xn，记数列的前n项和为，则___________.【难度】★★★【答案】【解析】则，即，令，的最小正周期为，在一个周期内，有两个根，则在内共有个根，即，相邻的两个根都关于对称轴对称，由是的对称轴，所以关于对称，关于对称，……，关于对称.所以.故答案为：【例11】已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【难度】★★★【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵，为等差数列，设公差为，又因为成等比数列，∴，即，解得或（舍去），故的通项为.（2），∴.巩固训练1、已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项之和，则的值是A． B．1011 C．1008 D．336【答案】A【解析】解：由题意，函数为奇函数，故，即，．数列即为：，，，，，1，，数列是一个以6为最小正周期的周期数列．，，，，，，，...数列即为：1，，1，0，，0，1，很明显数列是一个以6为最小正周期的周期数列．，．故选：．2、已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），由及得，则数列是首项，公差的等差数列，所以．（2）由（1）得，则．（五）数列与向量例题精讲【例12】已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量，则的最大值是__________【难度】★★★【答案】【解析】由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为.故答案为：.【例13】已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则___________.【难度】★★★【答案】【解析】设，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，因为，所以，所以，所以，故答案为：.【例14】在平面直角坐标系中，已知向量（1）判断的形状，并说明理由；（2）求数列的通项公式；（3）若的面积为，求．【难度】★★★【答案】（1）为直角三角形，理由见解析（2）（3）【解析】（1）为直角三角形，理由如下：因为，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以为直角三角形.（2）因为，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，（3）因为，所以点在一条直线上，又由（1）知，所以是中以为底的高，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.巩固训练1、已知，是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（）A．单调递增数列且 B．单调递减数列且C．单调递增数列且 D．单调递减数列且【答案】B【解析】设，，，则，，所以，所以，所以数列是单调递减数列且．故选：B．2、平面直角坐标系中，已知是直线上的个点（，均为非零常数）.（1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列；（2）若点是直线上的一点，且，求的值；（3）若点满足，我们称是向量的线性组合，是该线性组合的系数数列.证明：是向量的线性组合，则系数数列的和是点在直线上的充要条件.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】（1）在直线上，故故数列也成等差数列（2），共线，故（3）点满足因为点是直线上的个点，故即即充分性：当时，，点在直线上，充分性成立；必要性：点在直线上，故，又即，必要性成立，得证.3、已知非零向量列满足：，，（，）.（1）证明：数列是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设，将中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，令，为坐标原点，求点的坐标.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知得，，，是以为首项，为公比的等比数列；（2）设与的夹角为，，，，即与的夹角为；（3）由（2）知相邻两向量的夹角为，每相隔三个向量的两向量必定共线并方向相反，即，设，由（1）知，，，结合等比数列前项和公式可得，实战演练实战演练一、填空题1、已知等比数列的前n和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．【答案】107【解析】由题意可设等比数列的公比为，首项为，由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知，又因为，，所以，，故答案为：107.2、在中，，，分别为、、的对边，如果，，成等差数列，，的面积为0.5，那么为．【答案】【解析】解：在中，如果，，成等差数列，则，，，所以，，由余弦定理得，，，故答案为：．3、已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则______.【答案】23【解析】设数列的奇数项依次成公差为的等差数列，偶数项依次成公比为的等比数列，由，，，，故，，解方程得.故，则.故答案为：23.4、已知等差数列满足，函数，，则数列的前项和为______．【答案】【解析】∵等差数列满足，∴，即．∵函数，∴，∴，∴数列的前项和为．故答案为：5、正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．【答案】【解析】设等比数列的公比为.由，，成等差数列，可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为.6、如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，从第行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则________.【答案】【解析】由题意可知，第一行是，第二行是从到，第三行是从到，第四行是从到，第五行是从到，第六行是从到，第七行是从到，第八行是从到，第九行是从到，第十行是从到，故在第二行，在第十行，因为，，每一行都是一个公差为的等差数列，所以，，因为表中的第一列、、、构成一个公比为的等比数列，所以，即，解得，故答案为.二、选择题7、下列命题中正确的是（）A．对给定的数列，其通项公式有且只有一个B．在等差数列中，若，则C．若存在非零常数，使对任意，都有，则数列为等比数列D．若，其中、为常数，则数列是公差为的等差数列【答案】D【解析】对于A，数列0，1，0，1，…的通项公式可以是，或，命题错误；对于B，若为常数列，则任何两项之和相等，结论不成立，命题错误﹔对于C，若，则，数列不是等比数列，命题错误；对于D，当时，，结论成立，命题正确.故选：D.8、若等比数列的前项和，则A． B． C．