《1.3 集合的基本运算》教案与同步练习

第一章集合与常用逻辑用语《1.3集合的基本运算》教案【教学目标与核心素养】课程目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2.理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。【教学重难点】重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；2全集与补集的定义.难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．【教学过程】第一课时并集和交集一、情景引入已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．二、新知导学1．并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A__或__集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__A∪B__一般地，由属于集合A__且__属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作__A∩B__符号语言A∪B＝{x|__x∈A__，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且__x∈B__}图形语言[知识点拨](1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝__A__；A∪∅＝__A__A∩A＝__A__；A∩∅＝__∅__常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A二、预习自测1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}＝{x|－2<x<2}，故选C．4．已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__.[解析]因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.三、互动探究命题方向1⇨并集的概念及运算典例1(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)设集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[思路分析]第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)画出数轴如图所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．『规律方法』并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．〔跟踪练习1〕(1)(2019·江西宜丰中学高一检测)已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－1≤x<3}，则A∪B＝(A)A．{x|－2<x<3} B．{x|1≤x<2}C．{x|－2<x≤1} D．{x|2<x<3}(2)(2019·山东潍坊市高一期末测试)满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析](1)A∪B＝{x|－2<x<2}∪{x|－1≤x<3}＝{x|－2<x<3}．(2)∵M∪{a}＝{a，b}，∴M＝{b}或M＝{a，b}，故选C．命题方向2⇨交集的概念及其运算典例2(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__.[思路分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．『规律方法』求集合A∩B的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．〔跟踪练习2〕(1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于(A)A．{1,3} B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故选A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．命题方向3⇨集合交集、并集运算的性质及应用典例3已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝__－14__.[思路分析]－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎样确定集合B?[解析]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.『规律方法』利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．〔跟踪练习3〕已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．[解析]由已知得M＝{2}，(1)当m＝2时，N＝{1,2}，所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)若M∩N＝M，则M⊆N，∴2∈N，所以4－6＋m＝0，m＝2.典例4集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．[错解]由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者2∈B，∴a＝2或a＝1.[错因分析]A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．[思路分析]A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．[正解]由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意；当1∈B且2∈B时，此时a无解．综上所述，a≥2.四、数形结合应用对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题，常借助于数轴将集合语言转化为图形语言，或借助Venn图，通过数形结合可直观、形象地看出其解集．典例5已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．[思路分析]先将A∪B＝A等价转化，再借助于数轴直观表达A、B之间的关系，列出关于m的不等式组，解不等式组得到m的取值范围．[解析]∵A∪B＝A，∴B⊆A．∵A＝{x|0≤x≤4}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，有m＋1>1－m，解得m>0.当B≠∅时，用数轴表示集合A和B，如图所示，∵B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m,0≤m＋1,1－m≤4))，解得－1≤m≤0.检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上可得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.『规律方法』求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．五、课堂练习1．若集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(B)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<3}C．{x|－1<x<2} D．{x|1<x<3}[解析]A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．2．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．3．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}[解析]∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.[解析]利用数轴画图解题．要使A∪B＝R，则a≤1.5．设集合A＝{a2，－3,9}，B＝{4，－3,8}，若A∩B＝{4，－3}，求实数a的值．[解析]∵A∩B＝{4，－3}，∴4∈A．∴a2＝4，a＝±2.∴实数a的值为±2.《第一课时并集和交集》同步练习A级基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B．其中正确的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不正确，②③④正确，故选C．2．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则正确的是(D)A．A∩B＝{1,3,4} B．A∪B＝{2,3,4}C．{1}∈A D．1∈A[解析]A∩B＝{1,2}∩{2,3,4}＝{2}，A∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，排除A，B；∵1∈A，故选D．3．已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{x|－2<x<2}∩{－2,0,1,2}＝{0,1}．4．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(D)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D．5．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(A)A．{x|x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－3<x<－1} D．{x|x>3}[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．6．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(D)A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))，∴M∩N＝{(3，－1)}，故选D．二、填空题7．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0<x≤1}，则M∪N＝__{x|0≤x≤1}__.[解析]∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．8．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝__2__.[解析]∵A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，A∩B＝{2}，∴a＝2.三、解答题9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3，∴a－3＝－3或2a－1＝－3.①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．综上可知a＝－1.10．已知A＝{x|2a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，求a的取值范围．[解析]∵B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＜－1,a＋8≥5))，解得－3≤a＜－eq\f(1,2).B级素养提升一、选择题1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则M∪N＝(C)A．{0,1} B．{－1,0}C．{－1,0,1} D．{－1,1}[解析]由题意可知，集合N＝{－1,0}，所以M∪N＝M.2．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(D)A．{x|2≤x≤3} B．{x|x≤2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}[解析]∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，∴S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D．3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值集合为(C)A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[解析]如图．要使A∩B＝∅，应有a<－1.4．已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(B)A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3[解析]∵A∪B＝A，∴B⊆A．∴m∈A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，由m＝eq\r(m)得m2＝m，∴m＝0或1.当m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足题意．当m＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴m≠1.当m＝3时，A＝{1，eq\r(3)，3}，B＝{1,3}，满足题意．二、填空题5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是__1≤a<2__.[解析]∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，∴1≤a<2.6．设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为__t≤2__.[解析]当2t＋1≤2－t即t≤eq\f(1,3)时，N＝∅.满足M∩N＝N；当2t＋1＞2－t即t＞eq\f(1,3)时，若M∩N＝N应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－t≥－2,2t＋1≤5))，解得t≤2.∴eq\f(1,3)＜t≤2.综上可知，实数t的取值范围是t≤2.三、解答题7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x的取值集合．[解析]∵B＝{1,2，x2－1}，A∪B＝{1,2,3,5}，∴x2－1∈A∪B，∴x2－1＝3或x2－1＝5，∴x＝±2或x＝±eq\r(6)，∴x的取值集合为{－eq\r(6)，－2,2，eq\r(6)}．8．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．[解析]∵A＝{x|x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，∴B⊆A．当B＝∅时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2.当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2.将a＝－2代入方程，解得x＝0，∴B＝{0}满足．当B＝{0，－8}时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,－2a＋2＝－8,a2－4＝0))，可得a＝2.综上可得a＝2或a≤－2.9．集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．[解析]由已知得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．(1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B．∴2,3是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2＋3,a2－19＝2×3))，解得a＝5.(2)由∅A∩B，得A∩B≠∅.又A∩C＝∅，得3∈A,2∉A，－4∉A．由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2.当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A矛盾；当a＝－2时，A＝{x}x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．∴a＝－2.第二课时补集一、情景引入如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？你不可能直接去找张三、李四、王五……，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础．二、新知导学1．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__全集__2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中__不属于__集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于__全集U__的补集，简称为集合A的补集，记作__∁UA__符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x__∉__A}图形语言[知识点拨](1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．三、预习自测1．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA(B)A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]∵A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B．2．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(A)A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}[解析]∵∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．3．已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(A)A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}[解析]∵∁UA＝{－1,3}，∴(∁UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系是__∁UA∁UB__.[解析]全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA＝{4,5，…}，则∁UB＝{3,4,5，…}，则∁UA∁UB．5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．[解析]解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．又∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助韦恩图，如图所示，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．四、互动探究命题方向1⇨补集的基本运算典例1已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B．[思路分析]先由集合A与∁UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B．[解析]解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}『规律方法』求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．〔跟踪练习1〕(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝(B)A．∅ B．{2}C．{5} D．{2,5}(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__.[解析](1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥eq\r(5)}，则∁UA＝{x∈N|2≤x＜eq\r(5)}＝{2}，故选B．(2)∵A∪(∁UA)＝U，且A∩(∁UA)＝∅，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.命题方向2⇨交集、并集、补集的综合运算典例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[思路分析]对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出∁UA及∁UB，再求解．[解析]如图，由图可得∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．如图，由图可得∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．如图，由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}．『规律方法』求集合交、并、补运算的方法〔跟踪练习2〕(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝__{1,2,3}__；(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝(B)A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[解析](1)∁UB＝{2}，A∪(∁UB)＝{1,2,3}．(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．典例3已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A⊆U，求∁UA及q的值．[错解]当q＝0时，x2－5x＋q＝0的根为x＝5，x＝0，5∈U，此时A＝{5}，∁UA＝{1,2,3,4}．当q≠0时，由韦达定理知方程x2－5x＋q＝0的根在1,2,3,4,5中取时，只可能是3或2,1或4，因此q＝6时，A＝{2,3}，∁UA＝{1,4,5}．q＝4时，A＝{1,4}，∁UA＝{2,3,5}．所以q＝0时，∁UA＝{1,2,3,4}，q＝4时，∁UA＝{2,3,5}，q＝6时，∁UA＝{1,4,5}．[错因分析]错解中没有注意到A⊆U，当q＝0时，A＝{0,5}U，另外，当A＝∅时，∁UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．[正解]①若A＝∅，则∁UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．∴Δ＜0，即25－4q＜0，∴q＞eq\f(25,4).②若A≠∅，由于方程x2－5x＋q＝0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A＝{1,4}或{2,3}当A＝{1,4}时，∁UA＝{2,3,5}，q＝4；当A＝{2,3}时，∁UA＝{1,4,5}，q＝6.[警示]本题易错点：(一)忽略A⊆U，求出q的值后不验证A⊆U是否成立；(二)不考察A＝∅的情形．五、学科核心素养“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．典例4已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．[思路分析]要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．[解析]若B∪A＝A，则B⊆A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.若a＝－4，则B＝{2}A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A；③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝－2＋4,a2－12＝－2×4))，∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a<4且a≠－2}．六、课堂作业1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝(D)A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}[解析]A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{4}．2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(D)A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩(∁IC) D．(A∩∁IB)∩C[解析]由图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩∁IB)∩C．3．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)＝(C)A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}[解析]∵∁UA＝{1,6,7}，∴B∩{∁UA}＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}，故选C．4．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{3,4,5}，B＝{4,5,6}，则(∁UA)∪(∁UB)＝__{1,2,3,6}__.[解析]∁UA＝{1,2,6}，∁UB＝{1,2,3}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6}．5．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝__{7,9}__.[解析]由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁UA＝{4,6,7,9,10}，所以(∁UA)∩B＝{7,9}．第二课时补集同步练习A级基础巩固一、选择题1．设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2,4}，则∁UA＝(C)A．{1,3} B．{1,3,5}C．{0,1,3} D．{0,1,3,5}[解析]∵U＝{0,1,2,3,4}，A＝{2,4}，∴∁UA＝{0,1,3}．2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(C)A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}[解析]因为U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，所以∁UA＝{0,4}，故(∁UA)∪B＝{0,2,4}．3．已知集合U＝{x|x＞0}，∁UA＝{x|0＜x＜2}，那么集合A＝(C)A．{x|x≤0或x≥2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x≥2} D．{x|x＞2}[解析]利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(D)A．{x|x≥0}B{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}[解析]∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D．5．如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(C)A．∁U(A∩B)∩C B．∁U(B∩C)∩AC．A∩∁U(B∪C) D．∁U(A∪B)∩C[解析]由图可知图中阴影部分表示的集合是A∩∁U(B∪C)．6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则a满足(A)A．a≥2 B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[解析]∁RB＝{x|x≥2}，则由A∪(∁RB)＝R得a≥2，故选A．二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝__－3__.[解析]∵∁UA＝＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．∴0＋3＝－m.∴m＝－3.8．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝__{x<1或x≥2}__.[解析]∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．三、解答题9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝{x|x≤0或x≥eq\f(5,2)}，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．[解析]将集合A，B，P表示在数轴上，如图．∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}．∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，∴(∁UB)∪P＝{x|x≤0或x≥eq\f(5,2)}，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x<eq