《4.5.1函数的零点与方程的解》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.5.1函数的零点与方程的解》教案【教材分析】本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。【教学目标与核心素养】课程目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．数学学科素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.【教学重难点】【教学反思】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的.你能将结论进一步推广到吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本142-143页，思考并完成以下问题1.函数零点的定义是什么？2.函数零点存在性定理要具备哪两个条件？3.方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．[点睛]函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[点睛]定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.四、典例分析、举一反三题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．【解析】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.解题技巧：（函数零点的求法）求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练一1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x＞1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0B．－2,0C.eq\f(1,2)D．0【答案】D【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝eq\f(1,2)，此时无解．综上所述，函数零点为0.题型二判断函数零点所在区间例2函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e，＋∞)【答案】B【解析】∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－eq\f(2,3)＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．解题技巧：（判断函数零点所在区间的3个步骤）(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练二1.若函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1 D．3【答案】A【解析】f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．【答案】有一个零点【解析】[法一图象法]函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．[法二判定定理法]由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．解题技巧：（判断函数存在零点的3种方法）(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练三1.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．【答案】3【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.5.1对数函数的概念4.5.1对数函数的概念1.零点定义例1例2例32.零点存在性定理七、作业课本155页2、3、7、11.【教学反思】本节课结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；通过图像进一步掌握零点存在的判定定理.从而解决本节课的三种题型.《4.5.1函数的零点与方程的解》导学案【学习目标】知识目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．核心素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.【重点与难点】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成．【学习过程】一、预习导入阅读课本142-143页，填写。1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．[点睛]函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0______________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)______________．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是______________的一条曲线，并且有______________.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[点睛]定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()2．函数f(x)＝log2x的零点是()A．1B．2C．3 D．43．下列各图象表示的函数中没有零点的是()4．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．【自主探究】题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.跟踪训练一1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x＞1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C.eq\f(1,2) D．0题型二判断函数零点所在区间例2函数f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(e，＋∞)跟踪训练二1.若函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1 D．3题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．跟踪训练三1.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，x≤1，,x2－4x＋3，x＞1))的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．【课堂检测】1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，12．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()A．2 B．－2C．±2 D．33．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．5．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．6．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．答案小试牛刀1．(1)×(2)×(3)×2．A3.D4.0,5自主探究例1【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．【解析】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.跟踪训练一1．【答案】D【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝eq\f(1,2)，此时无解．综上所述，函数零点为0.例2【答案】B【解析】∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－eq\f(2,3)＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．跟踪训练二1.【答案】A【解析】f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.例3【答案】有一个零点【解析】[法一图象法]函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．[法二判定定理法]由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．跟踪训练三1.【答案】3【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．当堂检测 1-3、BCB4、(－1,0) 5、16、【答案】（1）1（2）0，－1和1（3）不存在零点（4）0.【解析】(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0无实数解．所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.《§4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习一．选择题1．函数的零点个数是()A．0B．1C．2D．32．函数的零点所在的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．下列函数不存在零点的是()A．B．C．D．4．函数在区间内有零点，则()A．B．C．在区间内，存在使D．以上说法都不正确5．若函数有一个零点是2，那么函数的零点是()A．B．C．D．6．函数的零点所在区间为()A．B．C．D．7．根据表格中数据，可以断定方程的一个根所在的区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)8．一元二次方程的两根均大于，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二．填空题9．已知函数在区间上有零点，则a的取值范围为______．10．函数零点的个数为________．三．解答题11．判断函数的零点个数，并判断该零点所在区间．12．已知关于的方程，求方程实数根的个数？【参考答案】一．选择题1．函数的零点个数是()A．0B